定积分应用题附

1、定积分的应用复习题一.填空：曲线ylnx,yIna,yInb（0ab）及y轴所围成的平面图形的面积为A=eydy=b-alnaJ曲线yx2和yJX所围成的平面图形的面积是11. 求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y,解方程组y22x/曰x1/2x22。1=1侍,y2x2y1y221-即抛物线与直线的交点为（一，1）和（2,-2）.故所求图形在直线y=1和2y=-2之间，即积分区间为2,1。（2）在区间2,1上，任取一小区问为y,y+dy，对应的窄条面积近似丁高为（1ly）-】y2，底为dy的矩形面积，从而得到面积元素22dA=(1-1y)-2

2、1y2dy1y2-1y346所求图形面积A=12(1-1y)-1y2dy=y-222求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0,-3）和（3,0）处的切线所围成的图形的面积。解：由y=-x2+4x-3得y'2x4,y'（0）4,y'（3）2。抛物线在点（0,-3）处的切线方程为y=4x-3;在点（3,0）处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为（'，3）。2故面积A=323°2(4x3)(x24x3)dx3(2x26)(x24x93)dx-43.求由摆线x=a（tsint),y=a(1-cost)的一拱（横轴所围成的图形的面积解：Ay(x)dx2

3、oa(1cost)a(1cost)dt(12costcos2t-2)dt3a224.求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积:r=3cosr=1+cos解：两曲线的交点由3cos1cos，解得cos)2d213-(3cos2)2d03(12cos1cos22)dcos2)d545.计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱（0t2）,直线y=0所围成的图形分另U绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。解：Vxxa2y2(x)dx0a2(1cost)2a(1cost)dt(13cost3cos2t323cost)dt5a2aVy0x2(y)dy2a20x1(y)dy=a2(t2s

4、int)2asintdt0a2(tsint)2asintdtx2y22yx2得圆与抛物线的两个交点为xy1,xy所以积分区间为-1,1(tsint)2sintdt63a36.求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组:(2)在区间-1,1上任取一小区间x,x+dx,与它对应的薄片体积近似丁(2-x2)-x4|dx,从而得到体积元素dV=(2-x2)-x4dx=(2-x2-x4)dx.(3)故V=x11(2-x2-x4)dx=7.求圆盘（x2）2y21绕Y轴旋转而成的旋转体的体积解设旋转体积为V,则V2*2：xj1(x2)

5、2dx令x2sint则V=42(2sint)cos21dt242(1cos2t)dt2sintcos2tdt22,128. 4(tsin2t)|24设有抛物线C:y=a-bx2（a>0,b>0），试确定常数a,b的值，使得C与直线y=x+1相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为（x,y），由丁抛物线与y=x+1相切，一。12b故有K=-2bx=1,得x由ab1解得a1,即：b-2b2b4b4(1a)2,a2aaVa2由V(a)xdydy2a(1a)00b2b.-23令V'(a)2a(23a)0得a2,b-34xacost.9. 设星形线

6、方程为.3t(a>0),求：(1) 由星形线所围图形的面积星形线的长度。解：(1)由对称性得a032a4y(x)dx4asint3acost(sint)dt12a22sin41cos2tdta208(2)L=4Xx'2(t)y'2(t)dt=4。之(3acos21sint)22、2.(3asintcost)dt=12a02sintcostdt6a,tcostsin,10.计算曲线xd,yd自原点到与具有铅直的切线11最近点的弧长。dysint解：dy乎tantdxdxcostdtt曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为t-,原点对应的2参数t=1故1Sx'2(t)y'2(t)dt2cost2sintdtlnth2ln2S2t为何值时，S=S+S2解：S(t)0(t2x2)dx12t(xt2)dx4t33t2令S'(t)4t22t0,解得t10,t2丁是S(0)11,S(/4,S故Smax=S(1)=3,Smin=S(2)4.证明题:1.证明：曲线y=sinx的一个周期的弧长等丁椭圆证明：y=sinx的一个周期的弧长2x2+=2的周长。L1=42、10y'2dx2102cosdx2x2+y2(2为参数方程为11.设Si为曲线y=x2、直线y=t2(t为参数)及Y轴所围图形的面积;为曲线y=