电子的有效质量（课堂PPT）

1、14-6电子的有效质量. 2近自由电子模型把原子实和（n-1）电子的共同作用概括为周期势场的作用；用量子力学微扰论求解定态定态问题。Bloch电子费米气模型把晶格场的影响计入m的变化视为半径典粒子。用类似牛顿力学来讨论非定态非定态问题。 3一电子的速度一电子的速度自由电子波函数是平面波 (51)它的动量本征值为 （52）因而它的速度为 (53)rikCeVrk21,kP kmmpk4其中其中m是自由电子的质量。是自由电子的质量。 考虑到自由电子的能量为考虑到自由电子的能量为 (54) 可将自由电子的速度写成可将自由电子的速度写成 (55)（55）式是一个十分重要的公式。虽然它只针）式是一个十分

2、重要的公式。虽然它只针对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带指数指数n对固体中的布洛赫电子也是严格成立的对固体中的布洛赫电子也是严格成立的，222kmkE )(1kEkk5即即 )(1kEknkn (56) 该式说明，布洛赫电子的运动速度和能量该式说明，布洛赫电子的运动速度和能量 梯度成正比，方向与等能面法线方向相同。梯度成正比，方向与等能面法线方向相同。（K 表示在表示在K空间运算：空间运算： 自变量为自变量为 Kx、Ky、Kz）6二电子的准动量二电子的准动量 当有外场时，布洛赫电子受到外力的作用。dt时间内电子从外力场获得的能量为（暂时略去能带指数

3、n） dEF外外dt (57) 单位时间内得到的能量为 (58) kEFFdtdEk1外外7从数学上复合函数求导从数学上复合函数求导 (59)把k和F外外分解成与kE（k）平行的分量（下标用表示）及垂直的分量（下标用表示）： (510) (511) kEdtkddtdkkEdtdkkEdtdkkEdtdEkzzyyxx外外外FFF/kkk/8比较（58）和（59）两式，可知： (512)事实上可以证明 也成立。因而有 (513)（513）式和经典力学的牛顿定律： （514）相当，因而 有动量的量纲。 /外 Fk外 Fk外 FkFP k！9但由于布洛赫波不是动量的本征态，没有确定的动量，故称 为

4、布洛赫电子的准动量. k10标量 B 称为零阶张量矢量 A Aiei i1,2,3 称为一阶张量 三晶体中电子的有效质量张量三晶体中电子的有效质量张量 i, j1、2、3 称为二阶张量例如在各向异性的电介质中 Dx不仅与Ex有关，还与Ey、Ez有关，有九个元素。jijiijeeAA、EDi11由（56）式，可求得Bloch电子的加速度 由梯度的定义，Kx方向的加速度)(1KEdtdVK)(),(),(1tKtKtKEdtdzyxKdtddtdVxK1xKE而 为t的复合函数Kx(t),Ky(t),Kz(t) xKE12 类似可得)(12222tKKKEtKKEtKKKEdtdVzzyyyxxy

5、Ky)(12222tKKEtKKKEtKKKEdtdVzzyyzxxzKz)(12222tKKKEtKKKEtKKEzzxyyxxxdtdVxK13 写成矩阵形式：14 15（5-18） 与牛顿定律 外FmV1表示为形式上相似，而且不出现不易测量的FL，把FL的困难并入 FmV11）（ m可由能带结构求出，称为倒有效质量张量.1）（ m16 称为有效质量张量 因为 E（K）及其导数连续, 所以混合偏导与次序无关 mm1)(1jiKKE2ijKKE2(ij i, j1、2、3)独立元素只剩六个所以以上为对称张量。 17问题：问题： 1ijm21jiKKE2ijm？jiKKE22是否 18若选择合

6、适的坐标系，可使倒有效质量张量对角化，则有效质量张量也对角化了，在这种情况下222xxxKEm222yyyKEm222zzzKEm19 20即 形式上与牛顿方程类似 kxxxkxFmdtdV外1xF1外mdtdVxkyYYkyFmdtdV外1yymdtdV外F1zzmdtdV外F1kzzzkzFmdtdV外121讨论：讨论： 1.Bloch电子在外场力作用下，运动规律形 式上遵守牛顿定律，只是把m用有效质量m代替；2有效质量 m此时，Bloch电子的加速度与外场力方向可以不一致。例如：设F外kxF外kyF外kz，但各 不等,则 不等。zzyyxxmmm为张量，一般情况下iimkzkykxVVV、22在k空间，当等能面为球面时（介质各向同性） 222222zyxKEKEKEmmmmzzyyxx有效质量成为标量 例如：自由电子)(22222222zyxkkkmkmE等能面为球面222xxxKEmmmmzzyy233一维情况 222KEm为标量，但标量并不等于是常量， m*也与能带结构有关。24 25在能带上部（极大值处） 0 22dKEd所以m*0Bloch电子的加速度与外力同向。注意：注意：能带底并不一定均在第一B.Z的中间部分。264仍以一维情况为例。设m为电子的惯性质量， FL为电子所受到的晶格场力； F外为电子所受到的晶体以外产生的场所施加的力