复合泊松分布

1、复合泊松分布及其性质称随机变量s=EN任Xi服从参数为舄的复合泊松分布，如果满足1.随机变量N,X1,X2|,Xn是相互独立2. 若Xi，X2，l1l,Xnlll具有相同的分布，且分布与X相同N服从泊松分布，参数为人0E(S)=E(X)E(N)='E(X)Var(S)=Var(X)E(N)E(X)2Var(N)=Var(X)E(X)22='E(X)二:,nn_enFS(x)='P(N=n)Fn(x)='Fn(x)n=6n=0n!:-'.nfs(x)=Sf*n(x)定理3.1设Si，&,|,Sn为相互独立的随机变量，且Si为参数为&,个体索

2、赔分布为fx«x)的复合泊松分布，i=1,21m,则mm,S=5+S2+lll+Sn服从参数为兀=Z约，且fX(xfXi(x)的复合i1i=1'分布。背景：m可看成m个保险保单组合,S则是这m个保单组合的总索赔额。S也可以看作同一个保单组合在m个不同年度内的总索赔额证明：设Si为参数为的复合泊松分布，S的矩母函数为Msi(texpph(MXi(t)-1)。由丁S&JHSn为相互独立的随机变量,因此S的矩母函数为：mts半Ms(t)=E(ets)=E(e±)mmts=HE(etSi)=nMs(t)ididmm=exp"MB-、')i注i4m，

3、=exp(i(M，i(t1)i彳m设MX(t)=£MXi(t),由矩母函数的定义知，MX(t)为im'xm"fx(t)='-i1'fXi(t)的矩母函数，因此Ms(t)=exp(Mx(t)1)所以S为参数为赤，个体索赔分布为fX(x)的复合泊松分布。例：设S服从复合泊松分布，*=10,fX1(1)=0.7,fX1(2)=0.3,&也服从复合泊松分布，=15,fX2(1)=0.5,fX2(2)=0.2,fX2(3)=0.2，若S,和S2相互独立，求S=S+S2的分布。解：S服从复合泊松分布,舄=10十15=25,X的分布为fx(x)=25fxi

4、(k)25fx2(k)1015fx(1)=一0.70.5=0.5825251015fx(2)=0.30.3=0.302525fx(3)=性.2坦0.2=0.122525定理：设总索赔额S是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔额X的分布fx(x)。假设X的取值可以分为m种类型：G,C2,IH,Cm,其中气=P(XG)。设N表示索赔发生总次数，N,lll,Nm分别表示G,C2,IH,Cm类型索赔发生的次数，N=N+N2+Il|+Nm。下面结论成(1) 随机变量Ni,N2,lll,Nm相互独立，Ni服从参数为*=阿的泊松分布。设X表示当第i类索赔事件发生时的索赔额，即X(D=X|XCi,令S=Xi+

5、|十乂""=1,|血，则S,lll,Sm都是相互独立且Si服从参数为&=赫i的复合泊松分布，个体索赔额为X(i)。例3.13:设S服从复合泊松分布，兀=10,fx(1)=0.5,fx(2)=0.3,fx(3)=0.2。令C1=(X|X壬2),C2=(X|X2),求X(1),X(2)的分布，5,&的分布。解：令p1=P(X壬2)=0.5+0.3=0.8,p2=P(X>2)=0.2则X,X(2)的分布为XfX(x)fX(x)fx(2)(x)X10.50.5/Z0.8020.30.3/0.8030.200.2/0.2设N表示第i类索赔事件发生的次数，则N是泊

6、松分布，我=7F(xG)=10p。于是计算得至U7*=10乂0.8=8,=100.2=2,因此，s是复合泊松分布，九=8,个体索赔分布为53fx(i)(1)=,fX(2)(2)=。&是复合泊松分布，丸=2，个体索赂分布为88fx(2)(3)=1例3.14设索赔次数N服从=2的泊松分布，个体索赔额的分布fx(x)=0.1x,x=1,2,3,4,计算总索赔额S等丁1,2,3,4时的概率。解：设Ni表示个体索赔额为i的索赔事件次数，则Ni服从参数为叫的泊松分布，总索赔额S=1N+2N+3N+4N其中，1=0.1兀,2=0%&,兀0干3利用独0K4L变量和的卷积公式得到卜表。x1Ni2

7、N23N34N4fs(x)00.81870.67030.5488'0.44930.135310.163750000.0270520.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.092240.0000550.053600.35950.1364例3.15:设某保险公司承保医疗保险，X表示一次医疗费用，N表示看病的次数，N服从泊松分布，S=X+X2+IH+Xn表示该医疗保险的总费用，设X的分布密度为fX(x)=2250("京0<x<250试分析加入免赔额d=50后，保险公司的总索赔额的变化解：首先考虑无免赔额情形，此时d=0。总索赔额等

8、丁总医疗费用S。由X的分布密度计算得到250E(X)=x2(1-M)dx=2502503=83.32502var(xr总索赔额的期望和方差为E(S)=，E(X)=8333.32Var(S)=E(X2)=100(E(X)2Var(X)22 ，250、2250、=100(;)18=1041666.6下面考虑d=50的情形。这时将医疗费用分为两类：G=(X|X50)C2=(X|X50)。设M表示医疗费用小丁等丁免赔50c额的次数，服从参数为"=P(X50)=100(1-(1-)2)=36的泊松分250布。N2表示医疗费用大丁免赔额，服从参数2=7尸(X>50)=100(1-竺)2=6

9、4的泊松分布。设乂=X|x<50,250X2=X|x*0，则总损失额S=S+S2,其中§=X1川XnS2*川Xn2S1表示医疗费小丁等丁免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承担。S2表示医疗费大丁免赔额的总费用。由丁X2=X|x*o=50+(X-50)|x*o,因此S=Xi+|+Xn2=50N2十(丫十III+Yn2)其中Y=Xj-50|x.地表示第i次看病的索赔额。从上式可以看出，总费i用S2分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总索赔额部分，由保险人来承担。我们记总索赔额为S3,则S3=丫+川十丫卬。Yi的分布密度为2(1一50")f(y)_fY(50y)_

10、250*250YP(X50)50)22502(20y)250*250(200)2250()200200因此,差为2002(200)2E(Y)=羹°,Var(Y)=2(200)。可以得到总理赔额的期望和万39.4-200E(S3)=E(N2)E(Y)=64()=4266.63八220022002-Var(S3)=E(N2)E(Y2)=64(；)2=)=426.6318加入免赔额后，总理赔额比没有免赔额时减少了8333.3-4266.6_rtn/=48.8%。8333.3事实上，总损失S可以分解为：S=&力卜乂卬lXi(2)T"Xn(2),Si=s+50N2+YHIJ+

11、YnS4S3其中S4为投保人承担的医疗费用，S3是由保险人来承担索赔额。S的近似分布1、正态近似定理设个别理赔额分布函数为f(x),u1=E(X),u2=E(X2)。如果S是复合泊松分布，参数为岛，则当%*时z=*i丛,U2的分布趋丁标准正态分布。如果S是复合负二项式分布，参数为r,P,k=0,1,2l|个别理赔额分布函数为f(x),则-S-ru1Z=七2r32(2)。对丁泊松分的分布在r*时趋丁标准正态分布。证明：我们将利用limMZ(t)=e2来证明(1)布情形，由z=SLes)=辎当得到.Var(S)u2S-，Uit.'Uit、Mz(t)=E(exp(t)=Ms()exp)一&#

12、39;u2'u2'u2由公式(5)知Ms(t)=expMMx(t)-1),因此由矩母函数的级数展开式nMx(t)=£甘)=1+E(X)t+12十川+1-+川，2n!我们可以得到,Mz(t)=exp(1t2+1二%t3+HI)26"(u2)2eT，即lim.MZ(t)当舄t",MZ(t)-*t2=e。从而，Z分布在rT"时趋丁标准正态分布。S-E(N)E(X)对丁负二项分布，令z=S二E(S)_,Var(S)E(N)Var(X)Var(N)E(X)2=Su,r-u2r-2u12再用类似的方法证明Z分布在rT*时趋丁标准正态分布。此处不再叙述

13、。例：(SOA2001-1130)TheclaimsdepartmentofaninsurancecompanyreceivesenvelopeswithclaimsforinsurancecoverageataPoissonrateofl=50envelopesperweek.Foranyperiodoftime,thenumberofenvelopesandthenumbersofclaimsintheenvelopesareindependent.Thenumbersofclaimsintheenvelopeshavethefollowingdistribution:NumberofCl

14、aimsPiotabiIity1 (1202 0.253 CUU4 (hi5Usingthenormalapproximation,calculatethe90thpercentileof24/39thenumberofclaimsreceivedin13weeks.解：设Y表示第I个信封中的索赔数。设X(13)表示13周内收到的总索赔数。E(Y)=1X0.2+2X0.25+3X0.4+4X0.15=2.52E(Y2)=10.240.2590.4160.15=7.2E(X(13)=50132.5=1625Var(X(13)=50137.2=4680由P(X(13)£Z)=0.9=：&

15、quot;1.282)>P(X(13U25”282)'、4680因此，X(13)”712.72、平移gamma近似-x设G(x*,E)=白-产七出为gamma分布，对任意一点X0,0一(：)定义一个新的分布函数H(x,。，&,Xo)=G(x-冷;口，)。若设h(x)和g(x)分布为H(x,%E,xo)和G(x,xo，口，臼)的分布函数密度，则从图形上H和G只差了一个平移变换0.7图5.1H和G的分布密度图下面我们用h(x)来描述总索赔S的分布密度。因为h(x)有三个参数，所以只需根据S的均值、方差和三阶中心矩定出h(x)的形状和位置。乂因.aaoa为H的均值，万差和三阶中

16、心矩分别为X。+§,p2,3，所以用h(x)来描述S的分布时，下面三个等式近似成立。otE(S)=x°+g(7)Var(S)=$2二E(S-E(S)3下J这是一方程组，解出x°,%E有X。=E(S)2Var(S)2E(S-E(S)3-4Var(S)3E(SE(S)3)2p_2Var(S)E(S-E(S)3这样就可以得到一个平移gamma分布。当S为复合泊松分布时，（7）可简化为2x。=U|2虫:其中=E(X3)。若Xo+东=u金=。2,当XT-oo,aT",0T"时，可以证明H(x,0t,E，x趋丁正态分布N(u,o2)。因此，正态分布可以看作

17、是这种三参数分布的一种极限情况。从这个意义上来说，平移gamma分布近似是正态近似的推广。例3.17:设S为复合泊松分布，舄=12，当个体索赔分布为【0,1】上的均匀分布时，试分别用(1)正态近似(2)平'移gamma近似计算P(S<10)。c1解：1由条件易知Ui=E(X)=,U2=E(X2)=,丁是得到3E(S)=赤鸟=6,var(S)=兀=4S-6所以，P(S<10)=P(<2)=中(2)=0.9772211(2)令U3=E(X3)=gx3dx=,则E(S-Eg)3=汐33,解方程04组6=况+/P=二/-23=2口/臼3得xo=Y.67,。=28.44,P=2

18、.67。因此S的分布函数为G(x4.67;28.44,2.67)P(S10)=G(14.67,28.44,2.67)=0.96833、对数正态近似此外，实际中还使用对数正态分布ln(u,。2)来近似S的分布，即考虑方程组(3.41)E(S)=exp(/2)E(S2)=exp(2u2。2)解出u*2,然后用ln(u,。2)来描述S的分布。当E(N)的值较大时，正态分布近似的效果不错，特别是当N为泊松分布，二项式分布和负二项式分布时，由中心极限定理知，当,m,r趋丁无穷时，S的分布将趋丁正态分布。而当E(N)的值较小时，S的分布是有偏斜的，这时使用平移gamma和对数正态近似可能更为恰当。例3.16:在过去的10个月里每月某险种的索赔次数和个体损失额的样本均值(和标准差)分别为6.7(2.3),179747(52,141)。计算每个月总损失额的样本均值和方差。(2)分别用正态近似和对数正态近似计算损失额超过期望的140%的概率P(S>140E(S)。解：(1)由公式(1)和(2)得到S的样本均值和样本方差为E(S)=E(X)E(N)=6.7179747=1200955Var(S)=E(Var(S|N)Var(E(S|N)=6.7(52,141了2.321797472=1881801011若使用正态