圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线位置关系、基础知识:（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定,（1）联立直线与椭圆方程:yb222xy2a任kxm222xay卜面以直线ykxm和椭圆:22ab为例（2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x）,代入椭圆方程得到关于主变量的一兀二次方程:999299bxakxmab,整理可得:2222222akbx2akxmam22ab0（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系方程有两个不同实根直线与椭圆相交方程

2、有两个相同实根直线与椭圆相切方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线ykxm和椭圆:2x2a2七1aab2b0为例:(1)联立直线与双曲线方程:ykxm,222bxa99，消元代入后可得:a2b2b22|222._akx2akxm22ab(2)与椭圆不同，在椭圆中，因为b20,所以消元后的方程.次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为b2a2k2,有可能为零。所以要分情况进行讨论0,设两个根为xi,x2当b2

3、a2k20bkab.一时，贝U为乂2a2222amab0，所以xi,x2异号，即1222bak交点分别位于双曲线的左，右支222,2amab当b222ak0k-或kbQ,且aa0时，xx2,222b当bak0k:且m0时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点>-少99bb9999当b2a2k20-k时，常数项为a2m2a2b20，所以0恒成立，此aa时直线与双曲线相交当b222akb0k或kb时，直线与双曲线的公共点个数需要用a判断0方程有两个不同实根直线与双曲线相交0方程有两个相同实根直线与双曲线相切0方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关

4、系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切(3)直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为aUa,所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当xa时，点位于双曲线的左支。对于方程: 2-222222_22bakx2akxmamabxi,x2同号，即交点位于同一支上(4)直线与双曲线位置关系的几何解释：通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线b的斜率相美，其分界点b刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置a关系的判定-一b

5、一k言且m0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点_bb一k?时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直aa线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 b2a2k20k-或k攵时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得:aa直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线ykxm和抛物线：y22pxp0为例ykxm2联立方程：2kxm

6、2px,整理后可得：y2px222kx2km2pxm0（1）当k0时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交过焦点的直线l:ykx-2（斜率存在且k0），对应倾斜角为,与抛物线交于联立方程:2px2k2x卫2px,整理可得:2k2p2pk2p(1)xix222yyp(2)当k0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定Q0方程有两个不同实根直线与抛物线相交D0方程有两个相同实根直线与抛物线相切D0方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：y22px,(2)(3)(四)ABk2Xx2p-k22p112ptan21dolAB122VAOB

7、2k2p2pcos2sin2OFsin圆锥曲线问题的解决思路与常用公式:1、直线与圆锥曲线问题的特点:k22p2psin2ABsin2p_2sin2p2sin（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角,早晚利用条件消掉）（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设AX1,y1,BX2,y2，至于A,B坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出x1,x2,y1,y2（所谓“设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何

8、，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是"以一个（或两个）核心变量为中心，以交点Ax1,y1,Bx2,y2为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（为x2,x1x2,y1y2,yy2,坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得

9、到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：ykxm,此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2）xmyb,此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线y22px（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直1接体现斜率，当

10、m0时，斜率km4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线l:ykxm,l上两点A为，yi,BX2,y2,所以(1)AB证明:AB.1k2x1x2或AByiy2fy1kx1m因为Ax1,y1,Bx2,y2在直线l上，所以y2kx2m22yikxmxix2yiy2'代入V2kx2m可侍:22x1x2kx1x2（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果A,B为直线与曲线的交点（即AB为曲线上的弦），贝Ux1x2（或y1y2）可进行变形x1x2Jx1x22Jx1x224x1x2,从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。

11、不妨以椭圆方22程%1ab0为例，设直线ykxm与椭圆交于A,y1,Bx2,y2两点,ab则该两点满足椭圆方程，有：22-2y-b考虑两个方程左右分别作差,并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系:1a2x2x21升2V11axx2xx21b21xaX2xx21-y2b2yi2y20V2yiy20yV2y0d2由等式可知：其中直线AB的斜率ky12,AB中点的坐标为xx2yV2xx222这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB的斜率与AB中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及A,B坐标的平方差问题中也可使用点差法。二、典型例题例1：不论k

12、为何值，直线ykx1与椭圆1有公共点，则实数m的取值范围7m是（）A.0,1B.1,C.1,7U7,D.0,7思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0在xR恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可解:ykx12r2rmx7y7mo2mx27kx17m,整理可得:22m7k2x214kx77m02214k4m7k277m0即1m7k20m7k21m7k211maxQm7m1,7U7,思路二：从所给含参直线ykx1入手可知直线过定点0,1,所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，贝u该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入0,1后£

13、匕i,即7m11m1,因为是椭圆，所以m7,故m的取值范围是1,7U7,m答案：C小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键（2）本题还要注意细节，椭圆方程中22,x,y的系数不同，所以m7例2:已知双曲线七1的右焦点为124F的直线与双曲线的右支有且只有个交点，则此直线斜率的取值范围是（A.B.、.3,、3C.D.3.3思路:22由七匕1241可得渐近

14、线方程为:、3一X,3若过右焦点的直线与右支只有一个则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，答案：C小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下:2,x由2y_1可知F1242x3y2122xykx413k2x224k2x当13k20k4,0,设直线-23k2x48k2128xl:ykx4,联立方程可得:12,整理后可得:280x-，即位于双曲线右支，符合题意2CC2ccc当13k0时，24k413k48k1248k10直线与双曲线必有两个交点，设为x，y1,x2,y2因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点x1x2048k21203k23k21综上所述:例3

15、:已知抛物线C的方程为12y，过点A0,和点Bt,3的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是（A.,1U1,B.C.,2.2U2.2,D.、2,思路:由A,B两点可确定直线AB的方程（含t）,再通过与抛物线方程联立，利用可得到关于t的不等式，从而解得t的范围解：若t0,则直线AB:x0与抛物线有公共点，不符题意4AB:yx1,与椭圆联立方程:12y4xt22tx24xQ直线与抛物线无公共点-.2168t答案：D2例4:过双曲线使得匕1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点，若实数2思路：由双曲线方程可知FJ3,0，当l斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得:AB4,当l斜率存在时，设直

16、线l:ykx艇，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得AB41:为关于k的表达式，即41:。可解得：k2-一或I2k1I2k24k22。若-一40或-一40,即2时，可得k0,仅有一解，不符444题意。若240且-一40,则每个方程只能无解或两解。所以可知当4时，44方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。符合题意，所以42解：由双曲线X21可得a1,bJ2,cJ3FJ3,0,2当AB斜率不存在时，l的方程为xJ3AB为通径，即AB2b2a若直线l斜率存在，不妨设为k则设l:ykxV3,Ax1,y1,Bx2,y2联立直线与椭圆方程:2x2y22l消去y可得：2x2ykx.3k2xJ32,整理可

17、得:2k2x22、.3k2x3k220-2Ccc23k242k23k2216k216ABV1k2x1x2.1k2.一41k2|2k2i924924可得：k22-或k2-44424当一40时，即2,则方程的解为k0,只有一解，不符题意424同理，当2一40,即2,则方程的解为k0,只有一解，不符题意4,2424当0且0时，则每个方程的解为0个或两个，总和无法达到3个，不符444,方程解得：k2满足条件的直线AB的方程为：x3y“扼y、/2x2答案:2x例5:已知椭圆421,则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y4xm对称，则思路:设椭圆上两点AXi,yi,BX2,y2,中点坐标为xo,yo2xo2

18、y°Xiyix2,由y2m的取值范围是（)A.玉m而B2依m2代1313131313C.m13口2.无2.1313131313由对称性可知AB中点x0,y0在对称轴上，所以有yo4x°m,所以解得:Xo依题意可得xo,yo必在椭圆内，一一.一2所以有3xo4yo12,mV。3m代入可得：答案：D3m22、13解得：13213m13例6：过点M2,o的直线m与椭圆y221交于P|,P2两点，线段PP2的中点为P,设直线m的斜率为kjko,直线OP的斜率为k2,则kik2的值为（）A.2B.21C.21D.2中点问题想到点差法，贝U有3x23x24yi2124y212C223x

19、ix24y2y；o,变形可得：3x1x2x1x24ViV2Viy2o由对称关系和对称轴方程可得，直线1ViAB的斜率k一也4x1旦2,所以方程转化为x26xoc18yooyo3x°,4思路一：已知m与椭圆交于R,F2两个基本点，从而设P1xi,yi,P2x2,y2,可知XiX1X2*1V22圆方程X28k；2k121,即k2y1y2X1X22X2y12yk1x:2,所以y1y2ki,从结构上可联想到韦达定理，设m:V8k2x8k1220,X1X24k14k12k21胃,即2k1k1k2思路二:线段PiP2为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问2X1题可用“点差

20、法”，设PX1，V1,P2X2,V2,则有22X22V11,两式作差，可得:2V2122X12V101x1x22X1X2ViV1V20,发现等式中出现与中点和PF2斜率相关的要素，其中X1x22ViV22,所以k2yy2X1X2ViV2k1*应，所以等式化为-*一匹x1x22xx2xx2k,k20，所以k1k2答案：D小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。(1)涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系(2)涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法例7：已知点A1,2在抛物线C:y24x上，过点A作两条直线分别

21、交抛物线于点D,E,直线AD，AE的斜率分别为kADkAE,若直线DE过点P1,2,则kADkAE()A.4B.3C.2D.1思路：设DX1,V1,EX2,V2，进而所求kADkAE汕21*24，所以可从直Xx2x1x21线DE入手，设直线DE:y2kx1,与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简kADkAE2解：设Dxi,yi,EX2,y2i,联立方程:ky2yiXiV12kAE4yyi2xiy2V22x2iV22X24x4k4kkV1V22Viy2X1X2消去XiX2X可得:ViX2y242kk4k2k2XX22V1V2i6k24k4k2代入可得:4k8k2S422k24k444k2k2k2

22、k2答案:例8:已知抛物线C:y24x的焦点为过点的直线l交抛物线于M,N两点，且A.B.22C.一2思路-一：从点的坐标出发，因为M,F,N三点共线，从而MFULLTMFUUU2NF,考虑将向量坐标化，F1,0,设MWiUJLTMF1Xi,uuryi,nfiX2,y2,所以Vi2V2,设直线l:XMF2NF,则直线l的斜率为（,Nmyyi2D,一42NF可转化为X2,V2，有V2ViV242.3一，则直线AFi的斜3AFi与直线BF2平行,A.3B.C._22D.思路：先设出直线AF1:xmy1,BF2:xmy1,只需一个等量条件即可求出m,进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程,分别解出A,B的

23、纵坐标，然后利用弦长公式即可用m表22y12y2,消去y1,y2即可得m，直线l:xy1,即可得到斜率为2J244思路二：从所给线段关系MF2NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形PMNQ,由抛物线定义可知:MPMF,NQNF,将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为PMF。不妨设M在第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过N作NTMP于T,则tanNMTE,TM因为|MF2NF而TM|PMPTPMQNMF|NFNF,且MNMFNF|3NF，利用勾股定理可得：TN|J|MN|2|MT|22很|NF,从而tanNMTg2J2,即k2J2,

24、当M在第四象限时，同理，可得k2J2综上所述：k2一2答案：B2例9：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆y21的左、右焦点分别为Fi,F2,设A,B2是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF2与BF1交于点P,AF1BF2率是（）42m1m1,V2m1m1示AF1,BF2:AF12,BF22，可将已m2m2，1知等式转化为关于m的方程，从而解出m1,所以斜率为-解：由椭圆方程可得：F1F21,0设AF1:xmy1,BF2:xmy1,A为，化,Bx2,y2，依图可知：y0,y20联立AF1与椭圆方程可得:2x2y2xmy22ym2my122m2122my101my12y21,整理可得:yi2m2

25、2m2m21m2_2.2m21m22AFi.1m2y1、2m21mm212m同理可得:BF21mm21m22ARbf2.2m21m、m21m22.2m21m.m21m22即2m'm21m22223直线AF1的斜率k答案：D小炼有话说：(1)在运用弦长公式计算AF1,BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用xmyb的形式以便于消去x得到关于y的方程(2)直线方程xmyb,当m0时，可知斜率k与m的关系为：k22A,B,C,D四xy例10：过椭圆一1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于43,1点，则1AB1,的值为（CD1A.-8B.C.17D.12思路：首先先考虑特殊情况，即AB斜率不存在。则AB为通径,AB3;CD为长轴,所以