圆锥曲线解题技巧和方法综合32358

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(xi,yi),(x2,y2),代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。22如：(1)与L1(ab0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(X0,y0),贝U有abX0a%b2k0。2X(2)a2yT1(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(X0,y)则有bX0abk0(3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y0),则有2yk=2p,即y0k=p.典型例题给定双曲线X22

2、y.21。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1及P2,求线段P1p的中点P的轨迹方程。(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆2X2a2土1上任一点，Fi(c,0),F2(c,0)为焦点,bPF1F2,PF2F1。sin(1)求证离心率esinsin(2)求|PFi|3PF2I3的最值。(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线

3、过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且OAOB,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。

4、或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。存在两点关于直线对称I

5、可题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例题已知椭圆C的方程&匕1,试确定m的取值范围，使得对于直线43y4xm，椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直I可题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用峪k21一追1来处理或用向量的坐标x1-x2运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y24(x1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1) 求k的取值范围；(2) 直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、

6、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：(1) 充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。22典型例题设直线3x4ym0与圆xyx2y0相交于P、Q两点，。为坐标原点，若OPOQ,求m的值。(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型

7、例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ,|PQ|Y10,求此椭圆方程。2(3) 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆C1：x2y24x2y0和C2:x2y22y40的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程。(4) 充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。典型例题P为椭圆与与1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。 线段长的几种简便计算方法充分利

8、用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2bxc0的方程，方程的两根设为xA,xB,判别式为,；.客|a|则|AB|Jik2-|xAxB|v1k2一，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例F1、F2是椭圆251的两个焦点，AB是经过Fi的弦，若|AB|8,求值 |F2A|F2B|利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化

9、为到准线的距离例点A(3,2)为定点，点F是抛物线y24x的焦点，点P在抛物线y24x上移动，若|PA|PF|取得最小值，求点P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:1. 直线方程的形式直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率ktan,0,)点到直线的距离dAx0ByC夹角公式：/ATbk2k1tan1k2ki弦长公式直线ykxb上两点A(xi,yi),Bg,y2)间的距离：AB|41|xiX2J(1k2)(XiX2)24*或ABJ1日乂y2两条直线的位置关系l1l2k1k2=-11i/12kk2且b1b22、圆锥曲线方程及性质

10、(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：1(m0,n0且mn)mn距离式方程：，(xc)2y2(xc)2y22a参数方程：xacos,ybsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程:1(mn0)xy(3) 距离式方程：|(xc)2y2.(xc)2y2|2a、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22椭圆：2L；双曲线：2L；抛物线：2paa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?如:已知R、22F2是椭圆七1的两个焦点，平面内一个动点M满43足MF1MF?2则动点M的轨迹是(A、双曲线;B、双曲线的一支；C、两条射线;D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，Sff21

11、的弦AB中点则有b2tan2P在双曲线上时，SF1pf2b2cot；|PF|2|PF|24c2uurujrnunruuuLr(其中F1PF2,cos-!,PFi?PF2|PF1|PF2|cos)|PF1|PF2|(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为aex焦点在y轴上时为aey，可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x01a(3)抛物线焦点在x轴上时为|x|壹,焦点在y轴上时为|y|p、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2设Ax1,y1、Bx2,y2,Ma,b为椭圆一2222%言牙1;两式相减得2乂24XiX2X1

12、X2yiy2yiwk_3a43AB4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A3,yi）,Bg,y2）,将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，贝腰找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb,就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2

13、5y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为90,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得出ABAC,从而得X1X2yiy214（yn）160,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B3,C（X2,y2）,BC中点为（x。,y。）,F（2,0）则有2222Xiyi.X2y2.一1,一1两式作差有(XiX2)(XiX2)(yiy2)(yiy)Xoyk201600(

14、1)54F(2,0)为三角形重心，所以由工22,得Xo3,由yi；240得yo2，代入(i)得k-5直线BC的方程为6x5y2802)由ABXAC得xix2yiy2i4(yiy2)i60(2)设直线BC方程为ykxb,代入4x25y280,得(45k2)x2i0bkx5b2800XiX2i0kbr，XiX245k,2-5b8045k2yiy28k45k2,yiy24b280k245k2代入（2）式得9b232bi645k20，解得b4（舍）或b4y直线过定点(0,：),设D(x,y),则9y9y29x232yi60所以所求点D的轨迹方程是x2(y奕)2(20)2(y4)。99例2、如图，已知梯

15、形ABCD中AB2CD，点E分有向线段足所4、设而不求法成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当2邑时,34求双曲线离心率e的取值范围分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建22立直角坐标系xOy，如图，若设Cf,h,代入笔与1,求得hL,2ab22进而求得XeL,yEL,再代入与与1,建立目标函数abf(a,b,c,)0,整理f(e,)0,此运算量可见是难上加难.我们对h可米取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,)0,整理f(e,)0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB

16、为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记Ac,0,C|,h,EX0,y，其中c1|AB|为双曲线的半焦距,由定比分点坐标公式得X。22设双曲线的方程为土m1则离心率e-a由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e三代入双曲线方a程得2.2曳虹14b2，U1b21.22由式得将式代入式，整理得3e213e22e10解法二：建系同解法一,AEaexE,ACcc22c121又饵|AC设23得，21，？343e224解得7e.10Xe厂，代入整理由题e1由题设Z3解得所以双曲线的离心率的取值范围为J7，而分析：考虑

17、|AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,|AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.所以双曲线的离心率的取值范围为PQMF,MPFQ思维流程:(I)uitruuu由AF?FB1,uurOF1(ac)(ac)1,c1写出椭圆方程(n)两根之和，两根之积uuiruuirMP?FQ0得出关于m的方程yxm22x22y22223x4mx2m20解出m解题过程:(I)如图建系，设椭圆方程为22与1(ab0),则c1ab又：AFFB1即(ac)(ac)2故椭圆方程为:y21(H)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心,设P(Xi,yi),Q(X2,y2),M(0

18、,1),F(1,0)，故kpQ1,于是设直线lxm/曰2得，2y22223x4mx2muuruuuMPFQ0x1(x21)V201)xim(i1,2)得X1(X21)(x2m)(%m1)22%x2(为x2)(m1)mm0由韦达定理得c2m224m,八2(m1)m23解得m4或m1(舍)3经检验m:符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、B(2,0)、C1,-三点.2(I)求椭圆E的方程:(H)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0),H(1,0),当DFH内切圆的面积最

19、大时，求DFH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2ny21得到m,n的方程解出m,n(n)由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点-3得出D点坐标为0,3解题过程：(I)设椭圆方程为mx2ny21m0,n0将A(2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入椭圆E的方程，得9解得m1,n1.L椭圆E的方程1.m-n143434(n)|FH|2,设ADFH边上的高为Sdfh12hh2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为虹所以Sdfh的最大值为石.设DFH的内切圆的半径为R,因为ADFH的周长为定值6.所以,八1SDFHR62所以R

20、的最大值为乎所以内切圆圆心的坐标为(0,点石成金：S的内切圆例8、已知定点i的周长的内切圆C(1,0)及椭圆X23y25,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.(I)若线段AB中点的横坐标是；求直线AB的方程;(H)在x轴上是否存在点m，使mAmB为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程:(I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1),将yk(x1)代入x23y25,消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设A(x,y),BMV2),42236k44(3k21)(3k25)则6k2xx2k.x20,2甘线段AB中点的横坐标是-，得2-，解得2

21、23k12k3,符合题意。3所以直线AB的方程为xy10,或xV3y10.(n)解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MAMB为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知一2一26k3k5X2一，见一2.3k213k21uuurunr所以MAMB(xm)(x2m)vm(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)xx2(k2m)(xx2)k2m2.将代入，整理得_1214uuruur(6m1)ka2b28则41解得252(2m3)(3k1)2m2MAMB/-m2a2b2z3m23k213k212c16m14m2m-z33(3k21)注意到MA而是与k无关的常数，从而有6m140,mru

22、nr4MAMB-9当直线AB与x轴垂直时，此时点A,B的坐标分别为1,差，当m3:时，、，uuuuuu4亦有MAMB9综上，在x轴上存在定点30，使MAMB为常数.1214点石成金:uuu；(6m1)k2MAMB23k21(2m-)(3k21)2m-323m3k21八16m142m233(3k21)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m丰0),l交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(II)求m的取值范围；(m)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程:222椭圆方程为-8解：(1)设椭

23、圆方程为%1(ab0)ab(D.直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m又Komy由2=l的方程为：y-xm22ixm222x2mx2m40x8直匕i2线l与椭圆交于A、B两个不同(2m)24(2m24)0,2m(m)2,且m0设直线MA、MB的斜率分别为ki,k2,只需证明ki+k2=0解得点，即可设A(xi,yi),Bg,y2),且x2x22m,xx22m则kiT2xi2yix22由x22mx2m240可得xiX22m,x1x22m2而kik2yiixi2yix22(yi1)(x22)(y2(Em21)(x2i)(xi2)(xi2)(x22)i2)(5x2mi)(xi2)(xi2)(x22)

24、xix2(m2)(xix2)4(mi)(xi2)(x22)22m24(m2)(2m)4(mi)(xi2)(x22)2m2242m4m4m40(xi2)(x22)kik20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形k1k202例10、已知双曲线：a21的离心率，过A(a,0),B(0,b)的直b3线到原点的距离是2(1)求双曲线的方程;(2)已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程:2妍原点到直线AB:3，ab厂abc、32故所求双曲线方程为(2)把ykx5代入x23y23中消去整理得(

25、13k2)x230kx780.设C(xi,yi),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y),则X0kBExix22y01x。15k3k2y1.kkx55213k2x0ky00,即号5k13k20,又k0,k2故所求k=士v；7.点石成金：C,D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;B不是(II)若直线i：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标.思维流程:2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为与a2b1(ab0)，由已知得：ac3,ac1,a2,c1,椭圆的标准方程为2匕1.3(II)设A(xi,y),Bgy)ykxm,联立22xy1.43得(3.2、24k2)x28mkx4(m23)0,则22_64mk16(3224k)(m3)0,即34k2m20,222。bac38mkxix2234k4(m23)*.34k又加2(kxm)(kx22m)kx1x2mk(x1x2)3(m24k2)34k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶