分式概念及意义知识讲解

1、分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A+B可以表示成B的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做A分式的分母，如果除式B中含有字母，式子少就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式月的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。A3、(1)分式：目，当B=0时，分式无意义。(2)分式:分式有意义。(3)分式:时,分式的值为零。A村0(4) 分式：E,当I时，分式

2、的值为1。A仲HU>0f-4<0A(5) 分式:矿当&胴号时，即交。或卢E时，B为正数。w。U>0U<0An<o<!分式：E,当M溟社时，即1目E或伊邓时，R为负数AMioU<0A分式：£,当I""时或K<时，&为非负数三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。2、这个性质可用式子表示为：臼或&+(M为不等于零的整式)3、学习基本性质应注意几点：(1) 分子与分母同乘或同除

3、的整式的值不能为零；(2) 易犯错误是只乘(或只除)分母或只乘(或只除)分子；(3) 如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：AA-A-AA-A-AA=占一片2BB。?。四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。2、约分的理论依据是分式的基本性质。3、约分的方法：(1) 如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次藉，当分子和分母的系数是整数

4、时，还要约去它们的最大公约数。90例1,请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？(1)3(2)次十3(3)a-b114-R(5)3a2_2a(6)篦。解：根据分式定义知(1)、(2)、(3)是分式，(4)、(5)、(6)是整式。说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里二一白是分式，不a2-b2(ab)(a-)/护a2-b2能因为以一b=8=a+b，而认为以-勿是整式，a+b是分式心一占的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外河是整式而不是分式。虽然分母中有缶但兀不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此互的除式中不含字母。例2,在分式(1)工-2(2)(3)LW3

5、J中，字母x的值有什么限制?解：(1)在在中，当x=2时，使得分母x-2=0,x乒2,-2在次*'中，当x=-2时，使得分母x+2=0,.x右2,白-1爪+刃(2) 在tX7"-3中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0,-x右2且x乒3。例3,x为何值时，分式2工十(1)无意义；(2)值为零；(3)值为1;(4)值为非负数。3解：(1)当分母2x+3=0时分式无意义，x=-Z时，分式无意义。2片+3金。，2(2) 当1一1一。时，分式值为零。L'"',x=1时分式值为零。*0I当时，分式值为1,.x=-4时分式值为1-1>0

6、<0I(3) .当9次3>口或时，分式值为非负数。IX>1p<l2或I”2.xAl或x<-?时分式值为非负数。6-2|川例4,当x取何值时，分式(1)值为零；(2)无意义；(3)有意义。解：(1)当(x+3)(x-1)乒0时，分式有意义，-当x弄3且x乒1时分式有意义。又6-2|x|=0时分式值为零，贝U3-|x|=0,|x|=3,x=±3。X-x=3时分式值为零。(2)I，(x+3)(x-1)=0分式无意义，即x+3=0或x-1=0,-x=-3或x=1时分式无意义。说明：对于(1)也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入

7、分母验证是否为零，不为零者即为所求。对于(2)当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意或”字的使用。解：(3)I，(x+3)(x-1)乒0时分式有意义。即x+3乒0且x-1乒0时，-x右3且x乒1时分式有意义，说明：对于(3)分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)乒Q当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x右3且x乒1,用且"字，而不用或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1,即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0,而使分式都会无意义

8、。例5,写出等式中未知的分子或分母：x-y_()a2-茹"ba十1痘'十建白(1)57；(2)必()；(3)网)；(1)分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如(1)右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。解：未知的分子是(x-y)2,(2)分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a-ah-b)_汀-3解：益=血&,未知的分母是bo(3)a2+ab=a(a+b)(将分子因式分解)志*&_(僵+温.耳弟y(比较分子，发现

9、分子、分母同乘以a)a(a+A)=2*,2ab即为所求的分母。例6,把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数11X+V351rx-V(1)530.4(2-0.7(2)(1)分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15,再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。1111、z一"一y(-7+-)X15£3535。兀+11/I1*4工3jv-5y一/(-j-j/)x!5"解：-=-。物编-。.7占)对04a-lh2)解：0d+弟=+焚)X1Q=山,理注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)X0=2a+3b这样的错误。Ixy2-5ac2例7,

10、不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含-"'号，(1)-T&'护；(2)-7勿解：根据分式的符号法则得:w7xy2-5ac2W1）中改变分式（i）-3z小护=M；（2）上槌=-祈注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。例8,不改变分式的值，依照x的降藉排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数XX7T（1）工十3；（2）-_工3十工_?应*5-胃-木+5-（广匀a-5解：（1）应十3=-F十"3=一”r-3=*-天-3；说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母

11、都按x的降藉排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可,提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。再使用符号法则，要注注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面,意避免下列的错误：-应+5出+5-r2+r+3-15戒才洒g30例9,约分：(1)*(2)-96&耘"5g-3刃与解：（1）*=破1(11=-3yz10。时千万不要犯下列*215注意：分母的因式约去后得1,分式变为整式。若化简分式一1,刀'£错误：5m话5x0匚话按K=5少如勺'。小朋丁。4/护尸七5/&

12、gt;）5/尸。氟机顷夜"/史=4妒广必3密力=由7=-而7注意：分母的负号一般要移去。(KJ-2尸（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。a-bc?*&杜-773-x2+j-1例10、约分：（1）疽-护；（2）口'-4a+3；（3）*一1;（4）'（5）-由十1。a-b=解：（1）/-护卫+如（白顼Z。1_暴）,因为分式a-ba-b1j'j'i注意：不要把af约成宜一白=队占，也不要将最后结果写成1的横线表示括号，再写括号就多余了。+6-70+力（住一1）=d（2）/f+3=0-3）（Da-。a+6（-76lz_7不是同

13、除以相同的注：不要将-4dt+3约做一4+3，因为这样是分子分母都减区，整式。；?一十义1F（x-1）十（工-1）o-）（F十1）（3）U=K-l=Al=x2+1。注：不要犯下面的错误:T-1=x3-x2。十1）F（广2沪（+1尸（4）（妒_折（2-方3=T3司（厂折3-疗=-3+顶（Ll）mG-岁注意：这里应用到了（2-x）3=-（x-2）3的变形。1-/-/+1（5）应'-2工+1=k'-2k+1（分子按x的降藉排列）=3-Zx+1（分子提取公因式-1）-（上+1）（L1）=（i）（分子、分母都分解因式）S+D=H1（约去公因式：x-1）"1=-X一1（应用分式的符号法则）说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。附录:、本讲教学内容及要求单元节次知识要点教学要求分式分式(1) 分式概念(2) 有理式概念A(了解)A分式的基本性质(1) 分式的基