出栈序列与卡特兰数

1、栈是一种常见的数据结构，有许多关丁栈的问题，其中之一就是统计元素可能的出栈序歹0。具体说，就是给定n个元素，依次通过一个栈，求可能的出栈序列的个数。如果我们用直接模拟的方法，当n较大时会很费时间；例如动态规划。令fi,j表示栈内有i个元素且栈外有j个元素还未进栈，那么以进栈还是出栈为决策就马上得到了转移方程fi,j=fi-1,j+fi+1,j-1。如此一来，很多重复的计算得以免去，效率大幅提高（时间复杂度为指数级，大概为NA2级的算法）。另一种方法是利用组合数学求出栈序列个数，得到公式下面我们来看一种图形化的方法证明这个等式，很容易理解的。我们把对n个元素的n次进栈和n次出栈理解为在一个n*n

2、的方格中向右走n次（代表进栈），向上走n次（代表出栈）。由丁出栈次数不能大丁进栈次数，我们可以得到这样一个方格：每次沿着实线走，所以，只要求出从方格左下角到右上角路径的个数即可。我们把表格补全，考虑每一条不合法的路径，如在这条路径上，必然有一个地方连续两次向上，即从图上蓝点处开始，而且这个点必然在如图所示的绿线上。我们以这个点为起点，把到左上角整条路经取反，也就是对称上去，得到一条新路径，但是超出了表格。我们知道，这条路径包括n+1次向上和n-1次向下，也就是在一个(n+1)*(n-1)的方格中。由此我们知道，一条不合法路径必然对应一个(n+1)*(n-1)方格中的路径。同样地，对于(n+1)

3、*(n-1)方格中任意一条路径，以这条路径与绿线的第一个交点为起点到方格的右上方全部取反，即可得到一个在n*n方格中的不合法路径。我们通过这样的方法确定了每条不合法路径与一个(n+1)*(n-1)方格中路径的一一对应关系，因此，方格中不合法路径总数为C(2n,n-1)，而所有路径总数为C(2n,n),两式相减即为原组合等式。解二:出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,.n,有多少个不同的出栈序列？分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态1出栈设为状态0。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1-n的顺序排列、入

4、栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(avb)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成

5、的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个,2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。因而不合要求的2n位数与n+1个0,n1个1组成的排列对应。显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)类似题目：其中有一个类似的题目：有2n个人排成一行进

6、入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)卡塔兰数卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁查理卡塔壬1814-1894)命名。原理：令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递归式：h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+h(n-1)h(0)(其中n=2)该递推关系的解为：（2孔）!卡塔兰数的一般项公式为(n+1)!找!类递归式：h(n)=(4*n-

7、2)/(n+1)*h(n-1);前几项为(OEIS中的数列A000108):1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,6564120420,24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324,4861946401452,.性质forn1Cn的另一个表达形式为所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是Andre对前一公式证明的基

8、础。（见下文的第二个证明。）andG+iGCttTforn0.2(2n+1)它也满足卡塔兰数满足以下递推关系这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。卡塔兰数的渐近增长为它的含义是左式除以右式的冏趋向于1当n8。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)所有的奇卡塔兰数Cn都满足n=2k-1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。应用组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在RichardP.Stanley的EnumerativeCombinatorics:Volume2书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例：Cn表示长度2n的dyckword的个数

9、。Dyckword是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyckwords:XXXYYYXYXXYYXYXYXYXXYYXYXXYXYY将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：()()()()()()()()()()Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。(一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。)Cn表示所有在nxn格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算

10、这种路径的个数等价于计算Dyckword的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n=4的情况：Cn表示通过连结顶点而将n+2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n=4的情况:Cn表示对1,.,n依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w)=(1,.,n),其中S(w)递归定义如下：令w=unv,其中n为w的最大元素,u和v为更短的数列；再令S(w)=S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。Cn表示集合1,.,n的不交叉划分的个数.那么，Cn永远不大于第n项贝尔数.Cn也表示集合1,.,2n的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明thatallofthefreecumulants