阿波罗尼斯圆问题

1、阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版?数学必修 2?P.112第12题：1点M (x, y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足2什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】书中，曾研公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在?平面轨迹? 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A, B为两定点，动点 P满足PA = 'PB ,那么 =1时，动点P的轨迹为直线；当 =1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB =2m (m 0),PA二 PB

2、以AB中点为原点，直线 AB为x轴建立平面直角坐标系，那么 A (- m,0), B (m,0).又设 C (x, y),那么由 PA VPB 得.(x m)2 y . (x -m)2 y2 ,两边平方并化简整理得(2 -1) x2 -2m ( 2 1) x ( 2 -1) y2 二 m2(1 - 2),当=1时，x=0，轨迹为线段 AB的垂直平分线;当，1时,2 2m) y空224 m( -1)轨迹为以点亠1(rm,0)为圆心,长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】例1满足条件AB = 2, AC = <2BC的三角形ABC的面积的最大值是 .解：以AB

3、中点为原点，直线 AB为x轴建立平面直角坐标系，那么 A (-1,0),B (1,0)，设 C (x, y),由 AC = ；2BC 得.(x 1)2 y22 (x-1)2 y2 ,平方化简整理得 y2=x'+6x1 = (x 3)+8w8y <22，贝U1S ABC2y < 2. 2，二 S ABC 的最大值是 2 、2 变式 在:ABC中，边BC的中点为D ,假设AB = 2,BC =*2AD ,那么.：ABC的面积的最大值是.解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， 那么A (一 1,0), B (1,0),由BD =CD,BC二.2AD知，AD二.2

4、BD , D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x-3)y2=：8，设C(x,y) , BC的中点为D得D(彳，丫)，所以点C的轨迹方程为2 2-3)2(-y)2 =8，即x-5)2 y2 =32 ,2 21二 S abc2 y = y _ 32 = 4 、2，故 S abc 的最大值是 4 2 .例2 在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0, a 2)，假设存在点P，使得PA二&PB,PC二PD，那么实数a的取值范围是 .解：设 P(x,y)，那么.(x-1)2 y2 二、.2 . (x-3)2 y2 , 整理得(x -5)2 y8，即动点

5、P在以(5,0)为圆心，2 2为半径的圆上运动.另一方面，由PC二PD知动点P在线段CD的垂直平分线 y二a T上运动，因而问 题就转化为直线 丫 =a 7与圆(x-5)2 y2 =8有交点，所以a+1兰2逅，故实数a的取值范围是_2运一1,2运一1.例3在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3，直线I: y = 2x-4.设圆的半径为1圆心在I上.假设圆C上存在点 M，使MA =2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解: 2 2设 C(a,2a4 )，那么圆方程为(xa ) +(y2a+4) =12 2 2 2又设, ,MA=2MO x。y。-3 4x。 4y。，即2 2x°y

6、76; 142 2 2 2这说明M既在圆(x a ) +(y 2a +4 ) =1上，又在圆x +( y+1) =4上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切,2 -1 <2 2a 02a -4 -(-1)2 1 ,120,512解得0 _ a ，即a的取值范围是5例 4 O O: X2 y2 =1 和点 M (4,2).(1)过点M向O O引切线丨，求直线丨的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线 y =2x_1截得的弦长为4的O M的方程;(3)设P为(2)中O M上任一点，过点 P向O O引切线，切点为 Q.试探究：平面内是PQ否存在一定点R，使得为定值？假设存在，请举出一例，并指出

7、相应的定值；假设不存在，PR请说明理由解：(1)设切线丨方程为y 一2 = k(x -4)，易得|4k二2| =1，解得k二819 ,158 土切线I方程为y-2(x-4).15(2)圆心到直线y =2x -1的距离为.5，设圆的半径为r，那么r22 C、5)2 =9 O M 的方程为(x -4)2 (y 一2)2 =9(3)假设存在这样的点R(a,b)，点P的坐标为(x, y)，相应的定值为,根据题意可得PQ = x2 y2 -1 ,px2 + y2 _1.(x -a)2 (y -b)2即 x2 + y2 -1 =人2(x2 + y2 2ax 2by + a2 +b2)(*),2222又点

8、P 在圆上(x - 4) (y - 2) =9，即 xy = 8x 4y -11,代入(*)式得:8x 4y-12= *(8-2a)x (4-2b)y (a2 b2 -11)丨九2 (8 - 2a) = 8假设系数对应相等，那么等式恒成立， 皿2(4-2b) =4,&2(a2 +b2 _11) = -12- 2 1 . 10解得 a = 2,b =1= 2或a 二一，b = -=,553可以找到这样的定点PQLR，使得为定值.如点R的坐标为(2,1)时，比值为.2 ;PR2 1点R的坐标为(一，)时，比值为5 5103四、【练习】1 如图，在等腰 :ABC中， AB = AC , B(

9、_1,0),AC边的中点为D(2,0)，点C的轨迹所包围的图形的面积等于 解：/ AB =2AD ,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为(x-3)2 y2 =4 ,设C(x, y)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4-x,-y)，所以C的轨迹方程为(4 _x _3)2 (_y)2 二4，即(x_1)2 y2 二4，面积为2.如图，平面二.1平面一：，A、B是平面:-与平面1的交线上的两个定点，DA 一 L：,CB 一 1：'，且DA _ :CB _ :- , AD = 4 , BC = 8, AB = 6，在平面爲上有一个动点P，使得.APD二/BPC，求.PAB的面积的最大

10、值.解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P所满足的几何条件.ADDA .1 二.DA _ PA 在 Rt PAD 中，tan ZAPD 二APBC 8同理 tan _ BPC = ,BP BP-APD =/BPC . BP =2AP，这样就转化为题 3的题型.4_AP，在平面:-上,以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为 x轴,建立平面直角坐标系，那么A( -3,0), B(3,0)，设 P(x, y)那么有.(x-3)2 y2、.(x 3)2 y2(y = 0)化简得:(x 5)2 y2 =16 , . y2 =16-(x 5)16 , |y4 ,1PAB的面积为Spab

11、I y| I AB|=3| y|釘2，当且仅当x =5,y=4等号取得，那么2PAB的面积的最大值是12 .3圆0与圆。2的半径都是1 , O1O2 -4，过动点P分别作圆Oi、圆。2的切线PM ,PN ( M ,N分别为切点)，使得PM二.2PN 试建立适当的坐标系， 并求动点P的 轨迹方程.解：以Oi, O2的中点O为原点，Oi，O2所在直线为x轴，建立如下图平面直角坐标系,那么。1(-2,0)，因为两圆的半径都为 1,所以有:那么(x 2)2 y2 -仁 2(x -2)2 yPOi2 -1 =2(PO； -1)，设 P(x,y)，2 -1，即(x -6)2 y2 =33，此即P的轨迹方程.2 24定点O(0,0)，点M是圆(x 1) y =4上任意一点，请问是否存在不同于O的定点A使都为凶9常数？假设存在，试求出所有满足条件的点A的坐标,假设不存在，请MA说明理由.解：假设存在满足条件的点 A(