2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷解析版

1、2017年市嘉定区高考数学一模试卷、填空题(共 12 小题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分)为_4.(4 分)若函数 f (x) =log2(x+1) +a 的反函数的图象经过点(4，1)，则实数 a=_ .5.(4 分)已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n=_ .6.( 4 分)甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有_ 种.7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为_ cm3.8. 若数列an的所有项都是正数，且 回巫|+松

2、=*+3n (n N*)，则9._ 如图， 在 ABC 中， / B=45, D 是 BC 边上的一点， AD=5, AC=7, DC=3,则 AB 的长为_ .10. 有以下命题：1若函数 f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f (x)的值域为0;2若函数 f (x)是偶函数，贝 U f (| x|) =f (x)；1.（4分）2.（4分）3.（4分）设集合 A=x| x-2|V1, x F，集合 B=Z 则 AAB=r. )(30)的最小正周期是n，贝 U3=设 i 为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离函数 y=sin（x（3若函数 f ( X)在其定义域不是单调函数，则 f

3、( X)不存在反函数；4若函数 f (X)存在反函数 厂1(X),且厂1(X)与 f (X)不完全相同，则 f (X)与厂1(x)图象的公共点必在直线 y=x 上;其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号)11 设向量应* (1,- 2),屈=(a, - 1),同=(-b, 0),其中 0 为坐标 原点，a0, b0,若 A、B、C 三点共线，则丄+十勺最小值为 .12如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2cm,高为 5cm, 质点自二、选择题(共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)13.“X2”是 “20, an的前 n 项和为 S，贝U以 下结论中一定正确的是(

4、)A.Sn单调递增B.Sn单调递减 C. s 有最小值D.Sn有最大值15. 给出下列命题：IJ(1) 存在实数a使虽门十 ggUp.(2) 直线”二一是函数 y=sinx 图象的一条对称轴.(3) y=cos (cosx)(x R)的值域是cos1, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且a B,则 tanatan3其中_cm.A1点的最短路线的长为正确命题的题号为()A.( 1)( 2) B.( 2)( 3) C.( 3)( 4) D.( 1)( 4)16.如果对一切实数 x、y,不等式亠-coSxasinx-恒成立，贝 U 实数 a 的取值 围是()A.(-x,#B. 3,+x)C.-殛

5、,2 回 D.-3,3三、解答题（共 5 小题，满分 76 分）17. （ 14 分）如图，已知 AB 丄平面 BCD, BC 丄 CD, AD 与平面 BCD 所成的角为30 且 AB=BC=2（1）求三棱锥 A- BCD 的体积；（2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函18.（14 分）在厶 ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，且农口或冃.（I）求角 A 的大小；（II）若 a=j, b+c=3,求 b 和 c 的值.19.（14 分）某地要建造一个边长为 2（单位：km）的正方形市民休闲公园 OABC 将其中的区域 ODC

6、 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（1,2）,曲线 OD 是函数 y=af 图象的一部分，对边 OA 上一点 M 在区域 OABD 作一次函数 y=kx+b （k0）的图象，与线段 DB 交于点 N （点 N 不与点 D 重合）， 且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P,四边形 MABN 为绿化风景区:(1)求证:b=-;（2）设点 P 的横坐标为 t，用 t 表示 M、N 两点坐标；将四边形 MABN 的面 积S 表示成关于 t 的函数 S=S（t），并求 S 的最大值.CDN B-0A20.( 16 分)已知函数 f (x) =9x-2a?3x+3:(

7、1) 若 a=1, x 0,1时，求 f (x)的值域；(2) 当 x - 1,1时，求 f (x)的最小值 h (a);(3) 是否存在实数 m、n,同时满足下列条件：nm3;当 h (a)的定 义域为m,n时，其值域为m2, n2，若存在，求出 m、n 的值，若不存在， 请说明理由.21.( 18 分)已知无穷数列an的各项都是正数，其前 n 项和为且满足： a1=a,rSn=anan+1- 1,其中 a 1,常数 r N；(1) 求证：an+2- an是一个定值；(2) 若数列an是一个周期数列(存在正整数 T,使得对任意 n N*,都有 an+T=an成立，则称an为周期数列，T 为它

8、的一个周期，求该数列的最小周期；(3)若数列 an 是各项均为有理数的等差数列， cn=2?3n-1(n N*),问： 数列G中的所有项是否都是数列an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出 反例.2017年市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 12 小题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.设集合 A=x| x-2|V1 , x R，集合 B 二乙则 AHB= 2.【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：|x- 2|V1，即-1Vx-2V1,解得1Vxv3,即 A= （1，3），集合 B=Z则 AHB=2，故答案为：2【点

9、评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合 理运用.2.函数 y=sin（x-飞）（30）的最小正周期是n，贝U 3=2【考点】正弦函数的图象.【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值.【解答】=冗,故答案是：2.【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题.3.设 i 为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为解： y=sin (30)，【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.推理能力与计算能力，属于中档题.4.若函数 f (x) =log2(x+1) +a 的反函数的图象经过点(4,

10、 1),则实数 a= 3 【考点】反函数.【分析】由题意可得函数 f (x) =log2(x+1) +a 过(1, 4),代入求得 a 的值. 【解答】解：函数 f (x) =log2(x+1) +a 的反函数的图象经过点(4, 1), 即函数 f (x) =log2(x+1)+a 的图象经过点(1, 4), 4=log2(1+1) +a 4=1+a,a=3.故答案为：3.【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题， 属于基础题.5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,贝卩 n= 6.【考点】二项式系数的性质.【分析】令二项式中的 a=b=1

11、 得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和 公式得到各项二项式系数的和 2n，据已知列出方程求出 n 的值.【解答】解：令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和 4n又各项二项式系数的和为 2n=nn.I 3(3+4i)HL2i3 尸Ml25(912.也25 原点的距离彳(备尸+(里【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了故答案为:25【解答】解：复数: ;对应的点话到据题意得 卜| |，解得门=6.故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和； 二项式系数和为2n.属于基础题.6.甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2

12、门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 60 种.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】间接法：先求所有两人各选修 2 门的种数，再求两人所选两门都相 同与都不同的种数，作差可得答案.【解答】解：根据题意，采用间接法：1由题意可得，所有两人各选修 2 门的种数 C52C52=100,2两人所选两门都相同的有为 G2=10 种，都不同的种数为 C52C32=30， 故只恰好有1 门相同的选法有 100- 10- 30=60 种.故答案为 60.【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是 解决本题的关键，属中档题.7.若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆

13、心角为 270的扇形，贝 U 这个圆锥的体积为三丄只cm3. 呂 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形,【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得:此扇形的弧长2n故圆锥的高 h圆锥的体等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等 于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.8若数列an的所有项都是正数，且二+ + 千*+3n (n N*),则【考点】数列的求和；极限及其运算.【分析】利用数列递推

14、关系可得 an,再利用等差数列的求和公式、极限的运算性 质即可得出.【解答】解： +$4=n2+3n (n N*),二 n=1 时，“ =4,解得 ai=16.n2 时，且冊闯+%_= (n- 1)2+3 (n- 1 )，可得：由=2n+2, an=4 (n+1)2.【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题.9.如图，在 ABC 中，/ B=45, D 是 BC 边上的一点,AD=5, AC=7, DC=3,则故答案为：2.=2.AB 的长为【考点】余弦定理.【分析】先根据余弦定理求出/ ADC 的值，即可得到/ ADB 的值，最

15、后根据正弦 定理可得答案.【解答】解：在 ADC 中，AD=5, AC=7, DC=3,/ ADC=120,/ ADB=60在厶 ABD 中，AD=5,/ B=45, / ADB=60 , 由正弦定理得|或门罗如二蛊，故答案为：口【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,运用正弦定理和余弦定理属基础题.10. 有以下命题：1若函数 f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f (x)的值域为0;2若函数 f (x)是偶函数，贝 U f (| x|) =f (x)；3若函数 f ( X)在其定义域不是单调函数，则 f ( X)不存在反函数；4若函数 f (X)存在反函数 f1(X),且 f1(X)

16、与 f (X)不完全相同，则 f (x) 与 r1(x)图象的公共点必在直线 y=x 上;其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】函数 f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f (x) =0.利用偶函数的定 义和性质判断.利用单调函数的定义进行判断.利用反函数的性质进行判断.【解答】解：若函数 f (x)既是奇函数又是偶函数，贝 U f (x) =0,为常数函数， 所以 f (x)的值域是0,所以正确.若函数为偶函数，则 f (- x) =f (X),所以 f (| x| ) =f (X)成立，所以正 确.222由余弦定理得 cos/ 3

17、 嘩产在解决问题的过程中要灵活3因为函数 f (x)在定义域上不单调， 但函数 f (X)存在反函数，所以错误.4原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x 对称， 但不一定在直线 y=x 上, 比如函数 y=-匹亘与其反函数科=-1 (x0, b0,若 A、B、C 三点共线，则|+|的最小值为 8 .【考点】基本不等式.【分析】A、B、C 三点共线，则刚=極|,化简可得 2a+b=1 根据吉+吕=冲+右)(2a+b),利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量仃=(1，- 2),再=(a, - 1), |刁二(-b, 0),其中 O 为坐标原点，a0, b0,個極-尿(a- 1, 1)

18、,园我-霽(-b - 1, 2), A、B、C 三点共线,故答案为：8b 4a=8,当且仅当 a 寺,b 二寺,【点评】本题主要考查两个向量共线的性质， 两个向量坐标形式的运算，基本不 等式的应用，属于中档题.12如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2cm,高为 5cm, 质点自【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线, 正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱 ABC- A1B1G沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度， 也即为三棱柱的侧面

19、上 所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于 6X2=12，宽等于 5,由勾股定理 d? 而=13 故答案为：13.【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现 了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法.、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）Ai点的最短路线的长为13 cm.如图所示,13.“X 是 “X 4”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先求出 x2v4 的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由 X2V4,解得：-2XV2

20、,故 x 2 是 x2 4 的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题.14.若无穷等差数列&的首项 ai0，an的前 n 项和为 S，贝 U 以 下结论中一定正确的是()A.sn单调递增B.Sn单调递减C.s 有最小值D.sn有最大值【考点】等差数列的前 n 项和.结论.0,二 Sn有最小值.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题.15. 给出下列命题：(1) 存在实数a使”门口十匚“口#.(2)直线是函数 y=sinx 图象的一条对称轴.(3) y=cos (cosx

21、)( x R)的值域是cos1，1.(4)若a，B都是第一象限角， 且a B,则 tanatan3其中正确命题的题号为( )+ (引一 n，禾 U 用二次函数的单调性即可判断出【分析】Sn=nai+【解答】解：Sn=nai+d掷2+(；町专”，A.( 1)( 2) B.( 2)( 3) C.( 3)( 4) D.( 1)( 4)【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性; 余弦函数的定义域和值域.TT【分析】(1)禾 I用辅助角公式将巧 nd 十 8 乂朋 曰 in (口十-厂)可判断(1);(2) 根据函数 y=sinx 图象的对称轴方程可判断(2);(3) 根据

22、余弦函数的性质可求出 y=cos (cosx)(x R)的最大值与最小值，从 而可判断(3)的正误；(4)用特值法令a, B都是第一象限角，且a B,可判断(4)【解答】解：(1)：虽口口十 eg 口日 in( a寻，.( 1)错误;正确;(3)根据余弦函数的性质可得 y=cos ( cosx)的最大值为 ymax=cos0=1, ymin=cos(cos1)，其值域是COS1, 1 ,(3)正确；(4)不妨令兀*目二一，满足a, B都是第一象限角，且a B,但 tanavtang(4)错误； 故选 B.【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、 正切函数的性质，着重考查学生综合运 用三角函数的性质

23、分析问题、解决问题的能力，属于中档题.16. 如果对一切实数 x、y,不等式 J - cos?xasinx-恒成立，贝U实数 a 的取值围是()A.(-x,會B. 3,+7C.-曇,2 四 D.-3,3为 asinx- sin2x 0、sinxv0、sinx=0 三类讨论,(2) vy=sinx 图象的对称轴方程为工二 k 兀+(k Z) , k=-(2)【考点】函数恒成立问题.【分析】 将不等式打-coWx asinx-打恒成立转化为 立，构造函数 f (y)，利用基本不等式可求得 asinx+1sin2x 恒成f (y)min=3,于是冋题转化可求得对应情况下的实数 a 的取值围，最后取其

24、交集即可得到答案.【解答】解：？实数 x、y，不等式j- cos2xasinx-彳恒成立?着+牛asinx+1 -si/x 恒成立， 令 f（ y）琦+#，所以，asinx+1- si/xw3，即卩 asinx sin2xw2 恒成立.1若 sinx 0，awsinx+二一恒成立，令 sinx=t，则 0vtw1，再令 g (t)二 t| (0VtW1 )，贝 U aWg (t)min.由于 g (t) =1-食v0,因此，g (t)min=g (1) =3,所以 aw3;2若 sinxv0,则 asinx+恒成立，同理可得 a- 3；3若 sinx=0, 0W2 恒成立，故 a R综合，-3

25、Waw3.故选：D.【点评】本题考查恒成立问题，将不等式打-cos?x asinx-*恒成立转化为打*y 9 as in x+1 - sinx 恒成立是基础，令 f （y）=孑+齐，求得 f （y）min=3 是关键，也 是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题.三、解答题（共 5 小题，满分 76 分）17.（14 分） （2017?模）如图，已知 AB 丄平面 BCD, BC 丄 CD, AD 与平面 BCD则 asinx+1 -当 y0 时,当 yv0 时,sin2x ff (y)= f(y)=y4y4min，2亠=3 （当且仅当 y=6 时取“ =），f （y）min

26、=3；0）的图象，与线段 DB 交于点 N（点 N 不与点 D 重合） ， 且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P,四边形 MABN为绿化风景区：（1）求证：b=-U（2）设点 P 的横坐标为 t，用 t 表示 M、N 两点坐标；将四边形 MABN 的面 积S 表示成关于 t 的函数 S=S（t），并求 S 的最大值.CDN B-fb+cr3一或b=2lbc=2气c=2S 匚二 1由（12分）(1 分)解得又 A 兀)，慣(6 分)0A【考点】函数模型的选择与应用.ry=ks+b|【分析】（1）根据函数 y=a*过点 D，求出解析式 y=2x2；由 ：，消去 y（2）写出点 P 的

27、坐标（t，2t2），代入直线 MN 的方程，用 t 表示出直线方程为 y=4tx-2t2，令 y=0,求出 M 的坐标；令 y=2 求出 N 的坐标；将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S （t），利用基本不等式求出 S得厶=0 即可证明 b=-的最大值.【解答】(1)证明：函数 y=ax2过点 D (1, 2), 代入计算得 a=2, y=2x2；由丁，消去 y 得 2x2- kx-b=0,由线段 MN 与曲线 0D 有且只有一个公共点 P,#=(-k)2-4X2Xb=0,解得 b=-辱；O(2)解：设点 P 的横坐标为 t，则 P (t, 2t2); 直线 MN 的方程

28、为 y=kx+b,1 2即 y=kx-占过点 P,O2 kt - =2t28解得 k=4t;y=4tx - 2t2将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数为所以 Sm3;当 h (a)的定 义域为m,n时，其值域为m2, n2，若存在，求出 m、n 的值，若不存在， 请说明理由.【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域.【分析】(1)设 t=3x，则 (t) =t2- 2at+3= (t - a)2+3 - a2, (t)的对称轴 为 t=a,当 a=1 时，即可求出 f (x)的值域；(2) 由函数 (t)的对称轴为 t=a,分类讨论当 av”时，当甘三 a 3 时，求出最小

29、值，贝 U h (a)的表达式可求；(3) 假设满足题意的 m, n 存在，函数 h (&)在(3, +)上是减函数，求出 h (a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【解答】解：(1)v函数 f (x) =9x- 2a?3x+3,设 t=3x, t 1, 3,则 (t) =t2 2at+3= (t a)2+3 a2，对称轴为 t=a.当 a=1 时， (t) = (t - 1)2+2 在1, 3递增，- (t) (1), (3),函数 f (x)的值域是:2, 6；(n)v函数 (t)的对称轴为t=a,当 x - 1, 1时，t 丄 当 avH时，ymi

30、n=h (a) = 当H= a3 时，ymin=h (a) = (3) =12-6a.(川)假设满足题意的 m, n 存在，tnm 3,二 h (a) =12-6a,函数 h (&)在(3, +x)上是减函数.又 h (a)的定义域为m, n，值域为m2, n2,r5,3,故 h (a)=7两式相减得 6(n - m) = (n - m) ? (m+n), 又tnm 3，二 m - n 0,Am+n=6,与 n m 3 矛盾.满足题意的 m, n 不存在.【点评】本题主要考查二次函数的值域问题， 二次函数在特定区间上的值域问题 一般结合图象和单调性处理，是中档题.21. ( 18 分)(2017?一模)已知无穷数列an的各项都是正数，其前 n 项和为 Sn,且满足：ai=a, rSn=anan+i 1，其中 a1,常数 r N