§2、3事件的概率与性质

1、2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院1第第 2 节事件的概率节事件的概率第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院2一、概率的统计定义一、概率的统计定义 对于事件发生的的可能性大小，需要用一对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指

2、标我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。叫做事件的概率。1 1、 概率的含义概率的含义2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院32 2、概率的统计定义、概率的统计定义 在一般情况下，对一个随机试验，如何在一般情况下，对一个随机试验，如何度量随机事件发生的可能性的大小呢度量随机事件发生的可能性的大小呢 ？为了？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。回答这个问题，我们先引进频率的概念。 设随机事件设随机事件A在在n次试验中发生了次试验中发生了r次，则次，则称比值称比值 r/ /n为这为这n次试验中事件次试验中事件A发生的频率，发生的频率，即即 ( )nr

3、fAn 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院4 在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：示随机事件一个极其重要的特征： 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非相当大，频率与概率是会非常接近的。常接近的。 频率稳定性频率稳定性频频率率概概率率如抛硬币的试验如抛硬币的试验 ( )( )nnfAP A 思思考

4、考：当当时时，吗吗？2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院5 因此，概率是可以通过频率来因此，概率是可以通过频率来“测量测量”的的, , 频频率是概率的一个近似。率是概率的一个近似。考虑在相同条件下进行的考虑在相同条件下进行的S 轮试验轮试验第二轮第二轮试验试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第第S S轮轮试验试验试验次数试验次数ns事件事件A出现出现ms 次次试验次数试验次数n1事件事件A出现出现m1次次第一轮第一轮试验试验2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院6事件事件A在各轮试验中的频率形成一个数列在各轮试验中的频率形成一

5、个数列 指的是：当各轮试验次数指的是：当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的出现的频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。 频率稳定性频率稳定性即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能够与某个常数比较接近。够与某个常数比较接近。1212,ssmmmnnn2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院7频率频率概率概率p这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，在实

6、际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值很大时事件的频率作为概率的估计值. .并称此概率为并称此概率为: :统计概率。统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。这种确定概率的方法称为频率方法。11mn22mnssmn2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院8历史上抛硬币试验的若干结果历史上抛硬币试验的若干结果实验者实验者抛硬币次数抛硬币次数 出现正面次数出现正面次数 频率频率 德莫根德莫根蒲丰蒲丰费勒费勒皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 10000 4979 0.

7、4979 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.50052022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院93 、概率的性质、概率的性质1、非非负负性性：0( )1(1)P A2、正正则则性性：()1(2)P 3、可可列列可可加加性性: :12,A A 若若两两两两互互不不相相容容，则则有有1212()()()(3)P AAP AP A2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院10二、古典概型（古典定义）二、古典概型（古典定义）在每次实验中发生的可能性是相同的在每次实验中发生的可能性是相同的. .古典概型是一类比较简单古典概型是一类

8、比较简单, ,直观的随机试验直观的随机试验, ,有以下有以下两个明显特征两个明显特征: :（1 1）试验所有可能的结果个数有限）试验所有可能的结果个数有限, ,即基本事件即基本事件个数有限，分别记为个数有限，分别记为样本空间可表示为样本空间可表示为（2 2） 各个试验结果各个试验结果123,n 123,n ；123,n 样本空间样本空间有限有限样本点样本点 等可能性等可能性2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院11 称此概率为古典概率；称此概率为古典概率； 这种确定概率的方法称为古典方法。这种确定概率的方法称为古典方法。即把求概率问题转化为计数即把求概率问题转化为计数

9、统计频数统计频数。定义：定义： 设试验设试验E E是古典概型是古典概型, , 其样本空间其样本空间由由n个样本点组成个样本点组成 , , 事件事件A由由k 个样本点组成个样本点组成 。则定义事件则定义事件A 的概率为：的概率为：注意：注意：排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 。( )kP An .A 包包含含的的样样本本点点数数包包含含的的样样本本点点数数2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院12例例 1 1 一批产品由一批产品由9090件正品和件正品和1010件次品组成，从中件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？任取一件，问取

10、得正品的概率多大？ 解：设解：设“取得一件产品是正品取得一件产品是正品”这一事件为这一事件为A，则，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（有（90+1090+10）种，而取得正品的取法有）种，而取得正品的取法有9090种，按古种，按古典概率的定义，典概率的定义，所求概率为所求概率为90( )9010P A 0.9. 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院13例例 2 2 一批产品由一批产品由9595件正品和件正品和5 5件次品组成，连续件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次从中抽取两件，第一

11、次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？则则A中包含的抽取方法共中包含的抽取方法共95955 5种，种，解：用解：用A表示事件表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：总的抽取方法有：1001009999种，种，第一次取正品的方法有第一次取正品的方法有9595种，种， 第二次取次品的方法有第二次取次品的方法有5 5种，种，所求概率为：所求概率为： 9551910099396P A 2022-3-13皖西学院皖西学院 经

12、济与管理学院经济与管理学院14例例3 3 在例在例2 2中，若仍是不放回抽取两件产品，计算中，若仍是不放回抽取两件产品，计算“抽得一件为正品，一件为次品抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。，的概率。 解：设解：设A表示表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品第一次抽得次品且第二次抽得正品”，显然显然A与与B是互斥事件，是互斥事件，所求事件所求事件“一次取得正品，一次取得次品一次取得正品，一次取得次品”，即为即为A+ +B. . P ABP AP B9555951910099100991982022-3-13皖西学院皖西学

13、院 经济与管理学院经济与管理学院15例例4 4 一批产品共一批产品共200200个，有个，有6 6个次品，求（个次品，求（1 1）任取）任取3 3个恰有个恰有1 1个次品的概率；（个次品的概率；（2 2）任取）任取3 3个全非次品的概个全非次品的概率。率。 设设A=A=任取任取3 3个恰有个恰有1 1个次品个次品 ，B=B=任取任取3 3个全个全非次品非次品 ，则，则1261943200( )0.0855C CP AC31943200()0.9122CP BC 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院16例例5 5 2 2封信随机地向标号为封信随机地向标号为1 1、2

14、2、3 3、4 4的的4 4个邮个邮筒投递，求第筒投递，求第2 2个邮筒恰好被投入个邮筒恰好被投入1 1封信和前两封信和前两个邮筒各有个邮筒各有1 1封信的概率。封信的概率。设设A=A=第第2 2个邮筒只有个邮筒只有1 1封信封信 ，B=B=前前2 2个邮筒各有个邮筒各有1 1封信封信 则则1123114438()C CP AC C 12114418()CP BC C 1123114438()C CP AC C 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院17例例6 6盒子模型盒子模型把把n个球随机放入个球随机放入N(n5050时，第二个事件几乎是必然事件，这与时，第二个事

15、件几乎是必然事件，这与我们的直观想像是不同的。我们的直观想像是不同的。例例7 7生日问题生日问题 个人的生日各不相同的个人的生日各不相同的(365)n n 概率是多少？至少有两个人生日相同的概率是多少？概率是多少？至少有两个人生日相同的概率是多少？分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同. .3651365nnPP 解解：，211.PP2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院19 三三 、几何概型（几何定义）、几何概型（几何定义） 早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是

16、不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。够的。 在古典概型中在古典概型中, ,把试验个数有限改为无限，把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法几何方法。几何方法。2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院20几何概型：几何概型：1 1、样本空间、样本空间是平面上某个区域，它的面积为是平面上某个区域，它的面积为S();();2 2、向区域、向区域上随机投掷一点，这里上随机投掷一点，这里“随机投掷一点随机投掷一点”的含义是指该点落入的含义是指该点落入内任何部分区域

17、内的可能性只内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。和形状无关。3 3、事件、事件A是是的某个区域，它的面积为的某个区域，它的面积为S( (A),),则向区域则向区域上随机投掷一点，该点落区域上随机投掷一点，该点落区域A内的概率是内的概率是( )( )()S AP AS 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院21注：如果样本空间注：如果样本空间可用一线段，或空间中某个区域可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向表示，并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事上随机投掷一点的含义如前述

18、，则事件件A A的概率类似可求，只不过把的概率类似可求，只不过把S理解为长度或体积理解为长度或体积. .A( )( )()S AP AS 几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现出来出来. .与古典概型一样，样本点必须具有等可能性与古典概型一样，样本点必须具有等可能性. .2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院22例例1 1候车问题候车问题某公共汽车站每天从上午某公共汽车站每天从上午7 7时时起，每隔起，每隔1515分钟来一班车。一乘客在分钟来一班车。一乘客在7 7：00007 7：3030随机到达该站，求该乘客等候时间

19、不超过随机到达该站，求该乘客等候时间不超过5 5分钟的概率。分钟的概率。0 01515303010102525(1510)(3025)300P 13 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院23解：以解：以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则表示甲、乙两人到达的时刻，则若以若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能表示平面上点的坐标，而所有可能例例2 2会面问题会面问题甲、乙两个相约在甲、乙两个相约在0 0到到T T这段时间内在这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t t离离去。设每人在去。设每人在0 0到到T

20、 T这段时间内各时刻到达该地是等可这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？能会面的概率？到达时刻形成的点可以用平面上边长为到达时刻形成的点可以用平面上边长为T的的0, 0 xTyT0, 0.xTyT正正方方形形内内所所有有点点表表示示 ( , ) 0, 0.x yxTyT 即即2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院24ttoxyTT ( , ) 0, 0.x yxTyT A设设 能能会会面面A 则则0, 0,( , ).xTyTx yxyt且且A ( )ASP AS 222

21、()TTtT 21(1) .tT例例2 2会面问题会面问题甲、乙两个相约在甲、乙两个相约在0 0到到T T这段时间内在这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t t离离去。设每人在去。设每人在0 0到到T T这段时间内各时刻到达该地是等可这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？能会面的概率？2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院25第第 3 节概率的性质节概率的性质第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率202

22、2-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院26性质性质2 2对任一事件对任一事件A ，有有注：性质注：性质2 2在计算上很有用，如果直接计算事件在计算上很有用，如果直接计算事件A 的的概率不容易，可计算其对立事件的概率。概率不容易，可计算其对立事件的概率。性质性质1 1（有限可加性）（有限可加性）12,nA AA若若是是两两两两互互斥斥事事件件，则则11()()(1)nniiiiPAP A ( )1( )(2)P AP A2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院27性质性质3 3,AB 若若则则有有 ()( )( )(3)P BAP BP A减减法法公公

23、式式： ( )( ) (4)P BP A 单单调调性性 ： ()ABA 证证明明：因因为为，()BABA ( )()P BP ABA 所所以以( )()P AP BA(3)()P BA由由0 0( )( )P BP A(4).注：一般的减法公式为注：一般的减法公式为 ()()( )() (5)P BAP BABP BP ABABA B2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院28性质性质4 4 一般的加法公式一般的加法公式()( )( )()(6)P ABP AP BP AB()()P ABP ABAB( )()P AP BAB( )( )().P AP BAB证明：证明

24、：AB特特别别地地，若若 、 互互斥斥，则则()( )( ) 7P ABP AP B（ ） ()( )( ) 8P ABP AP B推推论论：（ ）BABAB 2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院29性质性质5 5 多个事件的加法公式多个事件的加法公式()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()()(9)P ABP BCP ACP ABC11()()nniiiiPAP A 1()nijij nP A A 1()nijkij k nP A A A 112( 1)()nnP A AA (10)2022-3-13皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理

25、学院30概率性质在计算中的应用概率性质在计算中的应用例例1 501 50个产品中有个产品中有4646个合格品与个合格品与4 4个次品，从中一次个次品，从中一次抽取抽取3 3个，求其中有次品的概率个，求其中有次品的概率 设设A为为“取到的取到的3 3个中有次品个中有次品”，则，则 为为“全是合格全是合格品品”。 A346350( )0.7745CP AC( )1( )P AP A0.2255. 例例2 2 抛一枚硬币抛一枚硬币5 5次，求既出现正面又出现反面的概率。次，求既出现正面又出现反面的概率。 解：设解：设A为所求事件，则为所求事件，则 为为“全为正面或全为反面全为正面或全为反面”。A( )P A1( )P A5