第9期31课时函数与方程的综合应用

1、函数与方程的综合应用一、学习引领1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数 y = f (x) （ x Î D ）我们称方程f (x) = 0 的实数根 x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程 f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数 y = f (x) - g(x) 的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数 y =f (x) （ x Î D ）的图像与 x 轴交点的横坐标就是f (x) = 0 的根.综合方程 f(x)=g(x)的根，就是求函数 yf(x)与 y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程y =f (

2、x) - g(x) 的图像与 x 轴交点的横坐标.3.一个函数是否有零点的方法：如果函数 y = f (x) 在区间(a, b) 上图像是连续不断的曲线，并且有 f (a) × f (b) < 0 ，那么，函数 y = f (x) 在区间(a, b) 上至少有一个零点，即至少存在一个数 c Î(a, b) 使得f (c) = 0 ，这个 c 就是函数 y = f (x) 的零点.对于我们学习的简单函数，可以借助 y = f (x)解的个数，或者把 f (x) 写成 g(x) - h(x) ，然后借助 y = g(x) 、 y = h(x) 的图像图像函数 f (x)

3、的零点情况.的交点去4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数 y = ax2 + bx + c 的零点，就是二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根，也是二次函数y = ax2 + bx + c 的图像与 x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间(a, b) 上的连续不断，且 f (a) × f (b) < 0 的函数 y = f (x) ，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难1. 关于函数 y = f (x) - g(x) 的零点， 就是方程 f (x) = g(x

4、) 的实数根， 也就是y = f (x) 与函数 y = g(x) 图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数 y = f (x) = ax2 + bx + c ，在闭区间m,n上满足 f (m) × f (n) < 0 ，那么方程 ax2 + bx + c = 0 在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 x Î(m, n) ，使 f (x ) = 0 ，11方程 ax2 + bx + c = 0 另一解 x Î(-¥, m) È (n, +¥) .23. 二次方程 ax2 + bx + c = 0 的

5、根在某一区间时，满足的条件具体情形而定.如二次方程 f (x) ax2 + bx + c = 0 的根都在区间(m, n) 时ìD³ 0ïbïm < -< n应满足： í2aï f (m) > 0ïïî f (n) > 04.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是（1）取一个区间（ a, b ）使 f (a) × f (b) < 0a + b（2）取区间的中点， x0 =2（3）计算 f (x0 ) ，若 f (x0 ) = 0 ，则 x0 就是 f (x) = 0

6、的解，计算终止；f (a) × f (x0 ) < 0 ，则解位于区间（ a, x0 ）中，令a1 = a, b1 = x0 ；若f (x0 ) × f (b) < 0若则解位于区间（ x0 , b ）令 a1 = x0 , b1 = b（4）取区间是（ a , b ）的中点， x = a1 + b1 重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解1 112总位于区间（ an , bn ）内（5）当an , bn 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、典例导析1、函数方程中参数问题：例 1、已知mx2 + x +1 = 0 有且只有一根在区

7、间（0,1）内，求 m 的取值范围.思路导析：根据方程 mx2 + x +1 = 0 ，可创设函数 f (x) = mx2 + x +1，利用函数的性质求解。解：设 f (x) = mx2 + x +1，（1）当m 0 时方程的根为1，不满足条件.（2）当m 0 mx2 + x +1 = 0 有且只有一根在区间（0,1）内又 f (0) 10有两种可能情形 f (1) < 0 得 m 21f (1) = 0且0< -<1得 m 不存在，综上所得， m 2或者2m规律总结：对于一般 f (x) ，若 f (a) × f (b) < 0 ，那么，函数 y = f

8、(x) 在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数 f (x) ，若 f (a) × f (b) < 0 则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.2、利用二分法解决问题例 2、试确定方程2x2 - 4x + 2 = 0 最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.思路导析：只要构造函数 f (x) 2x2 - 4x + 2 ，计算数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.f (x) 的自变量 x 取整数值时的函解：令 f (x) 2x2 - 4x + 2 f (-3) 549122490f (-2) 16482100f (-1

9、) 214230f (0) 000220f (1) 214210f (2) 1648260根据 f (-2) · f (-1) 0， f (0) · f (1) 0， f (1) · f (2) 0可知 f (x) 的零点分别在区间（2，1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（2，1）内.规律总结：计算一元数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元 n 次方程最多有 n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.3、有关二次函数的求解问题：+ c(c < b < 1), f (1) =

10、0 ，且方程 f (x) + 1 = 0 有实根.例 3、 已知函数 f (1)求证：-3<c-1,b0.(2)若 m 是方程 f (x) + 1 = 0 的一个实根，f (m - 4) 的正负并加以证明思路导析：（1）题中条件涉及不等关系的有c < b < 1和方程 f (x) + 1 = 0 有实根.及一个等式 f (1) = 0 ，通过适当代换及不等式性质可f (m - 4)；（2）本小题只要的符号，因而只要研究出 m - 4 值的范围即可定出f (m - 4) 符号.证明：(1)由 f (1) = 0 ，得 1+2b+c=0,b = - c + 1 ，又c <

11、b < 1，2c + 111 > -> c ，- 3 < c < -，32又由于方程 f (x) + 1 = 0 有实根，即 x 2 + 2bx + c + 1 = 0 有实根，故D = 4b2 - 4(c + 1) ³ 0 即(c + 1)2 - 4(c + 1) ³ 0 - 3 < c £ 1，由b = - c + 1 ，得b 0.c ³ 3 或c £ -12+ c = x2 - (c + 1)x + c = (x - c)(x -1)（2） f ( f (m) = -1 < 0 ，c<m&l

12、t;1（如图）c4<m4<3<c. f (m - 4) 的符号为正.规律总结：二次函数值的符号，可以求出其值解题.，也可以灵活运用二次函数的图像及性质四、随堂练习1当0 £ x £1时，函数 y = ax + a -1的值有正值也有负值，则实数 a 的取值范围是（A a < 1B a >1C a < 1 或a > 1D 1 < a < 12222已知方程(x2 - 2x + m)(x2 - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为的等差数列, 则| m - n |= ()B 3C 1D 3A13已知函数 y =42

13、8f (x) (x Î R) 满足 f (x + 3) = f (x +1) ，且 x 1,1时， f (x) =| x |，则f (x) 与 y = log5 x 的图象交点的个数是(y =A3B4C5 D64已知函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象如下，则（ ）A b Î(-¥,C b Î (1, 2)B b Î (0,0)1)D b Î(2, +¥)x (0 < a <1) 的解，则 x5 x 是方程 ax = log, 1,a 这三个数的大小关系是 0a0的不等式2×

14、;32x - 3x + a2 - a - 3 > 0 ，当0 £ x £成立，则实数 a 的取值范围6关于 x为 7.已知函数 f (x) = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3), 若关系为 1 + x2 = 1- a, 则 f (x1 ) 与 f (x2 ) 的大小2+ 1 的图象与直线 y = mx 只有一个公共点，求这个公共点的坐标8已知函数 y =x - 19 已 知 f (t) = log2 t ， t 2 ， 8 ，对于 f (t) 值 域 内 的 所 有 实 数 m ，不等式 x2 + mx + 4 > 2m + 4x

15、恒成立，求 x 的取值范围f (x) = 1 - 1( (a > 0, x > 0)ax10已知函数（1） 求证： f (x) 在(0,+)上是增函数；（2） 若 f (x) £ 2x 在(0,+)上恒成立，求 a 的取值范围；（3） 若 f (x) 在m，n上的值域是m，n(mn)，求 a 的取值范围函数与方程的综合应用四、随堂练习f (0) f (1) < 0 Þ 1 < a < 1f ( x) = ax + a -121提示：由题意得，设，故选 D。，则2 提示：由题意，等差数列的首项为 1 ，四项的和为 4，设公差为 d，则4 

16、0; 1 + 4 ´ 3 × d = 4442： d = 1 ，故该数列的四项为： 1 ,3 , 5 , 7 244443提示：由 f (x + 3) = f (x +1) 知 f (x + 2) =f (x) 故 f (x) 是周期为 2 的函数，在同一坐标系中作出 y = f (x) 与 y = log5 x 的图象，可以看出，交点个数为 4 4提示： f (xx(x -1)(x - 2) = ax3 - 3ax2 + 2ax ， b = -2a 当 x > 2 时， f (x) > 0 ，当 x < 0 时， f (x) < 0 ， a >

17、; 0 ，故b < 0 ，为 A5提示：在同一坐标系中作出函数 y = ax 和 y = log x 的图象，a可以看出： x0 < 1 ， loga x0 < 1 ， x0 > a ， a < x0 < 16提示设t = 3x ，则 t1，3，原不等式可化为： a2 - a - 3 > -2t2 + t, t Î1, 3，等价于 a2 - a - 3 大于 f (t) = -2t2 + t, t Î1, 3 的最大值 f (t) 在1，3上为减函数， f (t)max =f (1) = -1： a > 2或a < -1

18、a2 - a - 3 > -1 ，7.提示： f (x) = a(x +1)2 + 4 - a 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x = -1 ，1) ， x 与 x 的中点在(1， 1 )之间， xx + x = (1- a) Î(-2,< x1212122 x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离， f (x1 ) <f (x2 ) ，为 A28解：由+1 = mx ，得 mx2 - (m +1)x -1 = 0,x -1因为两个图象只有一个公共点，所以D = (m +1)2 + 4m = 0 ，： m = -3 ± 22.2 时， x = m

19、 +1 = - 2 -1， y = mx = m +1 = 2 -1 ；当m = -3 + 222m当m = -3 - 22 时， x = 2 -1, y = - 2 -1.当m = -3 + 22 时，公共点的坐标是(- 2 -1, 2 -1) ；当m = -3 - 22 时，公共点的坐标是( 2 -1, - 2 -1) 2 ，8， f (t) 1 ，3， m 1 ，3 29解：t2原题转化为： m(x - 2) + (x - 2)2 >0 恒成立，当 x = 2 时，不等式不成立 x ¹ 2 ，令 g(m) = m(x - 2) + (x - 2)2 ，m 1 ，3，21x - 2ìïg( ) =+ (x - 2) > 02，： x > 2或x < -1则： í22ïîg(3) = 3(x - 2) + (x