版选修正32函数的极值与导数

1、320已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围练。习2f xax - xxaf xa3)2,例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。102xsin x12110201002f( )在（，）上是单调函数，而当时，（ )=0方程有唯一的根f( x)x-sinx,x(,)f ( x)cos xxxf xxsinxx. 作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。 函数的极值与导数函数的极值与导数-2-11234567abxyO0)( af0)( bf

2、0)(xaf0)(xbf0)(xaf0)(xbf0 x定义定义 一般地一般地, 设函数设函数 f (x) 在点在点x0附近有附近有定义定义, 如果对如果对x0附近附近的所有的点的所有的点, 都有都有)()(0 xfxf我们就说我们就说 f (x0)是是 f (x)的一个的一个极大值极大值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极大值点极大值点. 反之反之, 若若 , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个的一个极小极小值值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极小值点极小值点.)()(0 xfxf 极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点

3、, , 极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值. .（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0例：例：y=x3练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.

4、)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy因为因为 所以所以题题1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 2

5、8 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)

6、( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3(

7、 3, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 2

8、2 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .特别注意：特别注意：已知函数已知函数f(x)=x-3ax+2bx在点在点x=1处有极处有极小值小值-1，试确定，试确定a,b的值，并求出的值，并求出f(x)的单的单调区间。调区间。函数 f(x)=x+xa+b 有极小值 2， 求 a、b 应满足的条件. 设 y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称， 当 x=21时，f(x)的极小值为1，求函数的解析式. 习题习题 A组组 #4下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一点