常用统计分布

1、第八章常用统计分布本章将再介绍四种概率分布，它们分别是超几何分布、泊松分布、卡方分布和F 分布。第一节超几何分布超几何分布是一种离散型随机变量的概率分布。 前面已经谈到， 对于抽样调查， 只有在大群体 ( 即总体比样本相对大很多 ) 的情况下，二项分布的独立试验的要求才能够近似得到满足。但如果研究对象是小群体，这时总体单位不多，一般只有几十个。假定总体只有两类，其中 K 个为成功类，( NK ) 个为失败类。这时如果从总体中抽取一容量为n 的样本那么成功的概率将不再恒定，也就是二项分布所要求的独立试验的条件不再被满足，而超几何分布将适合于这种小群体的研究。1超几何分布的数学形式超几何分布以样本

2、内的成功事件的个数x 为随机变量。 若总体单位数为 N，其中成功类共有 K 个，设从中抽取n 个为一样本，则样本中成功类个数x 的概率分布为P（ x） H （ x：N， n， K ）CKx CNnxKC Nn2超几何分布的数学期望与方差（ 1） E( x) nKN 2 D ( x) n( Nn)( NK )KN (N1)3关于超几何分布的近似一般当 n 0 1 时，近似公式为NP（ x） CKx CNn xK C nx ( K ) x (1K )n xCNnNN第二节 泊松分布泊松分布适合于稀有事件的研究，它是由法国数学家泊松(Poisson，1761 1840 年) 所提出。 它产生于一个事

3、件的平均发生次数是大量试验的结果，在这些试验中， 此事件可能发生但发生的概率非常小。1 泊松分布的数学形式泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。若 为成功次数的期望值， 假定它为已知。 而且在某一时空中成功的次数很少，超过 5 次的成功概率可忽不计，那么稀有事件出现的次数x 的概率分布为xP（）（ ；）ex Pxx!1泊松分布只有一个参数 ，只要知道了 值，泊松分布就确定了。泊松分布有计算好的泊松分布表 ( 附表 6) ，概率值需要时可直接查找。2 泊松分布的性质(1) 泊松分布随机变量 x 的取值为零和一切正整数。(2) 泊松分布图形是非对称的，但随着 的增加

4、，图形将变得接近对称。 (3 ) 泊松分布的数学期望 E( x) 和方差 D( x) 。3 关于泊松分布的近似Cnx pxqn-x x(1) 用泊松分布近似二项分布e。x!(2) 用正态分布近似泊松分布Z x，或者Z 2xt42t 8。936第三节 卡方分布 (2分布)卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme) 、赫尔默特 (Helmert)、皮尔逊分别于 1858年、 1876 年、 1900 年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。1.卡方分布的数学形式设随机变量 X1 ，X2， Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N ( ， 2)。那么

5、，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1， Z2， Zk， k 个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（222分布）的随机变量（读作卡方）2 （ k ）（ X 12（ X 22X k2） （）1k)2k22( X iZii 1i12卡方分布的性质(1)因为2（ k ）是 k 个服从 N (0 ，1) 的随机变量 Zi2 的平方和，而不是Zi 之和，所以以2 为随机变量的卡方分布不是正态分布，2 恒为正值，且( 2 ; k )d2 10(2)2分布的期望值是自由度k，方差值为自由度的2 倍，即 2 k。(3)2分布具有可加性。22(4)利用2 分布可以推出样本方差的分布，因为nS2 2 （ n

6、 1）。S3 样本方差的抽样分布22在一般情况下，S 的抽样分布很复杂，它的精确分布不一定能求出来。但如果总体为2服从于自由度 k nl 的2 分布。该式中包含了与总体有正态，由上可知，样本方差S2222 分布来讨论。关的参数 ，从而有关 S的分布和 的推论可借助于第四节F 分布F 分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛。 它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。F 分布还是方差分析和正交设计的理论基础。1.F 分布数学形式22设（ k1 ） 和（ k2 ） 相互独立，那么随机变量F （ k1， k2）2 (k1 ) / k12 (k2 ) / k2服

7、从自由度为 ( k1 ， k2 ) 的 F 分布。其中，分子上的自由度k1 叫做第一自由度，分母上的自由度 k2叫做第二自由度。2 F 分布的性质(1) 随机变量 F 和随机变量2 一样，恒取正值， F 分布密度曲线下总面积亦为1。(2) F 分布也是一个连续的非对称分布。（ 3) 分布具有一定程度的反对称性。3. 关于 F 分布的近似（ 1）当自由度较大时， F 分布可以用正态分布作近似，即用下式由正态分布表可求得它所对应的 F ( k1 ， k2 ) 之值lg F ( k1 ， k2 ) 0 4343Z2( k1k 2 )k1k2(2) 如果第一自由度 k1 或第二自由度 k2 的 F 分布没有列在表中但邻近的第一自由度或第二自由度的F 分布已列在表中，对于F ( k1 ， k2 ) 的值可以用调和插值法得到。（ 3）F 分布与其他分布及标准正态分布的关系是简单而