解一元二次方程(基础班)

1、解一元二次方程一、直接开方法由应用直接开平方法解形如X2=p(p>0),那么x=±J万转化为应用直接开平方法解形如(inx+n)2=p(p>0)»那么mx+n=土到达降次转化之目的.类型一用直接开平方法解一元二次方程例L运用开平方法解以下方程:4x2=9：(2)(x+3>-2=0.933解：(1)由4炉=9,得炉=不两边直接开平方,得、=芍,二原方程的解是对=外血=(2)移项,得(x+3)2=2.两边直接开平方,得叶3=母二、+3=建或工+3=一艰二原方程的解是xi=5-3,X2=一也一3.类型二直接开平方法的应用例2.假设一元二次方程收=6(而>0

2、)的两个根分别是洲+1与2加一4,那么,=.解析：匚ax?=b,二个哙,口方程的两个根互为相反数,二川+1+2加-4=0,解得;«=1,口一元二次方程62=火/>0)的两个根分别是2与一2,口、仁=2,二(=4,故答案为4.类型三直接开平方法与方程的解的综合应用例3.假设一元二次方程(0+2)/一6+“24=0的一个根为0,那么°=.解析：口一元二次方程S+2)x2-6+炉-4=0的一个根为0,匚a+2网且a2-4=0,二.=2.故答案为2.类型四直接开平方法的实际应用例4.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个而积为这两个图形的面

3、积之和的正方形,边长应为多少厘米？解：设新正方形的边长为xcm,根据题意得炉=1J+13X8,即炉=225,解得x=±15.由于边长为正,所以?=-15不合题意,舍去,所以只取x=15.答：新正方形的边长应为15cm.应用拓展例5.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,回那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的根底上再增长的,应是(1+x)2.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为X.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数,

4、配方得：1 3(l+x+-)2=2.56,即(x+-)2=2.562 23 33x=i1.61即x+=1.6>x=-1.64 22方程的根为xi=10%,X2=-3.1由于增长率为正数,所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.二、配方法配方法解方程的一般步骤.(1)化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数.(2)移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项.(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方.(注：一次项系数是带符号的)方程变形为(x+m)、的形式.(5)如果右边是非负实数,就用直接开平方法解这个一元二次方程：如果右边是一个负数,那么方程在实数范围内无解【类型一】

5、互例1.用配蒜龌一元二次方程步-4*=5时,此方程可变形为()A.Cy+2):=1B.(x-2)2=lC.Cy+2)：=9D.(x-2尸=9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一半的平方,然后将方程左边写成完全平方式的形式,右边化简即可.由于34*=5,所以三一4X+4=5+4,所以(*一2尸=9.应选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步.骤：(1)把常数项移到等号的右边,使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.类型二利用配方法解一元二次方程例2.用配方法解方程：£

6、一方+1=0.解析：二次项系数是1时,只要先把常数项移到右边,然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程配成(才+加二=凉/2>0)的形式再用直接开平方法求解.解：移项,得一-4*=-1.配方,得寸-4.+(-2尸=-1+(-2尸.即(*一2尸=3.解这个方程,得*一2=±4.m=2+4,次=2一十.方法总结：用配方法解一元二次方程,实质上就是对一元二次方程变形,转化成开平方所需的形式.类型三用配方解决求值问题例3.：1+4*+/-6丹13=0,求常的值.解：原方程可化为(*+2尸+卬-3尸=0,(才+2尸=0且33尸=0,*=-2且尸3,原式=-2-681313-【类

7、型四用配方解决证实问题例4.(1)用配方法证实2f-4x+7的值恒大于零：(2)由第(1)题的启发,请你再写出三个恒大于零的二次三项式.证实：2/-4X+7=2(看一2X)+7=2(看-2*+11)+7=2(*1尸一2+7=2(*1)'+5.1尸20,2(*1尸+525,即2丁4x+725,故2T4x+7的值恒大于零.(2)/2x+3：2.f2*+5；3x'+6x+8等.类型五配方法与不等式知识的综合应用例5.证实关于x的方程言一8勿+17)¥+2&+1=0不管m为何值时,都是一元二次方程.解析：要证实“不管S为何值时,方程都是一元二次方程,只需证实二次项系数

8、序8/zt+17的值不等于0.证实:二次项系数m28n?+17=m28m+16+l=(A774)2+1»又(m-4产次0,A(m一4+1>0,即m2-8m+17>0.不管m为何值时,原方程都是一元二次方程.三、公式法bJ4ac>0元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)有两个不相等的实根：b2-4ac=0一一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)有两个相等的实根：b2-4acvO<->一元二次方程ax2+bx+c=O(aW0)没有实数根及其它的运用.类型一判断一元二次方程根的情况例1.不解方程,判断以下方程的根的情况.(1) 2G+3*4=0：x+；=

9、0；4/-*+1=0.解析：根据根的判别式我们可以知道当炉一4a°20时,方程才有实数根,而炉一4ac<0时,方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况.解：(1)2d+3丫-4=0,a=2,6=3,c=-4,A6s-4ac=3s-4X2X(-4)=41>0.A方程有两个不相等的实数根.(2)x+t=0,a=L6=1,4ac=(一1尸一4><1.彳=0.,方程有两个444相等的实数根.(3)金一*+1=0,3=1,6=-1,c=L.6:-4ac=(-1)°-4X1X1=-3<O.,.方程没有实数根.类型二由一元二次方程根的情况

10、确定字母系数的取值例2.关于x的一元二次方程(a一次方一2x+1=0有两个不相等的实数根,那么a的取值范围是()A.a>2B.a<2C.a<2且aWlD.a一2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根,判别式大于0,得到一个不等式,再由二次项系数不为.知a-1不为0.即4一4(a-l)>0且a-lXO,解得aV2且aHl.选C.方法总结：假设方程有实数根,那么8,-4ac20.由于此题强调说明方程是一元二次方程,所以,二次项系数不为0.因此此题还是一道易错题.类型三说明含有字母系数的一元二次方程根的情况例3.：关于二的方程2d+履一1=0,求证：方程有两个不相等的实数

11、根.证实：=点-4X2X(1)=点+8,无论A取何值,点,0,所以点+8>0,即>(),方程2f+4工-1=0有两个不相等的实数根.方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况,只需求出该方程根的判别式,分析其正、负情况,即可得出结论.【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用例4.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm,他的说法对吗？请说明理由.解：假设能围成.设其中一个正方形的边长为x,那么另一个正方形的边长是(10工),由题可得,3+(10-*)°=4

12、8.化简得三一10*+26=0.由于厅-4ac=(-10尸一4X1X26=一4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.类型五用公式法解一元二次方程例5.用公式法解以下方程:(1) 2Y+*6=0：(2) .V"+4*=2：(3) 4x+12=0：(4)4d+4x+10=l-8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式,可以直接确定a,b,c的值,并计算34ac的值,然后代入求根公式,即可求出方程的根；方程(2)(4)那么需要先化成一般形式,再求解.解：(1)这里a=2,b=l,c=6,方一4ac=l°4X2X(6)=1+48=49.；.x=-b

13、77;yl-4ac-1±J49-1±7口3n=oy9=j.跳原方程的解7E-2,=乙a/入/4L(2)将方程化为一般形式,得¥+4*2=0.6,4ac=24,；.x=与蛆=2土乖.原方程的解是$=-2+乖,*=-2一乖.(3) -224C0,原方程没有实数根.3(4)整理,得4f+12x+9=0.£-4ac=0,方法总结：用公式法解一元二次方程时,一定要先将方程化为一般形式,再确定a,b,c的值.类型六一元二次方程解法的综合运用例6.三角形的两边分别为2和6,第三边是方程f-10*+21=0的解,那么第三边的长为()A.7B.3C.7或3D.无法确定解析

14、：解一元二次方程步一10.r+21=0,得&=3,£=7.根据三角形三边的关系,第三边还应满足4VxV8.所以第三边的长x=7.应选A.应用拓展例7.假设关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=O没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).分析：要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或O由于一元二次方程(a-2)xZ2ax+a+l=O没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.解：关于x的一元二次方程(a-2)x?-2ax+a+l=O没有实数根.,(-2a)

15、2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0a<-2ax+3>0即ax>-33/.x<-a3,所求不等式的解集为x<-±a四、当堂练习1 .将二次三项式x=-4x+l配方后得().A.(x-2),+3B.(x-2)3C.(x+2):+3D.(x+2)-32 .(m-n)(m-n-2)-8=0,那么m'r?的值是().A.4B.-2C.4或-2D.-4或23 .x'-8x+15R,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的选项是().A.x:-8x+(-4):=31B.x:-8x+(-4)=1C.x'+8x+4:=l

16、D.x:-4x+4=-U4 .如果呼二+2(3-2m)x+3m-2=0(mWO)的左边是一个关于x的完全平方式,那么m等于().A.1B.-1C.1或9D.-1或95 .一元二次方程x'-ax+l=O的两实数根相等,那么a的值为().A.a=0B.a=2或a=-2C.a=2D.a=2或a=06 .kWl,一元二次方程(k-1)x'+kx+lR有根,那么k的取值范围是().A.kW2B.k>2C.k<2且kHlD.k为一切实数7 .以下方程中,一定有实数解的是()A.x：+l=0B.(2x+l)=0C.(2x+l)：+3=0D.(-x-a)：=a28 .方程x'

17、;+4x-5=0的解是.9 .当x=时,代数式f-8x+12的值是-4.10 .假设关于x的一元二次方程(m-l)x'+x+m:+2m-3=0有一根为0,那么m的值是.v-_x_211 .代数式二厂的值为0,那么x的值为.x2-l12 .(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,假设设x+y=z,那么原方程可变为,所以求出Z的值即为x+y的值,所以x+y的值为一13 .三角形两边长分别为2和4,第三边是方程-4"3=0的解,求这个三角形的周长.14 .如果x'-4x+y二+6y+&+2+13=0,求(xy)'的值.15 .某集团公司为适应市.场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的端作为新产品开发研窕资金,该集团2000年投入新产品开发研窕资金为4000万元,2002年销售总额为7.2亿元,求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率.16 .新华商场销售某种冰箱,每分进货价为2500元,市场调研说明：当销售价为2900元时,