老师13矩阵位移法

1、例题：图示结构，用矩阵位移法计算时例题：图示结构，用矩阵位移法计算时(计轴向变形计轴向变形)，未，未知量数知量数 目为目为 ： A7； B8；C9； D4 ( )B9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵第一步：选位移数目非常关键！第一步：选位移数目非常关键！总码总码:只对只对0结点位移进结点位移进行编码行编码ACByx局码局码: :对每个对每个单元的杆端位单元的杆端位移进行编码移进行编码(5)(4)(6)(1)(3)(2)(2)(1)(3)(5)(4)(6)1 1 总体编码、局部编码总体编码、局部编码0001234002. 2. 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵 43

2、000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 3. 3. 换码重排座换码重排座 T123004 4(1)(2)(3)(6)1234(1)1 300000(2)2012303010(3)303010050(6)403050100K（1 1）集成单元）集成单元定位向量定位向量 41230303001230(1)(2)(3)1234(1)1000(2)2010(3)3040301

3、0030301005030501000K （2 2）集成单元）集成单元定位向量定位向量 T123000 43123123030302005030501030300001000K 总体刚度矩阵为总体刚度矩阵为41235C1ABD67C2 41010030050300301203012000300003005030010030030120301200030000300k 41010003050303003000030003001230012500301003030303000030003001230012 kk结点两侧截面具有相同的结点结点两侧截面具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。线位移；而

4、其角位移不相等。4.4.铰结点的处理铰结点的处理总体编码：铰结点的两个总体编码：铰结点的两个杆端转角位移分别编码。杆端转角位移分别编码。 4300300123012303010030503(1)(2)(3)(4)(5)(6)1234567(1)100000(2)2000(3)300010(4)400000(5)5000(6)600070000000300123012303050030 1000K 集成单元集成单元继续集成单元继续集成单元 4(1)(2)(3)1234567(1)1 30000300000(2)201230012300(3)3030100030500104300003000005

5、0123001120300230 0603050030 100 0700000003000300100K 继续集成单元继续集成单元 4(1) (2)(3)1234 5 67131203030000020312300123003303020003050010(1)430000300000(2)5012300123006030500301000(3)700000001203003000300100K 整体刚度矩阵为整体刚度矩阵为 4312300312301230302003050303000000000010000000312123031230000303000000030301503000100

6、0K 5.5.忽略轴向变形时的处理忽略轴向变形时的处理已已 知知 图图 示示 刚刚 架架 各杆各杆 EI = 常常 数，当数，当 只只 考考 虑虑 弯弯 曲曲 变形变形 ，且且 各各 杆杆 单单 元元 类类 型型 相相 同同 时时 ，采，采 用用 先先 处处 理理 法法 进进 行行 结结 点点 位位 移移 编编 号号 ，其，其 正正 确确 编编 号号 是是 ：( ) (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,

7、0,0) (0,3,4) A. B. C. D. 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x y M , ( ) AC1ABDC214123 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 例题例题: 求整体刚度矩阵求整体刚度矩阵. 已知整体坐标系的单元刚度矩阵已知整体坐标系的单元刚度矩阵.集成单元集成单元 430030030030010050

8、500000100000000100K 解：解： 112032415063 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 1C1ABD4C2123集成单元集成单元 4000001005001005010000001230300100K 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 1120324050601C1ABD4C2123 4123000302005001005010012303010000000K 集成单

9、元集成单元1C1ABD4C2123 112034405060 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 整体刚度矩阵为整体刚度矩阵为 42430030302005001005010003000100K 9-6 等效结点荷载等效结点荷载该结点荷载能产生与原结构相同的结该结点荷载能产生与原结构相同的结点位移点位移F= K (1)结构体系刚度方程：结构体系刚度方程： 表示结点位移表示结点位移和结点力和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，

10、并不是原结构的位移法基本质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。方程。1.位移法基本方程位移法基本方程位移法基本方程位移法基本方程k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 K +FP =0 .(2)F +FP =0 .(3)将将(1)式代入式代入(2)式：式：基本结构在荷载单独作基本结构在荷载单独作用下产生的结点约束力。用下产生的结点约束力。基本结构在结点位移单基本结构在结点位移单独作用下产生的结点约独作用下产生的结点约束力。束力。记记PFK

11、 = FFP+=PFP等效结点荷载等效结点荷载(a)(b)(c) 注意等效含义注意等效含义! 在在 图图 b与图与图a中，除了杆端转角而外，其它中，除了杆端转角而外，其它位移和内力并不等效，图位移和内力并不等效，图a等于图等于图b加图加图c。 2. 2. 等效结点荷载的形成等效结点荷载的形成F2PF1PF3P(3)PF(1)PF(2)PF(4)PF(5)PF(6)PF1P2P3(1)P(3)PP0FFFFF 102000 (1)PF(2)PF(3)PF(4)PF(5)PF(6)PF(1)P(4)P(3)P(6)1P2P3PPFFFFFFF 102103 (3)PF(1)PF(2)PF(4)PF

12、(5)PF(6)PF103000 1P2P3(1)P(3)PP0FFFFF (1)P(1)P1P1P1P2P2P2P(3)P(3)P3P3P3P(6)P(3)P1P2P3PFFFFFFFFFFFFFFFFFF (1)P1P2P3P(1)P(3)P(3)P(6)P(3)P123FFFPFFFPFFFP (1) 局部坐标下的单元固端约束力局部坐标下的单元固端约束力3. 等效结点荷载的集成步骤：等效结点荷载的集成步骤：在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给定荷载作用下，可求出六个固端约束力，它们组成固定荷载作用下，可求出六个固端约束力，它们组成固端约

13、束力向量端约束力向量(载常数）：载常数）： TP(1)P(2)P(3)P(4)P(5)P(6)PeeeeeeeFFFFFFF (2) 整体坐标下的单元等效结点荷载整体坐标下的单元等效结点荷载 TPPTF ee(3) 整体坐标下的结构等效结点荷载整体坐标下的结构等效结点荷载 将原结构的结点集中荷载在等效荷载列阵中定位；将原结构的结点集中荷载在等效荷载列阵中定位；将每个单元的等效结点荷载换码重排座，进行累加。将每个单元的等效结点荷载换码重排座，进行累加。例例1 P0121001210F （1 1）局部坐标系下的单元固端力）局部坐标系下的单元固端力 P045045F 21348kN4kN4kN5kN

14、m5kNm解解8kN6kN7kNm5m4.8kN/m10kN2.5m2.5m12kN12kN10kNm10kNm4.8kN/m TP0121001210PTF （2 2）整体坐标系下的单元等效结点荷载）整体坐标系下的单元等效结点荷载 TP010000041000004000100055000010040001004000000155PTF 集成单元集成单元 012610071010P 集成单元集成单元 6221017405P 单元定位单元定位 1022517P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载（3 3）结构的等效结点荷载）结构的等效结点荷载 61007P 结点集中荷载定位入座结点集中荷载定

15、位入座单元等效结点集成单元等效结点集成 T1 2 3 0 0 4 T1 2 3 0 0 0例例2 图图 示示 结结 构构 综综 合合 结结 点点 荷荷 载载 列列 阵阵 P = T。 ql l l /2 1 l /2 q 2 3 ql 2 x y M , 分析：分析： 2ql28ql2ql212ql2ql综综 合合 结结 点点 荷荷 载载= 2/2,/2, 25/24Tqlqlql直接解法直接解法(在填空和选择题型中应用比较方便在填空和选择题型中应用比较方便)例例3 图示结构图示结构 ，不考虑轴向变形。等效结点荷载列阵，不考虑轴向变形。等效结点荷载列阵 P = T。 ll/2/2123lxyM

16、, qlq分析：不考虑轴向变形分析：不考虑轴向变形时，时，2点没有水平位移点没有水平位移和竖向位移，故不为零和竖向位移，故不为零的结点位移为的结点位移为2,3点处的点处的转角。取结点分析转角。取结点分析: 28ql212ql228ql321/24 -1/8 Tql等效等效 结结 点点 荷荷 载载= 例例4：图：图 a 所所 示示 结结 构构 ，整，整 体体 坐坐 标标 见见 图图 b ，图，图 中中 圆圆 括括 号号 内内 数数 码码 为为 结结 点点 定定 位位 向向 量量 (力力 和和 位位 移移 均均 按按 水水 平平 、竖、竖 直直 、转、转 动动 方方 向向 顺顺 序序 排排 列列

17、，不，不 考考 虑虑 轴轴 向向 变变 形形 )。等。等 效效 结结 点点 荷荷 载载 列列 阵阵 P = T。 kNm384kN(1,0,3)m/m14m36(1,0,2)(b)(a)xyM, 分析：分析： 426342424242等效等效 结结 点点 荷荷 载载= 422142T例例5 求等效结点荷载求等效结点荷载解解 TP03020 030 20F TP0155 015 5F(1)局部坐标下的单元固端力局部坐标下的单元固端力(2)整体坐标下的单元等效结点整体坐标下的单元等效结点 荷载荷载30kN30kN20kNm20kNm15kN/m15kN15kN5kNm5kNm15kN/m TPT0

18、1550155PTF TPT0302003020PTF 4m15kN/m40kN2m集成单元集成单元 0400P 集成单元集成单元 204005155P 单元定位向量单元定位向量 15555P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载 T0 0 0 0 0 1 T0 0 1 0 2 3 (3) 结点等效结点荷载集成结点等效结点荷载集成结点荷载定位入座结点荷载定位入座 040020P 例例6 图图 a 所所 示示 结结 构构 ，整，整 体体 坐坐 标标 见见 图图 b ，图，图 中中 圆圆 括括 号号 内内 数数 码码 为为 3个个 结结 点点 定定 位位 向向 量量 (力力 和和 位位 移移 均均 按按 竖竖 直直 、转转 动动 方方 向向 顺顺 序序 排排 列列 ) 。等。等