统计学常用分布及其分位数

1、§ 1.4 常用的分布及其分位数.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导生的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z气Xi2的i分布称为自由度等于n的？2分布，记作Z”12(n),它的分布密度P(z0其他,式中的n=20-Hen-1u2e-udu,称为Gamma®数，且1=1,切3。z2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y,2(n),Z72(m),则Y+Z，2(n+m)。证明:先令Xi、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据22分布的定义以及上

2、述随机变量的相互独立性，令Y=X12+X2+X>Z=X3+Xn+2+X"Y+Z=x2+x2+X2+Xn+Xn+2+x2+m，即可得到Y+Z72(n+m)ot分布若X与Y相互独立，且_XN(0,1),Y12(n),则Z=x/的分布称为自由度n等于n的t分布，记作Zt(n),它的分布密度P-4伍4一呼P-9)In；20请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。F分布若X与Y相互独立，且X，2(n),Y72(m),则z=X/Y的分布称为第一自由度等于

3、n、第二自由度等于nmm的F分布，记作ZF(n,m),它的分布密度p(z)=nm7彳nmn2m2-2工m.220,-1z2nm(mnz)2z0其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF(n,m)时，工F(m,n)。Zt分布与F分布的关系若Xt(n),则Y=X2F(1,n)。J"1(2、n+1证：X-t(n),X的分布密度p(x)=2/1+A-7而也卜J、2)Y=X2的分布函数Fy(y)=PY<y=PX2<y。当yw0时，Fy(y)=0,Py(y)=0;当y>0时，FY(y)=P-<X<Vy=.P(x)dx=2户p(x)dx

4、,nn1.Y=X2的分布密度n2-1PY(y/丁.上2(ny)2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2F（1,n）o为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查由。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（x）,实数a满足0<a<1时，a分位数是使PX<Xa=F（X口）=a的数Xa,上侧a分位数是使PX>入

5、=1-F（入）=a的数人,双侧a分位数是使PX<入1=F（入1）=0.5a的数人1、使PX>入2=1-F（入2）=0.5民的数人2。因为1-F（入户a,F（入）=1-a,所以上侧a分位数人就是1-a分位数X1-%；F（入1）=0.5民，1-F（入2）=0.5a,所以双侧a分位数入1就是0.5a分位数X0.5ot,双侧a分位数入2就是1-0.5a分位数x1-0.5a。2）标准正态分布的a分位数记作Ua,0.5a分位数记作U0.5a,1-0.5a分位数记作U1-0.5P(x)P(x)J£Ox当XN(0,1)时，PX<Ua=F0,i(Ua)=*PX<U0.5a=F0

6、,1(U0.5a)=0.5&,PX<U1-0.5a=F0,i(u1-0.5a)=10.5a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当a=0.5时，Ua=0;当a<0.5时，U.<0Oua=-U1-a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查由U1.a,然后得到U=-U1.a。论述如下：当XN(0,1)时，PX<Ua=F0,1(Ua)=a,PX<U1-=F0,1(U1-a)=1。，PX>U1-a=1-F0,1(U1-J=。，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua=-U1.a。例如，U0.10=-U0.90=-1.282,U0.05=-U0

7、.95=-1.645,u0.01=-U0.99=-2.326,U0.025=-U0.975=-1.960,u0.005=-u0.995=-2.576o又因为P|X|<Ui.0.5a=1-0,所以标准正态分布的双侧。分位数分别是U1-0.5a和Ui-0.5标准正态分布常用的上侧a分位数有：a=0.10,u0.90=1.282;a=0.05,u0.95=1.645;a=0.01,u0.99=2.326;a=0.025,u0.975=1.960;a=0.005,u0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位数记作？2a(n)。”工2a(n)>0,当X,2(n)时，PX<e2a(n

8、)=a例如，220.005=0.21,220.025=0.48,/20.05(4)=0.71,720.95(4)=9.49,220.975(4)=11.1,220.995(4)=14.9。4)t分布的民分位数记作上(n)当Xt(n)时，PX<tq(n)=a,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有ta(n)=-11-a(n),论述同Ua=-U1.a。例如，t0.95(4)=2.132,t0,975(4)=2.776,t0.995(4)=4.604,t0,005(4)=-4.604,t0.025(4)=-2.776,t0,05(4)=-2.132。另外，当n>30时，

9、在比较简略的表中查不到ta(n),可用ua作为ta(n)的近似值。5)F分布的民分位数记作八(n,m)口(n,m)>0,当XF(n,m)时，PX<F陋(n,m)=a。另外，当a较小时，在表中查不由Fa(n,m),须先查一1Fi-a(m,n),再求Fa(n,m)=-；。论述如下:Fi.(m,n)当XF(m,n)时,PX<F1,(m,n)=1-a,P1>1=1-a,P1<1=民,XF1-：(m,n)XF1-：(m,n)又根据F分布的定义，工F(n,m),P<Fa(n,m)=a,XX1因此Fa(n,m)=-oF(m,n)例如，F0.95(3,4)=6.59,F0,

10、975(3,4)=9.98,F0.99(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,F0.01(3,4)=71：，F0.025(3,4)=I，F0.05(3,4)=T1；。28.715.19.12【课内练习】.求分位数n0.05(8),120,95(12).求分位数t0.05(8),t0.95(12)。.求分位数F0.05(7,5),F0.95(10,12)。.由u0.975=1.960写生有关的上侧分位数与双侧分位数。.由t0.95(4)=2.132写生有关的上侧分位数与双侧分位数。.若X”(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,试写由有关的分位数。.若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95,试写由有关的分位数。.设X1、X2、X10相互独立且都服从N(0,0.09)分布，试求PZXi2>1.44o习题答案：1.2.73,21.0。2.-1.860,1.782。3.工，3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.9604.88为双侧0.05分位数。5.2.1