数形结合在二次函数中的应用

1、课题：数形结合在二次函数中的应用公主岭四中 曹立华教学目标：1 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。2 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。3 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。教学过程：数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。一、数促形，让感性的形多一分理性思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑：（1）a、b、c的符号

2、（2）的符号（3）顶点位置例1 已知二次函数的图象如图所示，下列结论 中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。图形问题可以转化为数量问题。同样有时数量问题也可以转化为图形问题。 二、形帮数，让理性的数多一些感性。例2下面是一个二次函数y与x的对应关系表格x-3-2-1012y1250-3-4-3（1）该抛物线对称轴的直线方程是 。

3、（2）若抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，求SABC分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。练习1：抛物线开口向上，顶点在坐标原点，将该抛物线向下平移15个单位后，与x轴相交的两交点间的距离是15，则平移后的抛物线解析式为 。分析：此题用两点距离公式计算较繁，通过“形”用对称性求解，计算简单。练习2：已知二次函数。求当时，的值的变化范围是_分析：此题用代数推理求值时，需分类讨论，过程较繁琐；画图观察求解时，简明直观，迅速准确。 练习3：已知如图所示的抛物线，则关于x的方程的根的情况是（ ）（A） 有两个不相等的正根 （B）有两个异号的实数根（C） 有

4、两个相等的实数根 （D）没有实数根分析：此题通过根的判别式进行选择举步艰难。但通过观察函数与方程的关系，进一步将“形”转化为“数”（顶点纵坐标为3）再转化为“形”（相当于将的图象向下平移3个单位，此时新的抛物线顶点落在x轴上）继而转化为“数”（有两个等根）回顾：已知关于x的方程有一根大于1，另一根小于1，试求m的取值范围。例3：二次函数的图象与x轴的两个交点A、B分别位于（1，0）点左侧，（1，0）点右侧，试求m的取值范围。（此题的设计，让学生感受利用根与系数求解计算得复杂性，从而感受形的简捷性）这两题都可以利用根与系数关系求解，但利用数形结合思想，更简便明了。归纳：我们解题时常常会发现数学中

5、大量“数”的问题后面都隐含着“形”，我们可以将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的。三、小结：著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边非；数无形时少直觉，形少数时难以入微，数形结合白般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。”这段话正说明了数形结合的作用。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于同学们分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高同学们分析问题和解决问题的能力；