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常微分方程 试卷(A)答案：一. 填空题（每小题3分, 共15分） 1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .二单项选择题（每小题3分, 共15分） 1. C 2.A 3. D 4 . C 5. B 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1.分离变量：（3分）两边积分，得通解（6分） 有特解：（分）2. 令 则（分）（分） （分）得通解： （7分）令（分）积分因子（4分）通解：（7分）的特征根：通解：（分）原方程特解设为：，（分）代入原方程，可得：即（分）所求通解为：（分）特征根: 对应齐次线性方程通解: (2分)常数变易: 代入原方程, 取 (4分)解出 (6分)于是通解为 . (7分)四特征根： （分）对应特征向量 ；对应特征向量 ； （分）基解矩阵 ， (分） （分）五 （分）取则定正 （分）定负， （分）故零解渐近稳定 (8分)六 （3分）（6分）于是 为积分因子. （8分）七. 证明: 分三个命题:作逐步逼近序列: (2分)命题1：在上有定义, 连续且满足不等式 (3分)(命题1的证明与书上类似,此处略.)命题2：在上一致收敛. (6分)证明: 在上设 则由归纳法知, . 由于 , 则为单调增加且有界的函数列, 因此在上收敛. 设 再利用的单调性, 由狄尼(Dini)定理知，在上一致收敛. 命题3：为积分方程在上的连续解. (8分)证明: 由在区域 上连续,

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