将军饮马模型

1、将军饮马问题将军饮马问题 =轴对称问题 =最短距离问题 （轴对称是工具， 最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b 这样 的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题 。1. 将军饮马故事“将军饮马” 问题是数学问题中的经典题目，主要转化成 “两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从 A 地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？?A?B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线 l 的同侧有两点 A,B, 在 L

2、 上求一点 P，使得 PA+PB值最小。一般做法 ：作点 A （B）关于直线的对称点，连接A B，AB 与直线交点即为所求点。 A B即为最短距离。理由：A为 A 的对称点，所以无论P 在直线任何位置都能得到AP=AP。所以 PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求 A 到 B 的最短距离，直接相连就可以了。例一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电。 已知两个居民小区A、B 分别到主干线的距离 AA1=2千米， BB1=1千米，且 A1B1=4千米。（ 1）如果居民小区A、 B 位于主干线 L 的两旁，如图（ 1）所示，那么

3、分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（ 2）如果居民小区A、 B 位于主干线 L 的同旁，如图（ 2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与 A1 的距离是多少千米？L? A? BL? AB? B?BA?A模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点 A，在直线 K 上找一点 M，在直线 L 上找一点 P，使得 AP+PB值最小。模型三：一定点，两条定直线如图，在 OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M、N，使得 PMN周长最短（题 眼）。一般做法 ：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1 、P2。连接 P1P2

4、。P1P2 与 OA、OB 的交点即为所求点。 P1P2 即为最短周长。理由：对称过后， PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求 P1 到 P2 的最短距离，直接相连就可以了。模型四：两定点，两条定直线如图，点 P，Q为 MON内的两点，分别在OM，ON上做点 A，B，是四边形 PAQB的周长最小。练习题：1. 如图，点 P 是 AOB内一点，点 M，N分别在 OA，OB上运动，若 AOB=30度，OP=4，则三角形周长的最小值为多少。2. 如图，正方形ABCD的边长为 8，M在 DC上，且 DM=2， N是 AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ADMNBC3. 如图所示，在边长为 6 的菱形 ABCD中, DAB=600，E 为 AB的中点， F 是 AC上一动点，则 EF+BF的最小值是多少？DFCAEB?ABCAC2 3， ACB 60， P 为 BC上一点，