高中生数学建模意识和建模能力

1、高中生数学建模意识和建模能力调查分析报告一道数学知识应用竞赛题目的解答情况广州市 47 中学 段锦矿 510640 摘要 笔者在 2004 年 5 月参加了广州市首届高中数学知识 应用竞赛的评卷工作，对试卷压轴题做了抽样分析，从中对 高中生数学建模意识和建模能力进行分析。通过对这道高中 数学知识应用竞赛题解答情况的分析，我们了解到学生数学 建模意识和建模能力的现状不容乐观。 关键词 数学建模，数学知识应用竞赛，抽样分析高中新课标的基本理念之一是“发展学生的数学应用意 识”，并且提出高中数学课程要把数学建模的思想渗透在各 模块内容之中，并在高中阶段至少安排一次数学建模活动。 那么当前我国高中学生

2、的数学建模意识和建模能力如何 呢？日前，广州市举行了首届高中数学知识应用竞赛决赛， 笔者有幸参加了阅卷工作并对其中一题的解答情况并作了 抽样分析，希望能对当前高中学生的数学建模意识和能力得 到“管中窥豹”的了解。一、抽样题目的背景资料广州市首届高中数学知识应用竞赛决赛举行时间为 2004 年 5 月 16 日，参加人员为广州市经过初赛选拔的高二和部 分高一高三学生，竞赛组织缜密，具有较高的信度。竞赛题 目类型设置为选择题、填空题和解答题各四道，题目内容涉 及到高一和高二所学知识，考试时间为 120 分钟，全卷满分 100 分。本文分析的题目为最后一题，分数为 15 分，题目内容如 下：某市教育

3、局组织了一项竞赛， 聘请了来自不同学校的数名 教师做评委组成评判组。本次竞赛制定四条评分规则，内容 如下：（1）评委对本校选手不打分。（ 2） 每位评委对每位参赛选手（除本校选手外）都必须 打分，且所打分数不相同。（ 3） 评委打分方法为：倒数第一名记 1 分，倒数第二名 记 2 分，依次类推。（4） 比赛结束后，求出各选手的平均分，按平均分从高 到低排序，依此确定本次竞赛的名次，以平均分最 高者为第一名，依次类推。本次比赛中， 选手甲所在学校有一名评委， 这位评委将不 参加对选手甲的评分，其他选手所在学校无人担任评委。(I)公布评分规则后，其他选手觉得这种评分规则对甲 更有利，请问这种看法是

4、否有道理？(请说明理由)(n)能否给这次比赛制定更公平的评分规则？若能， 请 你给出一个更公平的评分规则，并说明理由。本题是试卷中比较具有“数学建模” 味道的一题， 题目所 要用到的数学知识并不难，但需要学生建立数学模型来衡量 什么是“公平的评分规则” ，为了建立数学模型，需要作出 适当的假设，最后还要对模型进行讨论和分析，对于“更公 平的评分规则” ，可以从不同的角度去入手，最后得出不同 的修正方法，有“殊途同归”之妙。这么一道比较适合高中生的数学建模问题， 学生解答情况 如何呢？二、抽样题目的量化分析抽样方法。决赛共 120个试室， 每试室 40人，共 4800人， 笔者采取两阶段随机抽样

5、和系统抽样的方法，抽取 03 试室 的01号，06试室的02号，3k试室的k号(0W k 40), 样本容量为 40，同时记录第 1 2题得分和总分。对抽样方法的讨论。考虑到试室分布是按广州市各区进行排列的，且每区所占试室数为超过10个，上述第一阶段抽取3k试室的方法会兼顾到各区。考虑到可能试室座位编排可能会把成绩好的同学排在前面，抽取固定座位号可能会有 失偏颇，因此在第二阶段的抽样中分别抽取01，02，, 40号。关于样本容量，根据从有限总体抽样进行平均数估计时d为最大允n Nf./2 ；（其中n =4800, Z/2 =1.96,/用样本方差代替, Nd2 Z;/2 二2许误差）可得，在要

6、求 95%可信度的情况下，抽取 40个样本可以达到最大允许误差为0.56，考虑到本题总分为 15 分,这样的误差是可以接受的。抽样结果与分析：总体平均数的区间估计根据总体方差未知时总体平均数估计方法，样本平均数为1.725,样本标准差 S=1.83，所以-X= 0.293查 t.5/2（40）= 2.021,所以.95的置信间距为1.725 -2.021 0.293=1.13-2.31 ，即本题总体平均得分估计在1.13-2.31之间，作此结论正确的概率是95%错误的概率是5%总体方差的区间估计。根据标准差的区间估计方法,S、, n、2n 、n-1二 0.207因此总体方差.95的置信间距为1

7、.853 _ 2.021 0.207=1.39-2.31，即本题得分总体方差估计在1.39-2.31 之间，作此结论正确的概率是95%错误的概率是5%由此我们可以看到，学生对于本题的解答情况是比较差 的。考虑到参赛的还是经过初赛选拔的、数学成绩相对较好 的同学，因此高中生的数学建模意识和数学建模能力令人担 忧。笔者在阅卷的过程中对学生解答情况做了归纳，希望从 这些典型的解答中对高中生建模意识和能力做一个质性分 析。三、高中生建模意识和建模能力质性研究在阅卷过程中，笔者发现本题是一道开放性很强的好题， 给学生留有很大的发挥空间，不少学生能从不同的角度来尝 试解决问题，有不少好的解法。本文侧重揭示

8、从这道题反映 出学生数学建模方面的问题，总体上有以下方面：（1）数学阅读能力差，误解题意。正确阅读、弄清题意是解决问题的前提，而在所抽取的 40个样本中有13个得分为零，不少学生为空白，究其原因 可能除了时间因素（事实上两个小时的时间较为充裕），学 生对于较长的文字表述产生畏惧心理、不能正确阅读是重要 因素。同时，一些学生由于不能正确理解规则（3），得出选手甲的平均得分为 1g = n，其他选手的平均得分为n -12n二口，从而得出错误结论，而实际上述应该是选n2手甲所在学校的评委和其他评委所打的平均分。（2）理性思维有待加强。不少学生在正确理解题意的基础上，提出了 “规则对甲有利”的理由，例

9、如：排名在甲前的同学少得了1分；甲所在学校的评委的评分总分比其他评委少；甲所在学校的评委不 给其他选手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他选 手高；相当于甲所在学校的评委把最高分给了甲；甲少拿一 个分数，若少拿最低分，则有利；若少拿最高分，则不利；以上各种想法都有道理，遗憾的是大部分学生仅仅停留在 这些感性认识和文字说明上，没能进一步引进数学模型和数 学符号去进行理性的分析，因此数学建模意识很有待加强。（3）数学建模方法需要提高。建模之前，通过假设把所研究的问题进行简化，明确模型 中需要考虑的因素以及他们在问题中的作用是非常必要的 作出必要的假设是数学建模方法中的重要一环，而在学生的解答

10、中极少见到能作出假设的。事实上，本题作出“每位评 委非常公正”和“在选手水平相同情况下，评委随机打分” 的假设是非常必要的，不少学生出现“甲所在学校的评委会 故意压低其他选手的分数，因而对甲有利”的理由就是这个 原因，不作出这个假设，本题的讨论就没有意义了。如何衡量规则的公平性是本题的关键，也是建模的原则。 很少有学生能够明确提出这个原则，标准答案给的是“在随 机情况下，以每位选手所得平均分是否相等，来判定此评分 规则是否公正” ，实际上还有其他的衡量方法，例如“每位 选手得某个分数的概率是否相等”等。以上反映出学生对于数学建模的基本方法和步骤不够明 确，建模技巧需要提高。（4）数学应用意识不

11、尽人意数学模型来源于生活， 解决的是实际问题， 得到的结果和 模型的修正都要符合实际，这是数学模型的重要思想。不少 学生在第 2 问评分规则的修正中，提出“将甲所在学校的评 委从评判组中剔除掉” ，这种办法违背实际的要求。而另一 方面，不少学生被生活中一些现象误导，提出“去掉最高分 和最低分”的评分规则修正方法，而不去从数学的角度分析和研究。当然，本题作为一个开放性的问题， 也给了学生发挥创造 性的空间，不少学生都有精彩的表现，例如关于评分规则的 修正，就有下列几种方案：方案1将选手甲所在学校评委的评分方法改为倒数第一 名记1+1分，倒数第二名记2+1，,依次类推；（评分标准）2 2方案2:将选手甲所在学校评委的评分方法改为在原来的 基础上乘以口 ；n方案3:对甲评分时，用其他评委的平均分计做甲所在学 校评委的打分；方案4:对其他选手，随机选取一位评委不打分，从而使 每位选手打分人数相同；总之，通过对这道高中数学知识应用竞赛题解答情况的分 析，我们了解到学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐 观。新课程标准给数学建模提出了更高的要求，也为中学数 学建模的发展提供了很好的契机