洛必达法则失效的种种情况及处理方法

1、洛必达法则失效的种种情况及处理方法今天我在看书时,看到这样一道题1xlimsinx，二x.0xdx,说是不可以使用洛必达法则,我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件,也就是说洛必达法则lim5lim上xTg（x）tg（x）的三个条件:(1)limf(x)=0一limg(x)=0一T(或8),T(或00)；（2）f（x）和g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导;(3)f(x)lim二Ax阻g(x)其中第三个条件尤其重要。其实，洛必达法则的条

2、件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。而对于极限问题limsinxdx1Hx'°来说，因为f（x）limlimsinxX，二g（x）、，二不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。【问题】求极限Xli

3、m【解】对于任何足够大的正数x，总存在正整数n,使n"'x<（n+1”，也就是说总存在正整数n,使x=nn+r,其中0Wr冗。这样xt十七就等价于nTs,所以1X1nn+lim一sinxdx=limsinxdxTx.05nn+rL0sinxdx1-nK=limIfsinxdx+n,二n二,r-.0J.J12n+Rfsinxdx+isintdt|=lim0-0nnI-r这里前面一项注意到了函数sinx的周期为n,而后面一项作了令x=nn+t的换元处理。最后注意到积分值R的有界性（0-R<2）o如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的

4、情况：第三个条件永远也无法验证。【问题2】求极限(1)limX1二3.x31-X-e-limx；(2)J)e-e【分析与解】(1)这是8型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到lim-X：113=lim3(x31)2=lim-XJ二二X31可知洛必达法则失效，处理的方法是lim-X-：|二二3.X31rx3+1=lim3113=1x二:x(2)的情况与(1)的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到X-Xe-elim-x.ex-eX_xX-Xeee-exlim-iG=xlim-一x-e-ex->ce+e,可知洛必达法则失效，处理

5、的方法是分子分母同乘x_x2xe-e1elim二lim7=1T%x+e*廿。1.elim雨【问题3】求极限TX。【分析与解】这是0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件11一2-2ex?ex购的刊"ccc102x0xx30200x完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的方法是作换元，令tf,这样就有1e42t50十=J二0还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“学辅导系列之24(4月14日博文泰勒公式的应用)”一文中的200

6、8考研数【例1】求极限6e'sinx-x(6-7x2)1X23ln-2x(3x)1-x问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了.中值定理总结中值定理一向是经济类数学考试的重点1、所证式仅与E相关观察法与凑方法例1设f(x)在0,1上二阶可导，f(0)=f(1)=r(0)=0试证至少存在一点(a,b)使得f"(；)=红91-分析：把要证的式子中的，换成x,整理得f"(x)-xf"(x)-2f'(x)=0-(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f&

7、lt;x),从xf”(x)找突破口因为xf(x)，=xf"(x)+f(x),那么把(1成变一下:f(x)一f(x)-xf(x)f(x)=0=f(x)-f(x)-xf(x)、0这时要构造的函数就看出来了F(x)-(1-x)f(x)-f(x)原函数法例2设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0,又g(x)在a,b上连续求证：式三电口)使得£(。=9(4(。分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法现在把与f有关的放一边，与g有关的放另一边，同样把，换成xf(x)两边积分一一一一一八(Y=g(x)=lnf(x)=g(x)dxInC

8、=f(x)=Cegf(x)是要构造的函数就很明显了=f(x)e1g(x)dx=C现在设C=0,于F(x)-f(x)e-g(x)dx一阶线性齐次方程解法的变形法对于所证式为f'+pf=0ffl,(其中p为常数或x的函数)可引进函数u(x)=e的则可构造新函数F(x)=fe的例：设f(x)在a,b有连续的导数，又存在ca,b),使得f'(c)=0求证：存在(a,b),使得f()=f(Lf(a)b-a分析：把所证式整理一下可得：f()-f()-f(a)=0b-a1=f()-f(a)f()-f(a)=0,这样航变成了fpf=0型b-a引进函数u(x)=e1xdx一b-ab-a-ex(令

9、C=0),于是就可以设F(x)=ebTf(x)f(a)注：此题在证明时会用到f(c)=f(b)-f=0=f(b)=f(a)这个结论b-a2、所证式中出现两端点凑拉格朗日例3设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导证明至少存在一点。w(a,b)使得bfaf=f(；)十甲化)b_a分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设F(x)=xf(x),用拉格朗日定理验证一下F()=f()f()=bf(b)-af(a)b-a柯西定理例4设0<x1<x2,f(x)在x1,x2可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c,使得1ex1x2e2ex1-ex2f(x1)f(x2)=f(c

10、)-f(c)分析：先整理一下要证的式子.1f(x2)-e2f("=f(c)_f仁)ex1.ex2这题就没上面那道那么容易看出来了发现ex1f(x2)-ex2f(x1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ex1+x20)_f(x。oX2oX1一.，、，-,八-ee于是这个式子一下变得没有悬念了11xxe2e1用柯西定理设好两个函数就很容易证明了k值法仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢?在老陈的书里讲了一个方法叫做k值法第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边ex1f(x2)-ex2f(x1)eX1-ex2以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量

11、的这个式子=k整理得e*1f(x1)-k=e«2f(x2)k很容易看出这是一个对称式，也是说互换X1X2还是一样的那么进入第二步，设F(x)=e«f(x)-k,验证可知F(x1)=F(x2)记得回带k,用罗尔定理证明即可。泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3、所证试同时出现七和Y两次中值定理例5f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=l试证存在J”(0,1)使得ef(n)+f(n)=1分析：首先把，与“分开，那么就有ef(S+(4)=e=一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下很容易看出e丫+f。)=eTV(n)；设F(x)=exf(x)利用拉格朗日定理可