高中数学高考导数题型分析及解题方法

1、大风起分云飞扬生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和 空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1. f(xrx3-3x2在区间I-1,11上的最大值是222 .已知函数y =f(x) =x(x_c)在x=2处有极大值，则常数 c= 6;33 .函数y T S-x有极小值1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切

2、线方程1 .曲线y = 4x _ X3在点-1, _3处的切线方程是y = X _ 23x_y =0，则p点的坐标为 (1, 0)2 若曲线f(x) MX4 _x在p点处的切线平行于直线43若曲线y =x的一条切线|与直线x 4y -8 =0垂直，则|的方程为4x- y-3 = 04 .求下列直线的方程:(2)曲线y =x2过点p,5)的切线;(1)曲线y =x3 x2 1在P(-1,1)处的切线;解.(1)叮点P(7,1)在曲线 y=x3+x2十 1 上，二y/=3x2+2x二 k=y，|x =32=1所以切线方程为y 一1 =x 1，即x -y暇=0y/ 二 2x所以有2(2)显然点P(3

3、,5)不在曲线上，所以可设切点为 Ado,%)，则yo =xo又函数的导数为所以过A(X0,y0)点的切线的斜率为k *1=2勺,又切线过A(X0,y0)、P(3,5)点,2X0 =注X。3，由联立方程组得,X0 二1 或 0，即 3x2 -bx b - 0.bX 一 _1时，f (x)min = f (1) =3 -b b 0, b - 6 当 6；大风起今云飞扬bx 二一一 -2时,f (x)min 二 f (-2) =12 2b b _0,. b 当6;2-2 _6 _1 时，f (x)min = 12b b - 0,则 0 _b _6. 当b12综上所述，参数b的取值范围是322 .已

4、知三次函数f(x)二xax bx c在x=1和x -1时取极值，且f(-2)=-4.(1) 求函数y = f(x)的表达式； 求函数y =f (x)的单调区间和极值； 若函数g(x) = f(x-m) 4m(m 0)在区间m-3, n上的值域为-4,16，试求m、n应满足 的条件.2解： f (x) =3x2ax b ,由题意得，1, _1是3x22axb=0的两个根，解得，a=0, b = -3 .3再由 f ( 2) - 4 可得 c - _2f (x)二x -3x -2 .(2) f (x) =3x2 -3 =3(x 1)(x -1)当 xc_1 时，f(x)0 ；当 x=_1 时，f(

5、x)=0 ；当1 ex c1 时，f(x)c0 ；当 x=1 时，f(x)=0 ；当x 1时，f (x)0 .函数f(x)在区间(：，-1上是增函数；在区间-hl上是减函数；在区间1, 上是增函数.函数f(x)的极大值是f(j)=，极小值是f(1)=Y .(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间3，n 一呵上的值域为Y-4m，16-4m( m 0 ).而 f ( ) =一20Y 4m = -20，即 m =4 .于是，函数f(x)在区间一3,门一 4上的值域为-20,0.令f(x) =0得x =-1或x =2 .由f(

6、x)的单调性知，T剟n-4 2，即3剟n 6综上所述，m、n应满足的条件是： m=4，且3剟n 6 .3设函数 f(x) =x(xa)(xb).(1若f(x)的图象与直线5x - y -8 = 0相切，切点横坐标为2,且f(x)在x = 1处取极值，求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解：(i) f (x) =3x2(a b)x ab.由题意f (2) =5, f二0，代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)当 b=1 时，令f(x)=0得方程 3x2 2(a+1)x + a = 0.因厶=4(a _a 1)0,故方程有两个不同实

7、根x-X2 I I不妨设x1 ：x2，由f(X)=3(X - x1)(X - x2)可判断f (x)的符号如下：当 X :：捲时，f (x) 0 .当 为：:：x : X2时，f (x) V0.当 x - X2时，f(X)0因此X1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型四：利用导数研究函数的图象fD ）大风起今云飞扬大风起今云飞扬y =丄x3 4x +1的图像为2 .函数 3（ A ）大风起今云飞扬大风起今云飞扬y-4-22(B )xo-2-43 方程2x3 _6x2 +7 =0在(0,2)内根的个数为题型五：利用单调性、极值、最值情

8、况，求参数取值范围1322f(x) x 2ax -3a x b,0 ： a 1.1 设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当x a 1, a 2时，恒有丨f (x)a，试确定a的取值范围2 2解：(1) f(x)=-x +4ax -3a =-(x-3a)(x-a)令 f(x)=0得 x a, x 3a列表如下：x(-a) a(a，3a)3a(3a，+7f (x)- 0+0-f(x)匸极小极大 f(x)在(a，3a) 上单调递增，在(-m，玄)和(3a，+8)上单调递减X =a 时，f极小(x) =b a33x = 3a 时，f极小(x)二 b(2) f (x) - -x2 4ax

9、 -3a2 . 0 ： a : 1，对称轴x = 2a ： a 1， f (x)在a+1 , a+2上单调递减 fMax = (a +1)2 +4a(a +1) 3a2 =2a T 幕山=(a 十2)2 +4a(a 十2) 3a2 = 4a 4依题丨 f(X) - a U | fMax | - a ,1 fmin |-a 即 |2_1Ha,|4_4Ha4 a _ 1 a的取值范围是解得 5，又 0 ： a ： 122 .已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx+ c在x= 3与x= 1时都取得极值(1 )求a、b的值与函 数f (x)的单调区间(2)若对xw 1 , 2，不等式f (

10、x) c2恒成立，求c的取值范围。解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+ c, f (x)= 3x2 + 2ax + b2 1241a+ b = 0由 f (3 ) = 93, f (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a =2 , b = 2f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函数f (x)的单调区间如下表：x2(oO, 3 )232(3 , 1)1(1 ,+ 0)f (x)1+0一0+f (x)极大值极小值2 2所以函数f (x)的递增区间是(一：，一3)与(1 ,+：),递减区间是(一 3 , 1)1 2 22(2) f (x)= x3 2

11、 x2 2x + c, 一 1, 2，当 x= 3 时，f (x) = 27 + c为极大值，而f (2)= 2+ c,贝U f ( 2)= 2 + c为最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 x 1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1 V3 / 1.已知平面向量a=( 3 , 1). b=( 2,2 ).IIIIIlli (1)若存在不同时为零的实数k和t，使x = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x丄y ,试求函数关系式k=f(t); 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t) k=0的解的情况.11解: (1) x 丄 y , x y =0

12、即a +(t2-3)b (-k a +t b )=02 2整理后得-k a +t-k(t2-3) a b + (t2-3) b =0=12 b4=2 a1上式化为-4k+t(t2-3)=0 ，即 k=4t(t2-3)11讨论方程4 t(t2-3)-k=o的解的情况，可以看作曲线f(t)=4 t(t2-3)与直线y=k的交点个数33于是 f (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当t变化时，f、f(t)的变化情况如下表：t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f (t)+o-o+F(t)/极大值极小值/1 当t= 1时，f(t

13、)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图13 2 1所示,可观察出：1 丄(1)当k 2或kv 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;1 1当k= 2或k= 2时，方程f(t) k=0有两解；1 1 当一2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合31设a O函数f(x)=x -ax在1/:)上是单调函数.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设 Xo 1, f (x) 1,且 f (f (Xo) = Xo，求证：f (Xo) = Xo .解: (1) y=f(x)=3x -

14、比若f(x)在上是单调递减函数，贝y须y :：o,即a3x,这 样的实数a不存在.故f (x)在町上不可能是单调递减函数.若f(x)在 r上是单调递增函数，则a 3x?,由于1，故3x2 一3.从而oaw 3.(2)方法1、可知f(X)在1 上只能为单调增函数若1 3,又0caE3 二 x：+ xu +u2 +1 a023f (x) =(x +；)(x+a)2 已知a为实数，函数2(1) 若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围(2) 若fO , (i)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的人、X2(J0)，不等式lf(X1) f(X2)l诗恒成立f(xx3ax2-X3

15、a . f (x)二3x22ax 3解:22, 2；函数f(x)的图象有与X轴平行的切线， f(x)=o有实数解23.: =4a-4 30 a22，所以a的取值范围是22丄33 -2a0,f(1)=0 3 2a 2 0,厶a=9f(x)=3x24 ,9x - -3(x -)(x 1)2 2 21X A 由 f(x) Ox，1 或 x 2 ； 由1f (x) ： 0, T :： x :21f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，单调减区间为1(丫)25易知f(x)的最大值为f(_1)=1f (_)8 , f(x)的极小值为24916,27JUMf (x)在1,0上的最大值2749m 8，最小值1

16、6-对任意Xl，x2 (-1,0)，恒有| f (xj - f (x2) I： M -m49_58 16 一 16题型八：导数在实际中的应用1 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 0到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大?32 -(x-1)2*8 + 2-,(单位:m 33.36 T ( 8 2x-x2)2 = T(8 2x-x2)5帐篷的体积为：332 1V33V (x)=1 (8 2x -x2) (x -1) 1(16 12x-x)3232(单位：m)故底面正六边形的面积为:(单位:2m )解军：设

17、 001 为 x m ，贝y 1 ： x ： 4 由题设可得正六棱锥底面边长为：大风起今云飞扬大风起今云飞扬2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/ 3V(x)(12 -3x )求导得令V(x)二0，解得x=-2 (不合题意，舍去)，x = 2 ,当 1：x：；2 时，V(x) 0 , V (x)为增函数；当 2 x : 4时，V(x) ： 0 , V (x)为减函数。.当x = 2时，V (x)最大。答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为163 m3。(II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了依题意得h(x)=(112

18、8000?x 8)型80x112802800xh(x)二x6408002_xx3 -803640 x2(0 ： x20).大风起今云飞扬133y =x3 x + 8(0 v x 兰120).小时)的函数解析式可以表示为：12800080解:100 =2.5(I )当x =40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，13(40340 8) 2.5=17.5要耗没 12800080(升)。已知甲、乙两地相距 100千米。(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？100x小时，设耗油量为h(x)升,令 h (x) = 0,得 x = 80.当 X (，80)时，h(x) 2h(x)是减函数；当 x (80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数。当x =80时，h(x)取到极小值h(80)- X.25.因