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文档简介

1、函数的定义域与值域的常用方法(一) 求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定 义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:( 1 )直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。( 2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3) 换元法:若给出了复合函数

2、 f g (x)的表达式,求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法 解之;(4) 构造方程组法:若给出 f (x)和f ( x),或f (x)和f (1/x)的一个方程,则可以 x代换一x (或 1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f ( x)(或f (1/x)即可求出f (x)的表达式;(5) 根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列 出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。(二) 求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题

3、型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的 范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负4、 对复合函数y= f g ( x)的定义域的求解,应先由 y= f (u)求出u的范围,即g ( x)的范围,再从中 解出x的范围li ;再由g (x)求出y= g (x)的定义域12, li和I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在 叙述结论

4、时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作 为该函数的定义域;(三) 求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f: AB中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为 C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为"满射”;3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域, 求解时须对参数进行分类讨论; 叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法

5、十分丰富,应注意总结;(四) 求函数的最值1、设函数y = f ( x)定义域为A,则当x A时总有f (x) Wf(xo)= M,则称当x = xo时f (x)取最大值 M ;当x A时总有f (x) >f(xi)= N,则称当x = xi时f (x)取最小值 N ;2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一:求函数解析式1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1.已知函数y= f (x)满足xy v 0,4x2 9y2= 36,求该函数解析式。解:由4x2 9y2= 36可解得:2x2 932、x2 92、x2

6、93 的形式。780,x x例3.已知f()X2 X 1x2,试求 f (x)。说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。例2.已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度 x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。ky _解:设 X,代入x, y的值可求得反比例系数k= 780m3/s,故所求函数关系式为3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。t解:设x

7、112 2f(t)t t 1 , t 知故得:f(x) X X hx 1。xx ,则 t 1,代入条件式可得:说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联1立求解。1 2例 4.(1)已知 f(x)2f(x)3x 4x 5,试求 f(x);2(2)已知 f(x)2f( x) 3x 4x 5,试求 f(x);解: (1)由条件式,以x代X,则得 (x) 2f (x)41x5,与条件式联立,消去x,则得:1182 4x 5x 3x3(2)由条件式,以一x代x则得:f( x) 2f(x)3x24x与

8、条件式联立,消去X,则得:11x x2 4x 5故所求函数的定义域由解析式确定,说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系, 不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合 理设置变量,建立等量关系。例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过 C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。当 x ( 1,时:当 x( 2,时:解:由题意知:当x 0, 1时:11故综上所述,x,y ' x21,J 3 x 21,0,1(1,2(2,311考点二:求函数定义域1、

9、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析 变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。y Jx 2例6.求x 3X 4的定义域。解:由题意知:,从而解得:x> 2且x工土 4.故所求定义域为:x|x> 2 且 x 工土 4。2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 例7.已知函数由下表给出,求其定义域X123456Y2231435617解:1 , 2, 3, 4, 5, 6。3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f ( u)的定义域可以确定内函数 g (x)的范围,从而解得 x Ii,又由g (x)定义域可以解得

10、 x I2.则Iin I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求 解。例8 已知 f(x) , x 3, g(x)x,求yf (g( x)的定义域. x2 4x3由f(x)x 3 x 3g(x) 3x3解:.x 4x3又由于 x2 4x + 3>0*联立*、*两式可解得:9 3 39x 1 或 3 x3 344故所求定义域为刈歸3 x 1或3 x普3例9.若函数f (2x)的定义域是1 ,1】,求f ( lOg2x)的定义域。解:由f (2x)的定义域是1 , 1可知:21<2<2所以f (x)的定义域为2 1, 2,故log2x 21 , 2,解得

11、9; 2 X 4 ,故定义域为 2,4。4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。例10.求函数f (x) ax 1的定义域。解:若a 0,则x R;1若a 0,则x -;a1若a 0,则x ;a故所求函数的定义域:11当a 0时为R,当a 0时为x|x ,当a 0时为 x|xaa说明:此处求定义域是对参变量 a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三:求函数的值域与最值F面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们求函数的值域和最值的方法十分丰富, 将学习到更多的求

12、函数值域与最值的方法。1、分离变量法y例11.求函数2x 3空解:x 132x11说明:这是一个分式函数,分子、x 1,因为0,故y2,所以值域为y|y工2分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。2、配方法例12.求函数y = 2x2+ 4x的值域。解:y = 2x2 + 4x = 2 (x2 + 2x + 1) 2 = 2 (x+ 1) 2-2亠 2,故值域为y|y A 2。说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数 的值域也可采用此方法求解,如y = af2 (x)+ bf (x) + c。3、判别式法例13.求

13、函数y 1的值域。 ? 2x 3的值域。4x 5x 6x2 2x 324x 5x 6 可变形为:(4y 1) x2+( 5y 2) x+ 6y 3= 0,由4可解得:26 6 3 26 6 37171。说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定那么一般情况下就不能义域一般仅由函数式确定, 题中条件不再另外给出; 如果题中条件另外给出了定义域,用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故>04、单调性法2例14.求函数y3 ,

14、 x 4, 5的值域。Xy 二 3913解:由于函数X为增函数,故当X = 4时,ymin = 2 ;当X = 5时,ymax= 5,所以函数的值域为5 132,5O5、换元法例15.求函数y 2x 4 1 X的值域。解:令 t 1 X 0,贝y y =_ 2t2 + 4t+ 2=-( t- 1) 2+ 4, t故所求值域为y|y <46、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。x,x 1,2例16.求函数yX2,X (2,3的值域。2x 1,x (3,4解:当 x 1, 2时,y 1 , 2;当 x (2, 3时,y(4, 9;当 x (3, 4时,y (5, 7综 上所述,y 1 , 2U (3, 9。7、图像法:例 17 设 f(x)=x2 x > 2''若f(g(x)的值域是0,+ )贝U函数y= g(x)的值域是x, x <1,A.( - s, 1 U 1,+ a)C.0,+ m)B.( - s,- 1 U 0,+ )D.1 , + a)解析:如图为f(x)的图象,由图象知f(x)的值域为(一1,+s),若 f(g(x)的值域是0 ,+),只需 g(x) (汽1 U 0 ,+ ).故选B.8、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到

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