高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

1、函数的定义域与值域的常用方法(一) 求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定 义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：( 1 )直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。( 2)待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；(3) 换元法：若给出了复合函数

2、 f g (x)的表达式，求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法 解之；(4) 构造方程组法：若给出 f (x)和f ( x)，或f (x)和f (1/x)的一个方程，则可以 x代换一x (或 1/x),构造出另一个方程，解此方程组，消去f ( x)(或f (1/x)即可求出f (x)的表达式；(5) 根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列 出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。(二) 求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题

3、型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的 范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负4、 对复合函数y= f g ( x)的定义域的求解，应先由 y= f (u)求出u的范围，即g ( x)的范围，再从中 解出x的范围li ；再由g (x)求出y= g (x)的定义域12, li和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在 叙述结论

4、时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作 为该函数的定义域；(三) 求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f: AB中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C,则C是B的子集；若C=B,那么该函数作为映射我们称为"满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域, 求解时须对参数进行分类讨论； 叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法

5、十分丰富，应注意总结;(四) 求函数的最值1、设函数y = f ( x)定义域为A，则当x A时总有f (x) Wf(xo)= M，则称当x = xo时f (x)取最大值 M ;当x A时总有f (x) >f(xi)= N,则称当x = xi时f (x)取最小值 N ;2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1.已知函数y= f (x)满足xy v 0,4x2 9y2= 36,求该函数解析式。解：由4x2 9y2= 36可解得:2x2 932、x2 92、x2

6、93 的形式。780,x x例3.已知f()X2 X 1x2，试求 f (x)。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度 x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。ky _解：设 X，代入x, y的值可求得反比例系数k= 780m3/s,故所求函数关系式为3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。t解:设x

7、112 2f(t)t t 1 , t 知故得：f(x) X X hx 1。xx ，则 t 1，代入条件式可得:说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联1立求解。1 2例 4.(1)已知 f(x)2f(x)3x 4x 5,试求 f(x)；2(2)已知 f(x)2f( x) 3x 4x 5，试求 f(x)；解: (1)由条件式，以x代X,则得 (x) 2f (x)41x5，与条件式联立，消去x，则得:1182 4x 5x 3x3(2)由条件式，以一x代x则得：f( x) 2f(x)3x24x与

8、条件式联立，消去X，则得:11x x2 4x 5故所求函数的定义域由解析式确定，说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合 理设置变量，建立等量关系。例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过 C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。当 x ( 1,时:当 x( 2,时:解：由题意知：当x 0, 1时:11故综上所述,x,y ' x21,J 3 x 21,0,1(1,2(2,311考点二：求函数定义域1、

9、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析 变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。y Jx 2例6.求x 3X 4的定义域。解：由题意知:，从而解得:x> 2且x工土 4.故所求定义域为:x|x> 2 且 x 工土 4。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617解：1 , 2, 3, 4, 5, 6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f ( u)的定义域可以确定内函数 g (x)的范围，从而解得 x Ii,又由g (x)定义域可以解得

10、 x I2.则Iin I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求 解。例8 已知 f(x) , x 3, g(x)x,求yf (g( x)的定义域. x2 4x3由f(x)x 3 x 3g(x) 3x3解：.x 4x3又由于 x2 4x + 3>0*联立*、*两式可解得：9 3 39x 1 或 3 x3 344故所求定义域为刈歸3 x 1或3 x普3例9.若函数f (2x)的定义域是1 ,1】，求f ( lOg2x)的定义域。解：由f (2x)的定义域是1 , 1可知：21<2<2所以f (x)的定义域为2 1, 2,故log2x 21 , 2,解得

11、9; 2 X 4 ,故定义域为 2,4。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例10.求函数f (x) ax 1的定义域。解：若a 0,则x R；1若a 0，则x -；a1若a 0，则x ；a故所求函数的定义域：11当a 0时为R,当a 0时为x|x ，当a 0时为 x|xaa说明：此处求定义域是对参变量 a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值F面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入,我们求函数的值域和最值的方法十分丰富, 将学习到更多的求

12、函数值域与最值的方法。1、分离变量法y例11.求函数2x 3空解:x 132x11说明：这是一个分式函数，分子、x 1，因为0，故y2,所以值域为y|y工2分母均含有自变量x,可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y = 2x2+ 4x的值域。解：y = 2x2 + 4x = 2 (x2 + 2x + 1) 2 = 2 (x+ 1) 2-2亠 2,故值域为y|y A 2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数 的值域也可采用此方法求解，如y = af2 (x)+ bf (x) + c。3、判别式法例13.求

13、函数y 1的值域。 ? 2x 3的值域。4x 5x 6x2 2x 324x 5x 6 可变形为：(4y 1) x2+( 5y 2) x+ 6y 3= 0,由4可解得:26 6 3 26 6 37171。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定那么一般情况下就不能义域一般仅由函数式确定， 题中条件不再另外给出； 如果题中条件另外给出了定义域,用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故>04、单调性法2例14.求函数y3 ,

14、 x 4, 5的值域。Xy 二 3913解：由于函数X为增函数，故当X = 4时，ymin = 2 ；当X = 5时，ymax= 5，所以函数的值域为5 132,5O5、换元法例15.求函数y 2x 4 1 X的值域。解：令 t 1 X 0，贝y y =_ 2t2 + 4t+ 2=-( t- 1) 2+ 4, t故所求值域为y|y <46、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。x,x 1,2例16.求函数yX2,X (2,3的值域。2x 1,x (3,4解：当 x 1, 2时，y 1 , 2;当 x (2, 3时，y(4, 9;当 x (3, 4时，y (5, 7综 上所述，y 1 , 2U (3, 9。7、图像法：例 17 设 f(x)=x2 x > 2''若f(g(x)的值域是0，+ )贝U函数y= g(x)的值域是x, x <1,A.( - s, 1 U 1,+ a)C.0，+ m)B.( - s,- 1 U 0，+ )D.1 , + a)解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(一1,+s),若 f(g(x)的值域是0 ,+),只需 g(x) (汽1 U 0 ,+ ).故选B.8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到