高中数学必修5知识点总结(史上最全版)

1、高中数学必修5知识点第一章 解三角形1 三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180° -（A+B）;2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c7、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c2 2ac cos ，3、三角形中的基本关系：sin (AB) sinC, cos(AB)cosC, tan (A B)tanC,.A BCA B.CA BCsincos ,cossin,ta ncot2222 224、正弦定理:在C中，a、b、c分别为角、 、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R.sinsinsin C5、正弦定理的变形公式:化角为边：

2、a2Rsin , b2Rsi n,c2Rsin C ；化边为角：sina.,sinbsin Cc2R2R '2R ' a: b: c sin:sin :sin C ；a bcabcsinsinsin C sinsinsin C6、两类正弦定理解三角形的问题： 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）c2 a2 b2 2abcosC8、余弦定理的推论：cosb22a，cos 2bc2c2ac2.2 2 a b c cosC -2ab（余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和

3、夹角，求其余的量。2.已知三边求角）成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角 、C的对边，则：若a2b22c ,则C90o;若 a2 b2 c2，则 C 90o;若a2b2c2，则 C90o 9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标CDA B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的C D两点，并测得/ ACB=75, / BCD=45,/ ADC=30, / ADB=45（A、B、C D在同一平面内），求两目标 A B之间的距离。（本题解答过程

4、略）11、三角形面积公式：12、三角形的四心：垂心 三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心一一三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）13、 请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。附加：辂殊角的三角曲数值角度0o14列120*135 0150 flISO *270 43(S0 n«的弧度oa64V32Jj5 J1"?rsin疔01212100COS w1X丸22i01>冷-I0tan 00T1厂

5、-1返00第二章数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.5、 递增数列：从第 2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+i>an）6、 递减数列：从第 2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+i<an）7、 常数列：各项相等的数列（即:an+i=an）.8、摆动数列：从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.9、 数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式.10、 数列的递推公式：表示任一项a1与它的前一项an 1 （或前几项）间的

6、关系的公式.11、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.符号表示：an 1 an d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： an an 1 d(n 2, d为常数)2an an 1 an 1 (n 2) an kn b(n,k为常数12、 由三个数a , b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的a c等差中项.若b，则称b为a与c的等差中项.213、 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则an冃 n 1 d .14、通项公式的变形：4 am n md: aann 1 d: dan a1n 1 ；

7、15、若右an1 :danaman是等差数列，且是等差数列，且2n），则 2a16.等差数列的前n项和的公式：Sh，则aapQi.nnq 1 -d . 2Siaia2Lan17、等差数列的前 n项和的性质：若项数为2n n *，则S2n n耳 0 1 ，且s奇nd,ans偶an 1若项数为2n 1 n*，则 S2n 12nS奇nan ， $禺n1 an )18、如果一个数列从第lan，且% %a，S 的（其中2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示:会出现值为0的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：q （

8、注：等比数列中不an anq(n 2,q为常数,且 0) an a n 1 a n 1 ( n 2 , an an 1 an 1 0 ) an cqn（c,q为非零常数）. 正数列 an成等比的充要条件是数列 logx an （ x 1）成等比数列.19、在a与b中间插入一个数 G，使a , G , b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.若G2 ab，则称G为a与b的等比中项（注：由G2 ab不能得出a , G , b成等比，由 a , G , bG2ab)20、若等比数列an的首项是q，公比是q，则ann 1aq n mn 1a n21、通项公式的变形：|anamq : da.q: q n

9、 1n :a1a paq n m a nqa m22、 若 an 是等比数列，且 m n p q （ m、n、p、q ），贝U am an ap aq ；* 2若an是等比数列，且2n p q （n、p、q ），则anna q 123、 等比数列an的前n项和的公式：Sna1 1 qn1 q印 a.q1 qSiai a2 Lan24、对任意的数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：as1a1 (n 1)Sn Sni( n 2)注:an ai n id nd ai d （ d可为零也可不为零宀为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）7若 d不为0,则是等差数列充分条件）. 等差 an前n项和

10、Sn An2 Bn d n2 a1 d n9可以为零也可不为零7为等差2 2 2的充要条件7若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：1. 等差数列的前n项和为Sn ,在d 0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an 0,an 1 0，成立的n值；二是由Snn2 d）n利用二次函数的性质求n的值.2. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列陶=口 + (尿.1加=- d二£兀+色（初芒0时为一

11、次函数）等比数列n-171% =叱=Q§y = a （指数型函数）数列前n项和公式对应函数等差数列川（科一 1）,川2仇叶=力1+2圧=?料十2| B汁"斗（雷羊0时为二次函数）等比数列“鸽丁 V鳥y二讨（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前 于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。3例题：1、等差数列亿中，"几二'：1则二分析：因为是等差数列，所以 是关于n的一次函数，n项和看成是关1,11 A一次函数图像是一条直线，则（n,m） ,（m,n）,（m+n,"匕 ）三点共线，所以利用每两点形

12、成直线斜率相等，即'1 w ；1 飞，得：=0 (图像如上)，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，1'，前n项和为匚，若刊二匸，n为何值时°最大?分析：等差数列前 n项和I可以看成关于d 2 (&、n的二次函数 ，:=-上的离散点，根据题意,则因为欲求已最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为9 + 17213是抛物线八 =【"即当；一上时，最大。例题：3递增数列"，对任意正整数 n, I "一 恒成立，求丄分析：1一构造一次函数，由数列 '-递增得到：一&

13、quot; 对于一切恒成立，即出：恒成立，所以-一I _对一切、- 丁恒成立，设/-，则只需求出；的最大值即可，显然有最大值，所以丄的取值范围是：:构造二次函数，看成函数h '，它的定义域是二!，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为人4*0),抛物线对称轴2，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增,就看动轴与在疋A =已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴1A 3 一 < 为此时B点比A点咼。于是，-，得- '4. 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1丄,3丄,.

14、(2 n 1)丄，242n5. 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差di, d2的最小公倍数.6. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n>2的任意自然a数，验证an an i(-)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法：验证an 122an 1anan 2 (an 1a.an 2)n N 都成立。am 07. 在等差数列 an中，有关S的最值问题：当a1 >0,d<0时，满足的项数am 10am 0m使得sm取最大值.(2)当a1 <0,d>0时，满足的项

15、数m使得sm取最小值。在解am 10含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法2.裂项相消法：适用于C为常数；部分无理1. 公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。其中 an是各项不为0的等差数列,anan 1数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列an的通项为an=1n(n求这个数列的前n项和S.1)anbn其中 an是等差数列,bn是各项不为0的等比数列。解：观察后发现1:an=n1n 1Sna1a2an1、 ,111 1 、(1-)(-)( )2 23n n 111n 13.错位相减法 ：适用于例题：已知数列a n的通项公式为an n 2n，求这

16、个数列的前 n项之和q。解：由题设得:Sia1a?a3an1Sia1a?a3an即 sn = 1 212 22 3 2n 2n把式两边同乘2后得2sn=1 222 23 3 2n 2n用-，即:sn = 1 212 22 3 23n 2n4*22Sn=1 22 23 3 24Sn22232nn 2n 1- Sn2(11 22n1 2n 2n 12n1(1 n)2n 1(n 1)2n 14.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1):1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2 n-1)=)13231)4)12221)(2n1)5)n(n 1) n n 1n

17、(n 2)2)6) n 2 ；pq(Pq)1附加：重点归纳等差数列和等比数列（表中m, n, p,q N ）类别 项八、等差数列an等比数列an定义an 1andan 1q an通项公anain1 dan 1naq式anamnm dann mamq前n项o n da.n qn n 11d2nd qs a 111nqa1 anq q 1q1 q和Sn 21 la等差（比）中项2an 1aan 2an 12anan2公差danamm nn manq am（比）dnmm n p qamana paqm n pqam ana paqm n 2paman 2apm n2 pam ana p5m , S2

18、m 5m , S3m S2m丄 成等差T Em T3m m，Tm 工m丄成等比数列，公性质数列，公差为md （ Sn是前n项和）2比为qm（Tn是前n项积）am , am k , am 2k , L仍然是等差数列，am, am k , am2k,L仍然是等比数其公差为kd列,其公比为qkk b是等差数列bak是等比数列（b 0）d0,Z7印0时，q1,Z，0 q 1,；单调性d0,760 时，q1, ，0 q 1,Z ；d0,常数列q 1为常数列；q 0为摆动数列2. 等差数列的判定方法：(a,b,d为常数).定义法：若an i an d 1(2).等差中项法：若2an i a. a. 2 &

19、#187;an为等差数列.通项公式法：若an an b.前n项和法：Sn an2 bn3. 等比数列的判定方法：(k，q为非零常数)an 1.定义法：若q、an(2) .等比中项法：若an 12 an an 2an为等比数列.(3) .通项公式法：若an kqn.前n项和法：Sn k kqn第三章不等式、不等式的主要性质：(1 )对称性：a b b a(2 )传递性：a b,b c a c(3)加法法则：a b a c b c ；(4 )同向不等式加法法则：a b,c d a c b d(5)乘法法则：a b,c0 acbc; ab,c 0acbc(6 )同向不等式乘法法则：a b0,c d0

20、 acbd(7)乘方法则：ab 0 anbn(nN *且n1)(8)开方法则：ab 0 n an b(nN *且n1)(9)倒数法则：a1b,ab 01ab一、兀二次不等式ax2 bx c0和ax2 bx c0(a0)及其解法000yax2 bx cy2 axa(xbx cyax2 bx ca(x x1 )(xX2)Xi)(XX2)二次函数y ax2bx c1 r /J1（a 0）的图象vu兀次方程有两相异实根有两相等实根ax2 bx c 0b无实根Xi,X2(XiX2)XiX2a 0的根2aax2 bx c 0bxxx1或 x x2XXR（a 0）的解集2aax2 bx c 0xx x x2

21、（a 0）的解集1.一元二次不等式先化标准形式（a化正）2 .常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口诀：在二次项系数为正的前提下：“大于取两边，小于取中间”三、均值不等式,ab称为正数a、b的a,b是正数，那么1、设a、b是两个正数，则 乞卫称为正数a、b的算术平均数,2几何平均数.2、 基本不等式（也称均值不等式）：若a 0均值不等式：如果1a b a b 2 ab即；ab（当且仅当a b时取” ”号）.23、平均不等式:a、b为正数），即a b2注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等(当a = b时取等)丄 1a b2 b24、常用的基本不等式：a2 b2 2ab a,b

22、 R : ab - 一 a,b R ； 2aba 0,b 0 a2 b22a b ,a,b22225、极值定理：设 x、y都为正数，则有:2s若x y s （和为定值），则当 x y时，积xy取得最大值.若xy p （积为定4值），则当x y时，和x y取得最小值2 p 四、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义:| x |是指数轴上点x到原点的距离;x21是指数轴上 为,x2两点间的距离；代数意义:|a|02、如果a 0,则不等式:|x| a；|x| a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，

23、则学 0 f (x)g(x) 0 ；平 0 g(x)g(x)f(x)g(x) 0g(x) 0指数不等式：转化为代数不等式af(x) ag(x)(a 1) f(x) g(x) ； af(x)ag(x) (0 a 1) f (x) g(x)对数不等式：转化为代数不等式f(x)loga f(x) loga g(x)(a 1) g(x)f(x)g(x)f (x) 0log a f(x) loga g(x)(0 a 1) g(x) 0f(x) g(x)高次不等式：数轴穿线法口诀 小于取下边，大于取上边”2 2例题：不等式a 3x 2）（x 4）x 3A. 1<x w 1 或 x > 2C.

24、x=4 或3<x w 1 或 x > 2“从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯;0的解为（B. x< 3 或 1< x< 2D. x=4 或 x< 3 或 1 w x< 2六、不等式证明的常用方法：作差法、作商法七、线性规划1、 二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.x和y的取值构成有序数对2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x, y，所有这样的有序数对x, y构成的集合.4、在平面直角坐标系中，已知直线x y C 0，坐标平面内的点Xq , y0 若0,XqyoC0，则点 若0,xoyoC0，则点xo,yo在直