最新全国初中数学竞赛决赛试题及答案

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯2021年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1561011121314得分评卷人复查人做题时注意：1 .用圆珠笔或钢笔作答；2 .解答书写时不要超过装订线；3 .草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1 .设a=-1,那么代数式3a3+12a2-6a-12的值为().(A)24(B)25(C)W7+10(D)4/7+122 .对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,切与(c,d)之

2、间的运算为：(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对于任意实数u,v,都有(u,v)(x,y)=(u,v),那么(x,y)为().(A)(0,1)(B)(1,0)(C)(1,0)(D)(0,-1)3 .假设x1,y0,且满足xy=xy,-=x3y,那么x+y的值为().y911(A)1(B)2(C)9(D)-224 .点D,E分别在ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设SI边形EADF=Si,SMF=S2,S&cF=S3,SfEF=S4,那么8)0与S2s4的大小关系为().(A)S1S3Ms2s4(B)SS3=S2s4(C)S1s3As2s4(D)不能确定、1111

3、-5.设$=,+,+,+川+二,那么4s的整数局部等于().12399(A)4(B)5(C)6(D)7二、填空题共5小题,每题7分,共35分6 .假设关于x的方程x-2x2-4x+m=0有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,那么m的取值范围是.7 .一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时掷这两枚骰子,那么其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.8 .如图,点A,B为直线y=x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=l(x0)于C,D两点.假设BD=2AC,WJ4

4、OC2OD2的值x为第8题第10题9 ,假设y=J1x+,x的最大值为a,最小值为b,那么a2十b2的值10 .如图,在RtAABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于ABC,且其边长为12,那么ABC的周长为.三、解做题共4题,每题20分,共80分11 .关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根者B大1,求a+b+c的值.12 .如图,点H为ABC的垂心,以AB为直径的.1和4BCH的外接圆.2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证：点P为CH的中点.第12题(第13题)13 .如图,点A为y轴正半轴上一点,AB两点关于x轴对称,过点A任

5、22一,作直线父抛物线y=4x于p,q两点.3(1)求证：/ABP=/ABQ；假设点A的坐标为0,1,且/PBQ=600,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.14 .如图,ABC中,/BAC=60AB=2AC.点P在ABC内,且PA=73,PB=5,PC=2,求ABC的面积.第14题A中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯2021年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1. A解：由于a=J71,a+1=,a2=62a,所以323a12a-6a-12=3a(6-2a)12(6-2a)-6a-12一2一一6a-12a,60=-6(6-2a)-12a60=24.2. B解：依定义的

6、运算法那么,有ux+vy=u,即、vx+uy=v,；u(x-1)+vy=0,、v(x-1)+uy=0对任何实数u,v都成立.由于实数u,v的任意性,得(x,y)=(1,0).所以3. C解：由题设可知y=xy,于是4y-1=1m19故y=2,从而x=4.于是x+y=2.4. C解：如图,连接DE,设S诙=S；,贝1&=空S2BF从而有&=S2s4.由于sas/,所以G&AS2s4.5. A解：当k=2,3,III,99时,由于111112kkk2-12-1kkk1第4题所以-111I ：二S=1331H./233399II -.299100于是有44S5,故4s的整数局部等于4.、填空题6.

7、3m04解：易知x=2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,x2,那么x1+x2=4,X1X2=m.显然x+x2=4a2,所以x1x20,即J(x1+x22-4x1x20,所以j16-4m0,解之得7.解:30,Hx-0,得wx01.2221+一16b0,由(1)可知/ABP=/ABQ=30,BC=3a,BD=3b,AC=/3a-2,AD=2-V3b.由于pc/dq所以acpaadq.于是需嗡,3a-22-.3b所以a+b=/3ab.即-ab,所以ab=223；3a+b=,2于是可求得a=2b=3.,得到点q的坐标,3第14题再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k=所以直线PQ的函数解析式

8、为丫=-q+1.3根据对称性知,所求直线PQ的函数解析式为v=Wx+1,或y=3x+1.33解法二设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,其中t=1.由(1)可知,/ABP=/ABQ=30,所以BQ=2DQ.故2xq=.：xQ(yQ1)2.将yQ=2xQ代入上式,平方并整理得34xQ-15xQ+9=0,IP(4xQ-3)(xQ-3)=0.所以xq二史或-、3.2又由(1)得xp%=3=一3,xp+xq=-k.222假设xQ=,代入上式得xP=-百,从而k=2(xP+4)=_2233同理,假设xQ=*可得xp=-立,从而k=2(xp+xq)=理.Q233所以,直线PQ的函数解析式为y=x+1,或y=x+1.3314.解：如图,作ABQ,使得/QAB=/PAC,/ABQ=/ACP,那么AABQsAACP.由于AB=2AC,所以相似比为2.于是AQ=2AP=2技BQ=2CP=4.QAP=/QABBA