数值分析中的误差

1、第9章数值分析中的误差典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。（6%）学习要点：误差、有效数字。典型问题解析:误差绝对反差e：e=xx（设精确值x的近似值x,差e=xx称为近似值x的绝对误差（误差）。绝对误差限名|e=xxw%，|x|x|<s（绝对误差限泥绝对误差e绝对值的一个上界。）相对误差er：er=一计算）x*（绝对误差e与精确值x的比值，常用相对误差限备：er（相对误差er绝对值的一个上界），er|x-x|；君r="jj",常用一计算.x*x绝对误差限的估计式：（四则运算中）_x2)=;(x>；(x2)x1®(x2)+x28(x1)xj名(x1

2、+|xJe(xi)xf二、有效数字有效数字：如果近似值x的误差限6是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位.从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字.（1）设精确值x*的近似值x,若x=0.a1a21an10mai,a2,，an是09之中的自然数，且a#0,x-xM名=。5父10mtiMlMn则x有l位有效数字.例1设x*=值3.1415926，若x*的近似值x为3.14,3.1415,3.143,求x的有效数字位数.解：若x=3.14=0.314X101,（m=1）x_x*=0.0015926E0.5M101&(l=3)故x=3.14有3位有效数字。若x=3

3、.1415=0.31415X101,(m=1)1_4x-x=0.0000926W0.5M10(l=4)故x=3.1415有4位有效数字。若x=3.143=0.3143X101,(m=1)x-x*=0.0014074<0.5X101-(l=3)故x=3.143有3位有效数字。(2)设近似值x=±0.a1a2anm10m有n位有效数字，则其相对误差限（定理1）“<X102al（3）设近似值x=±0.a1a2a。父10m的相对误差限不大于11021)则它至少有n位有效数字。（定理2）（4）要求精确到10k（k为正整数），则该数的近似值应保留k位小数。例2指出下列各数具

4、有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限:2.0004-0.002009000.00解：x1=2.0004=0.20004X101,(m=1)绝对误差限s(x1)=0.00005=0.5X1015,(l=5)故x=2.0004有5位有效数字。1又a1=2,相对误差限&=X10=0.000025。2 a1；(x1)或；r-=0.000025。x1-2，x2=-0.00200=0.200X10,(m=-2)绝对误差限s(x2)=0.000005=0.5X10-5,(l=3)故x2=-0.00200有3位有效数字.1 1口又a1=2,相对误差限&=乂10=0.00252 2x3=9000.00=0.900000X104,(m=4)故X3=9000有6位有效数字,又a=9,相对误差限a=1101-=0.0000005629由X3与X4可以看到小数点之后的0,不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.69314718，精确到10一3的近似值是多少？解精确到103=0.001,即绝对误差限是彳0.0005,故至少要保留