数值计算_第7章数值微分和数值积分

1、第7章数值微分和数值积分7.1 数值微分7.1.1 差商与数值微分当函数/（X）是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算了（1）的导数/'（X）。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。以下是导数/（工）的三种定义形式:I/7hI。k(7.1)Tim72h在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式

2、以及相应的截断误差。向前差商用向前差商（平均变化率）近似导数有：(7.2)其中的位置在'。的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。由泰勒展开为+*)=/(而)+-(%)+空飞+方乙！得向前差商的截断误差：RSm&）-/金+?-"而）=-）/（/=。h2向后差商用向后差商近似导数有:(7.3)与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差:1二0%-h班飞中心差商用中心差商（平均变化率）近似导数有：(7.4)/（/卜/（%+尤一/（%一力）2h由泰勒展开7Uo+卜/Go）+4/'ao）+（/）+乙！J：TA/(%)-团以0)+八-/

3、肝仁)得中心差商的截断误差:&»=/(%)-2k差商的几何意义f（%）=linj微积分中的极限定义一加+用一/（%）,表示/S）在'-%处切线的斜率，即图7.1中直线P的斜率；差商/5+»-(%)表示过（而/）和（币+如（瓦+*）两点直线。的斜率，是一条过M的割线。可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。例7.1给出下列数据，计算TWM口叫1ml犷（0的,0.020.040.060.80.10fW5.065.075.0655.055.055解：.二(5.075.06)/(0.04-0.02)=0.5.'.(5.055.07)/(0.0

4、80.04)=-0.5。0)能(5.05-5.055)/(0.08-0.10)=0.25“008/(/(0.10)-了(0.06)/(0.100.06)=18.75设定最佳步长在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值%的数值近似产生舍入误差。在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，MI越小，则误差也越小；但是太小的MI会带来较大的舍入误差。怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过而舍入误差可用量人估计(证明略)，其中0是函数N的原始值的绝对

5、误差限，总误差为*&M-i+6h%，/hg=巴峪-当I6酎3专时，总误差达到最小值，即'a(*)可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。通常用事后估计方法选取步长k,例如，记为步长等于'2的差商计算公r1yDQi)-D一<e式，给定误差界E,当时，2就是合适的步长。12*例7.2对函数J=g,取不同的步长计算,观察误差变化规律，从而确定最佳步长。解:h尸。均误差h误差0.103.16300.00480.053.1590-0.00080.093.16220.00400.043.15880.00060.083.1613-0.00310.033.1583

6、-0.00010.073.16070.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.15500.0032表中数据显示，当步长力从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001,而随着力的进一步减少，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长k小于0.03时,舍入误差起了主要作用。在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定步长，本例中取为=0.04。7.3.1 插值型数值微分对于给定的/（工）的函数表，建立插值函数'（刁，用插值函数队工）的导数近似函数的导数。为插设厮产°，用为4司上的节点，给定

7、（M/a）,i=QL、N,以国人瑞值点构造插值多项式4（1），以4W的各阶导数近似了k）的相应阶的导数，即/(x)=4W=w/Wi/=4=£/;八怎)i-0八引”±4/j=oJ4i-0(7.5)误差项为:公（就+1）!马H/源*1)f，5+1)1埼例7.3给定（4，/（%，尸。，12,并有工厂再二再一刷=&,计算解：作过；1.二：一”一的插值多项式:与包苦工21）/氏)/名(琦+。一/+工F)将1-I代入/(X)得三点端点公式和三点中点公式：，(%)=(-3/(/)+4/寸(演)2h/(可)=!(-/(/)+/(/)2h()=占(/(/)-4/(&)+3/(

8、演)2h利用泰勒(Taylor)展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是°(我)。类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：/(/)=!/(/-2用-旷(%-A)+8/(+A)-/(+2A)12h八砌=!/（/）+4寸&+%-36/（%+2田12A+16抬+3胡_"8+4朗+齐值,出+明7.3.2 样条插值数值微分把离散点按大小排列成"%E,用期关系式构造插值点氏危）力川2了的样条函数S（x）:当“I则/'（为产网，当工E（品/）时，可用S部/'（X）计算导数。7.2数值积分在微积分中用牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式计

9、算连续函数J的定积分：三尸3）一营（。）但是，当被积函数是以点列（»（%）六以2广,那的形式给出时，当被积函数/Q）刑Rfl/必的原函数尸难以得到时，例如J1,则无法用牛顿一莱布尼兹积分公式计算。有时当被积函数的原函数过于复杂时，也不宜套用积分公式计算积分，而应采用数值积分公式计算定积分。在微积分中，定积分是黎曼（Rimann）和的极限，它是分割小区间长度趋于零时的极限，即一的飞d站飞川闻在数值积分公式中，只能用有限项的和近似上面的极限，通常由函数在离散点函数值的线性组合形式给出。记"力w既s粉在本章中，用/（力表示精确积分值，用400表示近似积分值，称为积分节点，4称为积

10、分系数。确定40）中积分系数a的过程就是构造数值积分公式的过程。怎样判断数值积分公式的效果？代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一。定义7.1（代数精度）记见方上以仇），尸。,12，加为积分节点的数值积分公式若满足小小“）工（力=。/",卜盟而“产”o,则称，M具有朋阶代数精度。由此可知当4U）具有选阶代数精度时，对任意的朋阶多项式都有/，。插值型数值积分对给定的被积函数在见封上的点列（4危）j叩,2广,那作拉格朗日插值多项式4，以05脑近似计算J：小灿即£40）石=£*48/Q沁=£口办大）记y母数值积分误差，也就是对插值误差的积分值"

11、力=工4右。刊（咕）1。-项办&（力=口闻，小，、口口一刈欧对一般的函数4sHo，但若/是一一个不高于R次的多项式，由于"+"=。，因此，«阶插值多项式型式的数值积分公式至少有n阶代数精度。例7.4建立他可上节点为瓦=0，!=。5内=2的数值积分公式。a解：由(0-05)(0-2)2x-0)(x-2)(O.5-OX0.5-2)9(钎0)上0纭.5(2-0)(2-0.5)9得以数值积分公式:4。)=；-3/(0)+16/(0.5)+5/牛顿-柯特斯（Newton-Cote'积分把积分区间见分成月等分，记步长为n,取等分点及二峨”QL作为数值积分节点，

12、构造拉格朗日插值多项式4W,取由此得到的数值积分称为牛顿柯特斯积分。下面可以看到，牛顿-柯特斯积分系数和积分节点以及积分区间无直接关系，系数固定而易于计算。梯形积分以5加）和0J。）为插值节点构造线性函数L,有工了（力小左（£0）以那么，aodx=-(b-a)=(b-a)ccCD=1卢）=1提取公因子0一公后，得到牛顿柯特斯积分的组合系数："2,12,它们已与积分区间没有任何关系了。jy人冷”/十枷ha丁丁）=Y【/g）Ti记2（7.6）7.2)。称7（/）为梯形积分公式。它的几何意义是用梯形面积近似代替积分值（图y图7.2梯形积分怎样确定梯形积分公式的代数精度？我们可以取

13、/=兀月验证取时,有1（力=（dx=b-q7U卜C/+/尸=Q+D7-。乙I乙即：一八取J二工时，有4力=（蕨=-TS="（加）+/©）=好S+句="22z取/二d时,有3A3-h-a.15=r/以=*亏c/+/=7v)窗3乙得梯形求积公式具有一阶代数精度。梯形积分公式的误差：>2)=3)+孕(玄"气仆由得因为。-幼。一留在4句上不变号，由积分中值定理得到梯形求积公式的截断误差:(7.7)辛普森(Simpson)积分对区间作二等分，记%二。,为=(。+3/2,跖二。以(&J),(5+"2J(a+8)/2)和山/。为插值节点构造二次

14、插值函数4(工)，那么，有£4右二J：/(%)乜/+尔疝/)办，=源_g-g+8)/2)(工-8)-Iaxk(a-(a+占)/2)(1-J)=：(占-浦三g-g理64='4心=-(b-4)=(b鼻)力h6的=自办=；Q“)=(Aa)cf)C俨=15=fd?）计算得到积分组合系数：°6,16,p*)dx4G7力a+b(7.8)S（f）称为辛普森或抛物线积分公式。它的几何意义是用过三点的抛物线面积近似代替积分的曲边面积（图7.3）。代入到"J）和Mf）中，可以得到分别将/=1,K,/d初=平口）+4/得卜&）=/"）表明辛普森公式对于次数不超

15、过三次的多项式准确成立，*（/）具有三阶代数精度。因此可设一个三次多项式满足条件:驹=/（或盼用）计算得到误差为：.字（号卜W于是有&"S-s=(/。-哨)+昭卜昭)"a=s=?%+4舄产+晌ii故辛普森求积公式的截断误差：鸟(力=/(7)-g)=fl_G4!/，（盯）+5V得先工-否2880严,或<rj<b(7.9)牛顿-柯特斯积分系数口等分区间见句，取等分点为积分节点,J；=a+两=0,卜'禽，其中以区危）广0工2'酒为插值节点构造插值函数4（1）。dx、/”)(7产ni!(«-i)I+1）atT）（E一阿诚其中出二，虱力小

16、=5-/）卡一司）西44）*%）也L（公一片）（石-切（石-西-1）（公一天辿）（石一/）令x=a+廊通=口+防，代入上式得hdtA£(i-1),(i-j+1)(/-L1)(£-用).J7产这里称.；一',(7.10),(/-s+1)口-j_0(t-fi)dt为牛顿-柯特斯系数可见在取等距节点时，积分系数ci与积分节点和积分区间无直接关系，只与插值的节点总数有关，而在例7.3中的积分系数是待定系数，这就简化了数值积分公式，而不必对每一组插值节点xi都要计算一组相应的积分系数ai。在公式（7.10）中取力=1,可算出梯形积分系数；取火=2,可算出辛普森积分系数。在表7

17、.1中列出力从1到6的牛顿-柯特斯系数。从表中可以看出牛顿-柯特斯系数具有对称性。田，二丁吧1222646163S3Si夕3S479016452E164579G5192SS2596251442514425981928B641S40935g2203410592S093541S407.2.3求积公式的收敛性与稳定性定义7.2lim若,则称求积公式'""却也，是收敛的。一一单韩任3一龙）T0一，一八，一一一定义中的为7缶包含了。右内闺J,通常都要求计算积分的求积公式是收敛的。稳定性是研究计算公式空饵）有误差为时,入的误差是否增长，现设/常】，误差记为&T/（%）Y

18、l"QLr）。定义7.3对任给S）0，只要&=|/-彳B茹=01/）,就有匕"）融则称求积公式是稳定的O4（力=蒋/国）Z-0力=£厘Jnrn1、定理7.1若求积公式1的系数47贝-UJ，则求积公式是稳定的。证明由于四。,aT/2K鼠】=。工M,故有I4S，忖力%(/-初，=S(b-4)14)于是对VQ°,弘"只要4T式砧-力«8就有I4SYM0F)。故求积公式是稳定的。7.3复化数值积分由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。因此，实际计

19、算中常用低阶复化梯形等积分公式。复化梯形积分把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间%,，讣上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。复化梯形公式用若干个小梯形面积逼近积分k比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所不。这种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。这也正是计算定积分最朴素的算法。八幻图7.4复化梯形公式积分视图复化梯形积分计算公式_b-a对备力作等距分割，有低,为="次"QL/，于是火力=）灿冬:在4，%上,«-1(L门（如触）+/（孀）力哈则有1"-1I1#TI?=8+-Z/w-记改等分

20、的复化梯形公式为口力或7,有1”111丁乜。）=&打+£加+谪）+/d上（7.11）,根据均值定理，当fECa,b时，存在附加有力©W©X.La(7.由此看到复化梯形公式的截断误差按照好或者,的速度下降，事实上，可以证明，只要/(x)在(见切上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分对于任给的误差控制小量£0,有就有禺KE,式中卜表示取其最大整数。复化辛普森积分把积分区间分成偶数等分2炳，记n=2明，其中胃+1是节点总数，册是积分子区间的总数。记四，由-a-Q,L渣，在每个区间孙姐）上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式

21、，记为£（/）。复化辛普森积分计算公式而。4v&=?（勺）+v（w+/（巧Q）-察/©）M-12为凡（力=工/勺）+4/（勺G+，（%）i.06工J席林一11=-/+42乂。+1）+2三/）+f（b）31，M7（7.13）,在每个积分区间为复化辛普森积分公式，它是/（X）在【工*均上采用辛普森积分公式叠加而得。下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取竺上提出因子6后，三个节点的系数分别是1,4,1;将4个积分区间的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1,奇数点的系数是4,偶数点的系数是2。工口工1吃%工7q1411411411

22、41142424241图7.5复化辛普森积分系数复化辛普森公式的截断误差设fa,b,在马上的误差为z!&oU因此，-驾沙©2ooU=土之2880城；,(b-180/M力=-，咐1句即180K（7.14）1与复化梯形公式类似，误差的截断误差按照44或者n的速度下降。可以证明，只要了（1）在（口出）上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化辛普森公式收敛到积分A/）=门否Ja。max闻力I4对任给的误差控制小量E0,只要就有区KE。(/)=国康例7.5求d，计算中要求有5位有效数字。用复化梯形和复化辛普森求积公式的分点应取多少？解：/=/由复化梯形误差公式得到：ucn一力区富思12

23、Hl2n2计算出n=67.3,复化梯形公式至少要在1°11.00等分n=68。由复化辛普森误差公式，有IS*”邛券28Go加213、m=+1=2在复化辛普森公式中取L2或存二4。7.3.3复化积分的自动控制误差算法复化积分的误差公式表明，截断误差随分点出的增大而减小，对于给定的误差量E,用估计函数导数的界的方法可计算出册。用误差公式计算满足精度的分点数，像是在做一道计算导数上界的微积分习题(如例函数的各阶导数界，也就无法确定分点数7.5所示)。但是在实际运算中，一般难以估计出n。在计算中常用误差的事后估计方法，即用然Ycnl估计误差工I。T2n(f)的计算公式对定积分P",

24、取分点制二1,计算得京力=?C/+（劭取分点n=2,计算得b-a_ab这里，的2。可以看到，力的值是工与新增分点电）的组合。取分点n=4,计算得ba邛力二丁广(/61)+/(金)这里,工1=；S+），均=（+与乙乙同理,计算ZU）时只要在工U）的基础上计算新增分点"危）的值再做组合,如图7.6所示。一般地，每次总对前一次的小区间分半，分点加密一倍，并可充分利用老分点上的函数值，每次只需计算新增分点的和。h_b-a对，上力等分，评邦，则有f1%1X记【4,如】上的中点为则19«zi11一吟/，加）立/（初）书1上i-1二2jiji晅11*MH/J入口（7.15）"力

25、=:（口力+即力）鼻（力噢£义）其中仁*。加4+机£/（"-叫）或一类似地，可得积分节点为n,2为的辛普森求积公式的关系式:(7.16)&K/)=：EC/)T(4%式力-%)262-0其中:由误差公式：1（力Y（力与电力"©1Cj人力一与C/）二一黑g（1M-112»-1分别为围及2片个点上的均值,可视尸为广,于是由©二煤八种弧"”/(力-W)W-以/)上式表明Uf）的误差大约是误差的4倍。一4力-4（力（力Y）或一(7.17)由此得到启发，对任给的误差控制量e>o,要in/）-4"）K&#

26、163;,只需用”）-ZSK33即可，而用禺”）F（刘作为控制手段简单直接，序列工,在计算机上也不难实现。复化积分的算法描述从数值积分的误差公式可以看到，截断误差随分点力的增长而减少，控制计算的精度也就是确定分点数为。在计算中不用数值积分的误差公式确定分点数并的理论模式，而用尺FK%作为控制，通过增加分点自动满足精度的方法称为数值积分公式的自动积分法。即在计算中构造序列1%小，”,直到I4航一7.6节。计算，由分点数自动控制积分值的误差，并取/吃。卜面描述复化数值积分公式的自动控制误差算法，详细程序和算例请看本章.输入：误差控制精度e=eps;初始分点值H二断。.计算力分点的复化梯形积分4,7

27、2乜T1=T2+100/迭代计算中T1和T2分别表示工和4a.while|T1-T2|>eT1=T2H=Hn/_直卬加点八）T2=（T1+H）/2H=h/2,n=2n将区间一分为二endwhile.输出积分值T2。在自动控制误差算法中初始分点值不宜过小，以防假收敛。.3.4龙贝格（Romberg）积分z；国（力FS）f）、由前面得到的关系式（7.17）,可以将3作为与八J）的修正值补充到,141°沈提高到°优5力+4”)T)=V4=用其结果是将梯形求积公式组合成辛普森求积公式，截断误差由是计算方法这种手段称为外推算法。外推算法在不增加计算量的前题下提高了误差的精度,中

28、一种常用手法。不妨对况凡再做一次组合。由2880(2(b-a)-UJ4（力-萼*。-力戒得到1（力-号式力（力）4力理£$鼠力-5gC/)=Q(/)复化辛普森公式组成复化柯特斯公式，其截断误差是。（炉）。同理对柯特斯公式进行组合:得到具有7次代数精度和截断误差是。优）的龙贝格公式:还可以继续对凡做上去。为了便于在计算机上实现龙贝格算法，将统一用表示，列标j=1,2,3,分别表示梯形、辛普森、柯特斯积分，行标表示分点数后产或步长乜。龙贝格计算公式:&广=23对每一个上J从2做到k,一直做到I%,“一I小于给定控制精度停止计算。龙贝格算法龙贝格算法按表7.2元素的行序进行运算，上

29、一行和本行的元素。对上面的算法进一步优化，对每44卜&和"在计算中每个元素只用到令；在每计算一行元素后，要将k行可将计算定义在两行元素之间,上。表7.2龙贝格算法计算元素顺序表&%之1%.%1.输入区间端点aJ,精度控制值0,循环次数M,定义函数，取n=lh=b-a.+彻2for二=2to二（&虫+%£/0+-叽）/2/%=/"forj=2tok%广&皿+（%”）/（仍7）0用厂&退出循环）4.输出7.4重积分计算在微积分中计算二重积分是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也是计算累次数值积分的过程。为了简化问题，我

30、们仅讨论矩形域上的二重积分。有很多非矩形域上的二重积分可作变换将其转换到矩形域上。（7.20）其中：a,b,r,d是常数，（兀J）在。上连续。像在微积分中一样，将二重积分化为累次积分:J：j/H，y）dydx-口。（斓（7.21）重积分的复化梯形公式对区间见b和r,矶分别选取正整数/口n,在X轴和y轴上分别有步用复经梯形公式计算，计算中将X当作常数，有17w/（麓加）十/（"招）(7.22)I/上>1再将了当作常数，在I方向上计算式（7.23）中每一项的积分，有AA11前T-f/（五见冰与W/（%，儿）+”（/，尤）+»（厘）2m乙!.i$h（11M-i1f八曷居）血

31、）“（加片）+尸（/，居）+力（而乂）2h3uJ（2（/X）心=11H-l-/)+?(%*)+£/?)3Ni-lii3rjT7/(%j。+9(/M+力(力)/j-ij.i/彳（/&，%）+/（1w+/乂）+$g，六）'L+j-1+/-I+ZJ*1土±IJSM+EE/（布乃”般££%了（小刀）=丁丁积分区域的4个角点的系数是1/4,4个边界的系数是1/2,内部节点的系数是1。误差:(d-c)(b-d)12必M（"墨）+止,dx97铲回（词和（词在积分区间内。例子7.6用复化梯形公式计算二重积分122工卜心+9粒，取心hO.25。解

32、：J（XJ）如表7.3所示:表7.3/（XJ）数值表X1.001.251501.75200QW0.841471。9需呢50.9974950.98398609032970250,373575。,9668270.9993660.9709320,鸵153口加0.9密兆5口,997钻口北39360.90929701,7780730.750.9993660.970如0.3®1530.737319034TM51.000.9092970.77S073059S4720.331661014112打的数值如表7.4所示:表7.4Jj'数值表X口123401/41/21/2IQU411/21111

33、/221/21111/231/2111in41/41/21/21/21/4f；£in(*'+y)力dr=0,25x0,25fl-(0.841471+0.909297+0.909297+0,14112)+j(0.948985+0.997495+0.983936)(0,778073+0.598472+0.381661)+；(0.873575+0.948985+0999966)+(0.88153+0778073+0.547265)+(0.966827+0.999966+0.970932+0,997495+0.983986+0.909297+0,970932+0.38153+0.73

34、7319)=0.873601f1f2stn(zJ+y)dydxmJl的准确值是0.886176o二重复化辛普森求积公式对区间璃耳和k分别册等分和n等分，在x轴和y轴上分别有步长m,n均为偶数类似于二重复化梯形公式推导，得£办加=穹（44）记,，.心-，=回,5,=(14,2j4,2,4)%5EV八0_1)/一1)E(J)=180/名（心公+好咨（万次ay（词和丽）在积分区间内。按例7.6的化分区间，%的值如表7.5所示:表7.5pr123401424114168164228482341681644142417.5i高斯（Gauss）型积分公式介绍对插值型积分公式在牛顿-柯特斯积分公式

35、中要求节点是等距的，其优点是计算积分系数的公式规则相同，缺点是制约了求积公式的代数精度。可以证明：当节点个数1H为偶数时，求积公式具有丹-1阶的代数精度；当节点个数月为奇数时，求积公式具有月阶的代数精度。如果我们不预先指定求积节点4的位置，4和权系数q都作为待定的常数，能否适当地确定它们，以提高积分公式的代数精度？回答是肯定的。2R个待定常参数，需要2用个方程来确定，取一个函数组：。，及，户,这一组函数构成了2片-1次多项式的基，任一小于等于2依-1次的多项式，都可以用这组函数的线性组合来表示。如果某一积分公式，对这组函数都能精确积分，则此积分公式就有2w-1次代数精度。L工f/右*cj（）十

36、"/（町）例7.7计算求积系数口也2和求积节点十，使得-1八*至少具有3阶代数精度。解：按照求积公式的代数精度定义，分别令=,得方程组：白T+勺1=|JHx=24画+匚？电=xdx=0渴F4=,产虬=|1c1入；+/"齐"o解方程组得：求积公式:，=/（-057735）+/（0,57735）按例7.7的方式，构造更高阶的代数精度的求积公式，生成求积系数和求积节点的方程组并无困难，而求解该方程组则无一定的章法可循。一般地，通过计算正交多项式的零点作为求积节点。当取积分节点为正交多项式的零点时，则节点个数是月的求积公式具有2以-1阶的代数精度。并称积分节点为正交多项式

37、的零点的数值积分公式为高斯型积分公式。为了一般性，考虑积分1=,加（工）（工）右其中网（用2。）称为权函数。当取=1时，即是普通的积分。对于不同的权函数协（1）选定的节点也不相同。如何构造高斯型积分公式呢？对给定的见司及权函数见X）,由施密特（Schmidt）正交化过程作出正交多项式月涓田（X）；解出正交多项式£（工）的/个零点MMJ1耳，这个力个零点就是积分节点；以这些节点构造插值多项式，计算积分系数i=1,2,/其中K）是拉格朗日插值基函数。高斯型求积公式为ac/）=S4i-l高斯型积分公式的优点是它的代数精度高，特别是对无穷区间或瑕积分更有效，但计算正交多项式的零点即积分节点有

38、一定的工作量，好在数值学家们已算出一些特定的函数的积分节点和积分系数，在计算中我们可以查表直接得到这些数值。本章并不构造各种高斯型积分公式，有关的详细内容请参考有关的教材。卜面给出=-1,1上，取权函数顾）=1的高斯型积分。取1,1上权函数的=1的正交多项式为勒让德（Legendre）多项式:1炉衿广"7力，在LU2nax高斯-勒让德n=2,4,5相应的积分节点和积分系数表如下:用42T飞=-0.5773503,勺=0.57735031.0000000,1.00000004工I为=-0.8611363,1=-0.3399810=0.3399810,=0.86113630.347854

39、8,0.65214520.6521452,0.34785485x1=x5=0.9061798-x2=x4=0.538469S=0.00.2369269,0.23692690.4786287,0.47862870.5688889要计算一般区间川上的积分必，只需作变量代换122则有可用高斯积分求积，即b-ab-a&U片7Q（g）=丁£仁（公）例7.8应用两点高斯-勒让德积分公式计算解:I=(0.5773503)2cos(-0.5773503)+(0.5773503)2cos(0.5773503)=0.558608例7.9应用两点高斯-勒让德积分公式计算41+小。解：11令22,得

40、到积分2。+/8)=0.786885例7.10证明不存在拆，工式上=12使求积公式的代数精度超过2片-1次。证明：只要能找到一个2程次多项式，使求积公式两边不相等即可。用反证法，假定存在求积系数和节点取及演12”）使求积公式对任何2四次多项式/精确成立。现取/=或,口（了皿代入求积公式左端得工靖（力公o而公式右端£纯了=W做”;。i-1,故右端与左端不相等，与假设矛盾，说明不存在2耳次代数精度的求积公式，故高斯型求积公式是具有最高代数精度的求积公式。7.6程序示例1、=h/+访)+/9)程序7.1复化梯形公式12u2J的自动控制误差算法。算法描述输入甑b,a的值，定义/；n=m,k=(b-a)h.fi胆1T2=S)+>>(1+冽+力i2z2).T1=T2+100while