用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题参考范本

1、泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式pn( x), 去逼近一个已知的函数fx ，而且这种逼近有很好的性质：pn ( x) 与 fx 在 x 点具有相同的直到阶n 的导数 1 3. 所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用. 运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.

2、 本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方 法.泰勒公式知识：设函数fx 在点x0 处的某邻域内具有n1阶导数，则对该邻域内'异于 x0 的任意点x ，在 x0 与 x 之间至少存在一点，使得：fx =fx0+ fx0(x - x0) +f''x0 2!(x - x0)2 +fx0nnn!(x - x0)n + Rx，其中 Rnxf ( n( n1)( x1)!nx0)1 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若 x00，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，nnn即 fx =f0 + f '0 x +f''02!x2

3、 + f0 n!x + 0( x ) .利用泰勒公式证明不等式：若函数f (x)在含有x0 的某区间有定义, 并且有直到 (n1) 阶的各阶导数, 又在点x0 处有 n 阶的导数f ( n ) ( x) , 则有公式f ( x)f ( x0 )f ( x0 ) (x 1!x0 )f( x0 ) ( x 2!00x ) 2f ( n) ( x0n!) ( xx )( n)0Rn (x)0在上述公式中若Rn ( x)0( 或 Rn ( x)0 ), 则可得f ( x)f ( x0 )f ( x0 ) ( x 1!x0 )f(x0 ) (x 2!x ) 2f ( n ) ( x0n!) ( xx )

4、( n )或 f ( x)f ( x0 )f ( x0 ) ( x 1!x0 )f( x0 ) ( x 2!00x ) 2f ( n ) ( x00n!) ( xx ) ( n)31、 证明 :x2ln(1x)x2x,(1 3x1).证明设 f ( x)ln(1x)（1x1)x 2x3则 f ( x) 在 x0处有带有拉格朗日x 4余项三阶泰勒公式ln(1x)x234(1) 4( 11)423xxx404(1)ln(1x)x23由以上证明可知, 用泰勒公式证明不等式, 首先构造函数, 选取适当的点x0 在 x0处展开 , 然后判断余项Rn ( x) 的正负 , 从而证明不等式.对于欲证不等式中

5、含有初等函数、三角函数、 超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在x00 时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.2、 证明不等式：x1 x sin x .362、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数， 两边无明显的大小关系。这时我们可用sin x 在的大小关系。证明x00 的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者1312f (x)sin xxx,6f (0)0 ,f '(x)cos x1x,f2'(0)0 ,f ''(x)sinxx ,f ''(0)0 ,f &#

6、39;''(x)cos x1 ,f'''()cos1当n3 时，f ( x) 的泰勒展式为：f (x)0001 (1cos3!x)x3o( x3)f ( x)11 (1cos63x)x3o( x3 ) 0 (x 0,x ,0 1) 所以 x 0, ，有xx sin x .6在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.xx23、 证明不等式：11x ，（ x 0） .28对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号

7、，但x 的次数却提高了 2 次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.证明设f ( x)1x ，则f (0)1 ,f '( x)1 (121x) 2 ,f '(0)1 ,2f ''(x)1 (143x) 2 ,f ''(0)1 ,f4'''(x)3 (185x) 2-x代入 x0 =0 的二阶泰勒公式，有1x =1+2x+ 1 (128165x)3 x3(01)x 0,1 (1165x) 33x 0所以xx21281x（x 0）.在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三

8、角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在x0 =0 时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.微分 ( Lagrange ) 中值定理 :若f ( x) 满足以下条件:(1)f ( x) 在闭区间a,b 内连续(2)f ( x)在开区间(a,b) 上可导则(a,b)f ()f (b)bf ( a) a4 、 若 0yx, p1则py p1 ( xy)xpy ppy p1 ( xy)分 析因 为 0yx, 则 原 不 等 式 等 价 于py p 1x py pxypx p 1( p1) . 令f ( x)t p , 则我们容易联想到Lag

9、range 中值定理f ' ()( xy)f ( x)xf ( y) .y证明设f (t)t p , 显然f (t )在 y, x 满足 Lagrange 中值定理的条件则( y, x)f ()f ( x)xf ( y) , 即 p yp 1 xyppxy( y, x)yx,py p 1pp 1px p 1py p1 ( xy)x py ppy p1 ( xy)5、已知函数f ( x)ln(1xx)，1xb(1)求f( x)的极小值；（2）若 a, b0, 求证：ln aln b1a5、(1)函数 f( x)的定义域为（1，), f( x)x(1x) 2易得当 x0时，函数f ( x)

10、取得极小值f (0)0.(2)由（ 1）知，当 x1时，ln(1x)x, 可得1xln xx1 ( x0) x即ln x11 ( x x0) , 因为a,b0, ln aln bln a b所以 ln a1 bb。故得证（也可用 Lagrange 中值定理来证）a6、已知函数f ( x)ln x, (1)求函数g( x)f (x1)x的最大值；2 a(ba)（2）当0ab时，求证：f (b)f ( a)a 2b 2解： g(x)f (x1)xln( x1)x ( x(1,)g ( x)11x1 x1x当1x0, g(x)0, 当x0时, g( x)0故当 x0时， g( x)取得最大值，且最大

11、值为0.（2） 由（ 1）知 ln( x1)x( xaaab1) , 得 ln xax1( x0),ln x1x( x0)令x, 得ln1bbbbba2 a( ba)(ba )( a2b 2 )2ab(ba)(ba)( ab)2ba2b 2b(a 2b 2 )b(a 2b 2 )0所以 ba b2a(b a 2a) .故f ( b) b 2f ( a)2a(ba)a 2b 2评注：本题得到不等式ln( 1x)x( x1) 与不等式xx1ln( x1)( x1)构成经典不等式，即xln( x1) x1x( x1) .7、已知g(x)x lnx, 设0ab,求证：0g(a)g(b)2 g( ab

12、) 2(ba) ln 2解析：g( a)g(b)2g( ab ) 2a ln ab ln b2 ab ln( 2ab ) 2a ln2a abb ln2b ab由经典不等式ln(1x)x( x1且x0),及 0abab, 得2a0, 1a b0 2b因此 ln2aabln ab 2aln(1b a ) 2aba , 2aln2b ab故 a ln2aln ab 2bb ln2bln(1ab) 2ba (ba )b a , 2ab (ab )abba0a又2ababa b , a ln2ab ln2a2ba ln ab2bb ln2b22(ba) ln2bb a ln 2ab2babab2bab

13、ab综上所述，得0g(a)g( b)2 g( ab) 2(ba) ln 28、已知f (x)ln xx1.(1)求f( x)的最大值 .ln 2 2ln 32ln n2(n1)( 2n1)*2222 求证：23n2(n1)(n2, nN)(1) 略（ 2）由（1）知 ln xx10(x0) ln x11 (x0)ln 2 2所以22ln 3233ln n2n2，xx1111112232n2(n1)( 1122321 )(n1)(11n 223341)n(n1)(n1)( 11)(n1)( 2n1) (n2, nN * )2n112(n1)111*9、求证： (12 )(1242 )(182 )

14、(122n )e(nN) 要证明原不等式，就要证明 ln( 11 )(11 )2242(11 )12 2n即 ln(11 )ln(11 )2242ln(1122n )1构造函数f ( x)ln( 1x2 )x, x0,1 ,易得 f(x)递减，故f ( x)f (0)则有 ln(1x2 )x 。故有ln( 11 )22ln(11 )42ln(11111122n )2482 nn1 (11 )。221,得证11210、f ( x)x 2ln( x1) .(1) 当x0时，求证：f ( x)x3 ;(2) 当nnN *时，求证：111f ()133k2315n3412n(n1)k 1解： (1)令h( x)f ( x)x 3x2ln( x1)x3 , 则h( x)3x( x1)32( x1)易得 h( x)在