小学奥数5-2-3数的整除之四大判断法综合运用(三).专项练习及答案解析

1、5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用12胡磔 教学目标1 . 了解整除的性质；2 .运用整除的性质解题;3 .整除性质的综合运用且M归 知识点拨一、常见数字的整除判定方法1 . 一个数的末位能被 2或5整除，这个数就能被 2或5整除； 一个数的末两位能被 4或25整除，这个数就能被 4或25整除； 一个数的末三位能被 8或125整除，这个数就能被 8或125整除；2 . 一个位数数字和能被 3整除，这个数就能被 3整除；一个数各位数数字和能被 9整除，这个数就能被 9整除；3 .如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4 .如果一个整数

2、的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5 .如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位 则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是 一位数）的和是99的倍数，这个数一定是 99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立 .）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被 c整除.即如果c I a, c I b,那么 c I （a± b）.性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a, c I b,刃

3、B么 c I a.用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么 a也能被b或c整除.即如果bc I a, 那么 b I a, c I a.性质4如果数a能被数b整除，也能被数 c整除，且数b和数c互质，那么a 一定能被 b与c的乘积整除.即如果 b I a, cl a,且（b, c）=1 ,那么bc I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3 , 4）=1 ,那么（3 X 4） I 12.性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a,那么bm| am （m 为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也

4、能被bd整除.如果b Ia ,且 d | c ,那么 bd | ac；国w蚱 例题精讲综合系列【例1】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031.如果甲 数的数字和为10,乙数的数字和为 8,那么甲乙两数之和是 .【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第 2题【解析】根据弃九法可得知，乘积是 31031= 31 7 11 13适当组合可得知两数为31 X 7= 217和 11父13 =143 ,和为 360.【答案】360【例2】有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最/J、值是 .【考点】整除

5、之综合系列【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 7题）【解析】为了 5个数的和最小，那么 12Tx 12义父6与父4。（1）若为1、12、口、口、口， 那么后面的三个数必须是 12的倍数，最小为 24、36、48,和为121; （2）若为 2、6、口、口、口，那么后面的三个数必须是6的倍数，最小为 12、18、24,和为62; （3）若为3、4、口、口、口，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为12、24、36,和为79;综上所述，得到的最小值为62。【答案】62【例3】 语百是个四位数字。数学老师说：“我在这个口中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被 9、1

6、1、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】解答【解析】用1730试除,1730+9=1922, 1730+ 11=1573, 1730+6=2882.所 以依次添上（9-2=）7、（11-3=）8、（6-2=）4 后得到的1737、1738、1734依次能被 9、11、6整除.所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19.【答案】19例4 1a87a2是2008的倍数.a =【考点】整除之综合系列【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 6题【解析】根据能被4除的数的特征一一后两位能被4整除，a=1, 3,

7、5, 7, 9;再根据能被8除的数的特征一一后三位能被8整除，可得a=1, 5, 9。分别代入知a =9 O【答案】9【例5】使得10n -1是63的倍数的最小正整数 n是。【考点】整除之综合系列【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第5题【解析】63=9X7, 10n-1肯定是9的倍数，所以只要考虑 7的倍数就可以了。考虑到111111是7的倍数，106 1 =999999 ,所以最小的n是6.【答案】6【例6】如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空【解析】因为105=3父7M5,所以这个六位数同时满足能

8、被 3、7、5整除的数的特征即可.方法一：利用整除特征末位只能为0或5. 如果末位填入0,那么数字和为1+9+9+2+口 40 =21+口，要求数字和是3 的倍数，所以口可以为 0, 3, 6, 9,验证 200_199=1, 230199=31 , 260199=61, 290 -199 =91 ,有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90. 如果末位填入5,同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征.所以，题中数的末两位只能是90.方法二：采用试除法用 199200 试除，199200-105=18970|15 ,余 15 可以看成不足，10515=9

9、0.所以补上90,即在末两位的方格内填入90即可.【答案】90【例7】六位数20 口口 08能被49整除，口口中的数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】3星 【题型】填空【解析】200008被49除商4081余39,所以00+39能被49整除，商11时，49x11 =539 ,末两位是39,所以口为05。【答案】05例8在六位数11 11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少 ？【考点】整除之综合系列【难度】4星 【题型】填空【解析】采用试除法.设六位数为11ab11,11ab11 =1110000 +ab00+11 =110011 +0E00如 果

10、一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整 除.110011-323 =340川川191 ,余191也可以看成不足 323191 =132.所以当 ab00 =132 +323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数.所以有323n的末位只能是10-2=8,所以n只能是6, 16, 26,验证有n=16时， 132+32316=5300,所以原题的方框中填入5, 3得到的115311满足题意.【答案】115311例9某个七位数1993口口能够同时被 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，那么它的最 后三位数字依次是多少？【考点】整除之综合系列【难度】4星 【

11、题型】填空【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便， 若使得7位数能够同时被2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，只要让七位数是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 最小公倍数的倍数即可。 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 =2520. 用1993000 试除，1993000 + 2520=790 2200 ,余 2200可以看成不足 2520-2200=320 ,所以在末三位的方格内填入 320即可.【答案】320【例10】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除.那么这三个数字的和是多少？【考点】整除之

12、综合系列【难度】4星【题型】解答【解析】7、8、9的最小公倍数是504 ,所得六位数应被 504整除。5 2 4 00 0 5 0 4 1M 0 3,9 所以所得六位数是 524000344=523656 ,或 52 36 5-6 5=0 45 2.3因此三个数字的和是 17或8.【答案】17或8【例11 用数字6, 7, 8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】解答【解析】因为168=8X3X7,所以组成的六位数可以被 8、3、7整除.能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶

13、数.在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768,而又要求是7的倍数，由例8知abcabc形式的数一定是 7、11、13的倍数， 所以768768 一定是7的倍数，口 688的口不管怎么填都得不到7的倍数.至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为 3的倍数，在题中给定 的条件下，不管怎么填数字和都是定值。所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数.【答案】768768【例12】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数.现已知一个十全数能被1 , 2, 3,，18整

14、除，并且它的前四位数是 4876,那么这个十全数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】5星【题型】解答【解析】这个十全数能被10整除，个位数字必为 0;能被4整除，十位数字必为偶数， 末两位只能是20.设这个十全数为4876abcd20 .由于它能被11整除，所以奇 位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即8+6+b+d+0(4+7+a+c+2)=b+d+1(a+c)被 11 整除， 可能是 b+d +1 =a+c+11、b+d+1 = a+c、b+d+1+11 =a+c .由于 a、b、c、d 四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是b+d+1 =a+c + 11 ,即 b

15、 +d = a +c +10 .所以b、d是9和5; a、c是3和1,这个十全数只能是 4876391520, 4876351920, 4876193520, 4876153920 中的一个.由于它能被7、13、17整除，经检验，只有 4876391520符合条件.【答案】4876391520【例13】将数字4, 5, 6, 7, 8, 9各使用一次，组成一个被 667整除的6位数，那么， 这个6位数除以667的结果是多少？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【关键词】2009年，迎春杯，五年级，初赛，第8题【解析】4, 5, 6, 7, 8, 9各用一次后，各位数字之和为 39 ,

16、即这个六位数应该为 3 的倍数，所以这个数应该是 3父667 =2001的倍数.一个首位数字超过 3的六位数 除以2001得到的商应该是三位数.而该三位数的商乘以 2001后所得六位数(即 原六位数)的末三位即为该商， 而前三位是该商的两倍， 所以4, 5, 6, 7, 8, 9这6个数字应该组成两个三位数，其中一个三位数是另一个的2倍，所以两个三位数的首位数字， 大者应至少是小者的两倍，显然的较小的那个三位数的首位只能是4,较大的那个三位数的首位可能是8,也可能是9,而较小的那个三位数的个位只能是8,才能使较大的那个三位数的个位数字能被取到，进一步试验 可得到这个六位数是 956478 ,这

17、个6位数除以667后的得数为1434 .【答案】956478 + 667=1434【例14】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1, 2,，12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整 除，已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【解析】设第一户电话号是x+1,第二户的电话号是x+2,.第12户的电话号是x+12. 根据条件可知*力是1的倍数(1=1, 2,，12),因此x是1, 2,，12的公倍数. 而 1,2#|,12 =2

18、7720 ,所以 x =27720m.又27720m+9是13的倍数，而27720除以13余数为4,所以4m+9是13的倍数，则 m =1 , 14, 27,第9户的电话号码是27720 m+9 ,是一个首位数字小于 6的六位数，所以 m取14合适;因此这一家的电话号码是27720 M14 +9 =388089 .【答案】27720 14 9 =388089【例15】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足 A, AB , ABC , ABCD , ABCDE , ABCDEF 依次能被 2, 3, 5, 7, 11, 13 整除.贝U ABCDEF 的最小值是 ;已知当 AB

19、CDEF取得最大值时 C=0, F=6,那么 ABCDEF的最大值是.【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第14题【解析】求最小值，先看 A,最小偶数为2,然后AB被3整除，B最小为1,然后依次推 出C =0 . D =7 , E =6 , F =9求最大值与上述方法类似。最后求出最大值为 840736【答案】210769; 840736【例16 有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0,并且二位数ab可被2整除，三位数近可被3整除，四位数 而5可被4整除，依此类推，九位数 abcdefghi可被9 整除.请问这个 九位数abcdefg

20、hi是多少？【考点】整除之综合系列【难度】5星【题型】填空【解析】由题可知这个九位数由数字19组成，其中每个数字出现一次，且b、d、f、h都是偶数，a、c、e、g、i是奇数.由于abcde可被5整除，所以e=5 . 由于荻可被3整除，所以a、b、c三个数之和可被 3整除.由于abcdef可被6整除, 所以d、e、f三个数之和可被 3整除.由于疯可被4整除，所以cd可被4整除，而c是奇数，所以d只能为2或6.由5可被8整除知ab被efgh可被4整除，所以 认可被4整除，同上可知h也只能为2或6.所 以有如下两种情况：d =2 , h =6 .此时def =257可被3整除，f只能为8.那么b为4

21、.由于a、b、c = 个数之和可被3整除，而a、c为1、3、7、9中的某两个，所以a、c为1和7.那么g 为3或9,其中满足 fh =丽可被8整除的只有9,所以g为9, i为3.此时abcdefg为 1472589或7412589,但这两个数都不能被 7整除，不符题意；d =6 , h =2.此时def =65f可被3整除，f只能为4.那么b为8.此时fgh = 4g2可 被8整除，所以g为3或7.又a、b、c三个数之和可被3整除，而b为8,所以a、c可 以为（1, 3）、（1 , 9）、（7, 3）或（7, 9）,所以此时 abcdefghi 有 8 种可能情况:189654327; 981

22、654327; 789654321; 987654321; 183654729; 381654729; 189654723; 981654723.经 检验，其中只有381654729满足abcdefg能被7整除,所以所求的abcdefghi是381654729.【答案】381654729【例17】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前 1位数能被2 整除，前2位数能被3整除，前9位数能被10整除.已知最高位数为 8 .这 个十位数是【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分【解析】由前9位数能被10整除，可知第九位数

23、字为0,前四位能被5整除，可知第四位数字为5,前8位数能被9整除，即前八位数字和为9的倍数，而所有数字本身就是9的倍数，所以第十位数字只能是9,前两位数能被3整除，故第二位数字只能是1、4或7,如果第二位数字是 4,则找不到前三位数能被 4整除，故第 二位数字只能是1或7,则第三位数字只能是 2或6,结合前五位能被 6整除知 只能是前五位87654或81654,前七位数字能被 8整除，知第七位数字是2 .由前6位数字能被7整除，经试验唯一可能是816543,故7必在第八位上，故这个数应为8165432709.【答案】8165432709【例18】N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个

24、数字整除.N的最大值是.【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题，10分【解析】N不能含有0,因为不能被0除。N不能同日含有5和偶数，因为此时 N的个位 将是0。如果含有5,则2, 4, 6, 8都不能有，此时位数不会多。如果 N只缺少 5,则含有1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,但是数字和为40,不能被9整除。所以必 须再去掉一位，为了最大，应该保留 9放到最高位，为了使数字和被 9整除，还 需要去掉4。此时由1, 2, 3, 6, 7, 8, 9组成，肯定被9整除，还需要考虑被 7和8整除。前四位最大为9876,剩下三个数字组成的被

25、8整除的三位数为312, 9876312被7除余5;8整除的三位数为8整除的三位数为8整除的三位数为8整除的三位数为216, 9873216被136, 9872136被632, 9871632被312, 9867312被前四位如果取9873,剩下三个数字组成的被 7除余3;前四位如果取9872,剩下三个数字组成的被 7除余1;前四位如果取9871,剩下三个数字组成的被 7除余1;前四位如果取9867,剩下三个数字组成的被 7整除。【答案】9867312【例19】a, b, c, d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍数，

26、那么 abcd是。【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第14题【解析】由于cdab是9的倍数，说明其各位数字之和能被9整除；由于abcd与cdab的各位数字之和相同，所以 abcd也是9的倍数；由于bcda是11的倍数，那么其奇位 数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，也就是 a + c与b+d的差能被11整除，而Obcd的奇位数字之和与偶位数字之和分别为b +d和a +c ,恰好的差能被11整除，恰好与bcda互换了一下，可知abcd的奇位数字之和与偶位数字之和的 差也能被11整除，也就是abcd是11的倍数；又根据题意，abcd是13的倍数,那么ab

27、cd是9, 11, 13的公倍数，也就是 ©,11, 13=1287的倍数，又是四 位数，可能为 1287 , 2574 , 3861 , 5148 , 6435 , 7722 , 9009 ,其中 7722 和 9009出现重复数字，可予排除。由于abcd是7的倍数，说明 而-d是7的倍数， 1287, 2574 , 3861 , 5148, 6435 , 进行检验，发现只有 3861满足这一 点，所以abcd是3861。【答案】3861【例20】利用数字0, 1, 2, 3, 4,，8, 9（每个数字可以重复）构造一个6位数，满 足要求：前k位能被k整除（k =1 ,2,，6）.

28、这样的6位数最小是 最大是.【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第8题，10分【解析】最小的数先填第一位易知为1,第二位易知被2整除，最小为0,第三位结合前三位被3整除，所以为2,第四位同样结合前四位被 4整除为0,同理知第五 位为0,第六位可知前三位已能被 6整除，所以第六位为0,即此数该为102000. 最大的数方法同上，从首位开始填起，然后取前 k位能被k整除的最大数，即可得出 结论，最大为987654 .【答案】最小102000,最大为987654【例21】有15位同学，每位同学都有编号，他们是 1号到15号，1号同学写了一个自 然数，其余各位

29、同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：说的不对的两位同学， 他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你1号写的数是五位数， 请找出这个数.【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【解析】为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为 a .根据2L 15号同学所述结论， 2 15中只有两个连续的自然数不能整除a ,其他的数都能整除a .由于2 7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2L 7中有某个数不能整除 a,那么这个数 的2倍也不能整除a ,然而2L 7中的这个数与它的 2倍不可能是两个连续的自 然数，所以27中每一个数都是a的约

30、数.由于2与5互质，那么2父5=10也 是a的约数.同理可知，12、14、15也都是a的约数.还剩下的四个数为 8、9、 11、13,只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编 号分另是8和9.1号同学所写的自然数能被 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15这12个数整 除，也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是：22M3M5M7父11父13=60060 .因为60060 是一个五位数，而这 12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是 60060.【答案】600

31、60【例 22】 已知：23! =258D20C67388849766AB000 .贝U DCB 黑 A = ?【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题，10分【解析】由于123中有4个5的倍数，所以23!的末尾有4个0,所以B=0 .由于 23!=2M5M10M15M8M20MM =10000父8父3M （ M 为正整数），所以258D20C67388849766 AB000去掉末尾的4个0后得到的数是 8的倍数，那么66 A是8的 倍数，所以A =4.易知258D20C673888497664是9和11的倍数，所以2 +5 +8 +D +2 +0

32、 +C +6 +7 +3+8 +8 +8+4+9+7 +6 +6+4=93 + C + D 是 9 的倍 数；(2 +8 +2 +C +7 +8 +8 +9 +6+4 )(5 + D +0 +6 +3 +8 + 4 +7 +6 )=15 + C D 是 11 的倍数，那么 C+D=6或 15, C_D=7或D_C=4.若C +D =15,由于C +D与C D (或DC)奇偶性相同，所以此时 C D=7,得C=1 , 不合题意.所以 C+D=6, DC=4,得 C=1, D=5,所以 DCBm A = 510m4=2040 .【答案】2040【例23】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3.在 密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除.试问 密码是多少？【考点】整除