全等三角形的综合应用

1、全等三角形的综合应用(学案)一、基础知识回顾1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键2、全

2、等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证 明两条线段或两个角的和、差、倍、分

3、相等是几何证明的基础 知识网络结构图r全等形工能等完全重合的两个图形卜1）定义、能弊冗全重合的两个三角形（2）性质全等三角形的对应边相等,对应角相等皿SSS”定理全等三角形，“SAS”定理（3）判定，“ASA妙定理“AAS"定理全等三角形V角的平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等（2）判定工角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对于直角三角形还有“Hl J定理已知三边作三角形已知两边和夹角作三角形尺规作图巳知两角和夹边作三角形作一个角等于已知角已知直角边和斜边作直角三角形作角的平分线（包括平角）二、本章学习重难点【本章重点】1 .全等三角形的性质及各种判定三角形

4、全等的方法.2 .角平分线的性质及判定.3 .理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.【本章难点】1 .根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA不能判定三角形全等的认识.2 .角平分线的性质和判定的正确运用.3 .用综合法证明的格式.三、学法指导1 .注意在探究中掌握结论.2 .三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论.3 .注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据.4 .注重联系实际.5 .注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧.四、知识点讲与练专题1三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形

5、的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS, ASA, AAS, SSS,HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题.例1如图11-113所示，BD, CE分别是 ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的 延线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ = AB.(1)求证 AP = AQ;i(2)求证 APXAQ.我二丁”m j - ns例2、如图11-115所示，已知四边形纸片 ABCD中，AD / BC,将/ ABC , / DAB分别 对折，如果两条折痕恰好相交于 DC上一点巳点C, D都落在AB边上的F处，你能获得 哪些结论？AII - IIS专题2全等三角形的性质及判

6、定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大.例3、如图11-116所示，太阳光线 AC与A' C'是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆 在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由.图 U - 116专题3角平分线的性质及判定的应用【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系.例4、如图11-118所示，在 ABC中，AD平分/ BAC, DGLBC且平分 BC,交BCABD于G, DELAB于 E, DF，AC交AC的延长线于 F.(1)说明BE= C

7、F的理由；(2)如果 AB=a, AC = b,求 AE. BE 的长.专题4、全等与角度例5、如图，在 MBC中，ZBAC=60°, AD是ZBAC的平分线，且AC=AB + BD ,求/ABC 的度数.例6、在等腰ZABC中，AB = AC,顶角ZA=20，在边AB上取点D，使AD = BC，求/BDC .AB C专题5、综合分析例7、数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC的中点./AEF =90 ,且EF交正方形外角/DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC

8、,易证 AME ECF，所以 AE = EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论" AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不 变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果 不正确，请说明理由.五、当堂测试（40分钟）一、选择题（共8小题）1、已知。是锐角 ABC三边中垂线的

9、交点，/A、90°B、 95°C、 100°A=50。，则/ BOC的度数是（D、 105°2、下列判断中错误的是（A、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等C、有三边对应相等的两个三角形全等D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3、如图， ABC中，AD平分/ BAC, DEXAB , DF ± AC , E、F为垂足，则下列四个结 论，其中正确的个数是（）/ DEF=/DFE;AE=AF ;AD垂直平分 EF;EF垂直平分 ADA、1个 B、2个 C、3个 D、4个3题图5题图6

10、题图7题图4、（2010吐明）如图，在 RtAABC中，/ C=90°, Z B=30° . AB的垂直平分线 DE交AB于点D,交BC于点巳则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DE D、/ CAE= / B5、（2007?乎伦贝尔）如图，在 RtAAEB和RtAAFC中，BE与AC相交于点 M ,与CF相 交于点D, AB与CF相交于 N, / E=/F=90° , / EAC= / FAB, AE=AF .给出下列结论： / B= / C; CD=DN ; BE=CF ; ACN ABM .其中正确的结论是（A、6、（2009?临沂）

11、如图, 中不一定成立的是（A、 PA=PB7、（2011?衢州）如图,）B、C、D、OP平分/AOB, PAXOA , PBXOB,垂足分别为 A, B.下列结论 ）B、PO 平分/ APBC、 OA=OBD、AB垂直平分OPOP平分/若PA=2,则PQ的最小值为（MON , PAX ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点, ）A、1B、2C、3 D、4二、填空题（共6小题）的高BD、CE相交于点0.请你添加一对相等的线段或一8、（2011砒丹江）如图， ABC对相等的角的条件，使 BD=CE .你所添加的条件是9、（2005以津）如图，OA=OB , OC=OD, Z O=60°

12、, / C=25°,贝U/ BED 等于度.10、（2005?宁德）如图，已知： AC=AB , AE=AD ,请写出一个与点D有关的正确结论：.（例如：/ ADO+ ZODB=180° , DB=EC等，除此之外再填一个）.11、（2004?四川）如图，已知点 C是/ AOB平分线上的点，点 P、P'分别在 OA、OB上， 如果要得到OP=OP',需要添加以下条件中的某一个即可： /OCP=/OCP'/OPC二 /OP' C;PC=P' C;PP' ± OC.请你写出所有可能的结果的序号： 12、（2003?广州）

13、如图，/ E=/F=90°, / B=/C, AE=AF ,给出下列结论：（1） / 1 = /2;（2） BE=CF; （3） ACNABM ; （4） CD=DN ,其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）.13、（2011?岳阳）如图，AD/BC, / ABC的角平分线 BP与/ BAD的角平分线 AP相交于 点P,作PEXAB于点E,若PE=2,则两平行线 AD与BC间的距离为 .三、解答题（共15小题）15、(2011?德州)如图 AB=AC , CDAB 于 D, BEAC 于 E, BE 与 CD 相交于点 O. (1)求证 AD=AE ;（2）连接OA, B

14、C,试判断直线 OA, BC的关系并说明理由.9题图13题图14题图14、（2011?1津区）在 ABC 中，AB=CB , / ABC=90° , F 为 AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，且 AE=CF .(1)求证：RtAABERtACBF;(2)若/ CAE=30 ,求/ ACF 的度数.10题图11题图12题图A16、（2009册阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中/ ACB= /DEB=90° , / A= / D=30° ,点E落在AB上,DE所在直线交 AC所在直线于点 F.（1）求证：AF+EF=DE ;（2）若将图中

15、的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角 “，且0°< “V 60°,其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角3,且60° v “V 180°,其它条件不变，如图.你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.六、课后作业1、（2008?可北）如图1 , ABC的边BC在直线l 上，AC LBC,且 AC=BC ; EFP 的边FP也在直线l,边EF与边 AC重合，且 EF=FP.(1)在图1中

16、，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将 EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ.猜想 并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将 EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q,连 接AP, BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 给出证明；若不成立，请说明理由.图1图2C2、(2006阪阳)如图 ADF 和4BCE 中，/ A= / B, 下三个关系式： AD=BC ;DE=CF ;BE / AF .(1)请用其中两个关系式作为条

17、件，另一个作为结论，号写出命题书写形式，如：如果、，那么)(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由.点D、E、F、C在同一直线上，有如写出所有你认为正确的命题.3、(2005明州)在 ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 AD，MN 于 D, BEX MN 于 E.(1)当直线 MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCA CEB;DE=AD+BE ;（2）当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证： DE=AD - BE;（3）当直线 MN绕点C旋转到图3的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系? 请写出这个等量关系，并加以证明.14.如图， ABC中，D是BC的中点，DELDF,试判断 BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论.A（第19题）5、已知 RtABC 中，AC = BC, /C=90 口，D 为 AB 边的中点，/EDF=90°, /EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于 E、F.1当/EDF绕D点旋转到DE_LAC于E时（如图