两点分布、超几何分布、正态分布

1、两点分布、超几何分布、正态分布X01P1 - pp重温教材扫清盲点X服从两点分布.基础知识导航1 .两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1,则称离散型随机变量E(X) = p, D(X)=p(1 p).2 .超几何分布般地，设有N件产品，其中有M(MWN)件次品.从中任取n(n&N)件产品，用X表示取出 的n件产品中次品的件数，那么小 n k CmCn MP(X=k户CN (k=0,1,2,，m).X01mP.0 . n-0CmCn-M cN-1 xn-1CmCn-m cN八m八n一mCmCn-m cN其中 m=minM, n,且 n&N, M<N,

2、n, M, NCN*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布.3 .正态分布 1(1)正态曲线：函数狐(x) = k - , xC (一0°, +OO),其中头数以和(T为参数(o> 0, M2 TtCT代R).我们称函数 册(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x=解寸称；1曲线在x= N处达到峰值、疔；曲线与x轴之间的面积为1;当b一定时，曲线的位置由N确定，曲线随着N的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当N一定时，曲线的形状由 b确定，越小，曲线越“瘦高”，表示

3、总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.（3）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a, b（a<b）,随机变量X满足P（a<X&b）=b册x）dx,则称随机变量X 'a服从正态分布，记作XN（山，）.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P（四0<X< 叶 3=0.682_6;P（四2 o< X< 叶 23 = 0.954_4;P（四3 o< X< 什 3$ = 0.997_4.4.判断下列结论的正误（正确的打错误的打“X”）（1）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.服从两点分布.（X）（2

4、）某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数 X服从两点分布.（X）从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.（，）（4）正态分布中的参数 小和完全确定了正态分布，参数 以是正态分布的期望，是正态分布 的标准差.（，）（5）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.（，）（6）正态曲线关于直线x=以对称，从而在关于x=以对称的区间上概率相等.（，）2（7）对于正态分布 XN（ 6），总有P（x<厂a） = P（x>叶a）. （V）（8）XN（月（2）,发生在（L3仿 叶3 3,之外的概率为

5、0,称之不可能事件.（X）（9）正态总体（1,9）在区间（0,1）和（一1,0）上的概率相等.（X）（10）随机变量分布列为X12Pp2p是两点分布.（X）核心考点深化突破考点典例领航考点一 两点分布、超几何分布命题点1 .求两点分布的分布列2 .求超几何分布列例1 (1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数, 则P(X= 0)等于()A. 0B.2c.33D.3解析：设X的分布列为即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功，设失败率为p,则成功率为2P.由p +2PX01PP2p=1,则p=1,故应选C.3答案：C2个球，至少得到1个白X的分布列及期望

6、.(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出球的概率是9.9求白球的个数；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 X,求随机变量解：记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A,设袋中白千的个数为x,-C2o x 7 一 .则P(A) = 1 -d = 9，得到x=5.故白球有5个.C5C5 kX服从超几何分布，P(X=k)= 03, k=0,1,2,3.C10于是可得其分布列为X0123P112512_512112x01PP2P型.变式巡航1.若将本例(1)改为强化训练提升者能,求X的成功率.解：p+p2=1, (p>0),p=52 1一.X 的成功率 P

7、(x= 1)= ("5 -1)2 = 3 产.222.将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休” 已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学 习小组从某社区随机抽取了 50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)人数45853年龄45,50)50,55)55,60)60,65)65,70人数67354年龄在25,30), 55,60)的被调查者中赞成人数分别是 3人和2人，现从这两组的被调查者中 各随机选取2人，进行跟踪调查.求从年龄在25,3

8、0)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；若选中的4人中，不赞成的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解：设“年龄在25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A,c23所以P(A户普而设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B,八2 C3c2C1所以 p(b)=5c+CC-2 31- 2X的可能取值为0,1,2,3,2 2,c c3c21所以 p(x=0)=c5cTBP(X=1) =c3c2c2+cic2c1cc25'C2c2+C3c2c2C1P(X = 2) =CC1330'P(X=3) =-2-1-1 C2c2C1 2 2 c

9、5c2115.X0123P121311053015一,_1213122所以 e(x户ox而+”5+2乂30+ 3x-=-考点二正态分布命题点1.利用正态密度曲线性质求概率2.利用正态分布求随机变量例2 (1)(2017山西四校联考)设随机变量XN(3, (2),若P(X>m) = 0.3,则P(X>6m)=解析：因为 P(X>m)=0.3, XN(3,己所以 m>3, P(X<6m) = P(X<3(m3) = P(X> m) = 0.3所以 P(X>6m)=1 P(X<6m) = 0.7.答案：0.7云南省2016年全省高中男生身高统计调

10、查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5,16).现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组157.5,162.5),第2组162.5,167.5),第6组182.5, 187.5,如图是按上述分组方式得到 的频率分布直方图.试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； 求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数； 身高排名(从高到低)在全省130名之内，其身高最低为多少? 参考数据：若 1N(内 自，则P(0(K

11、乒叶3 = 0.682 6, P(四2o< 口 吐 2 = 0.954 4,P(四3o< 口 吐 3 = 0.997 4.解：由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为 + 175X 0.2+180X 0.1+185X0.1= 171.5(cm),160X 0.1 + 165X 0.2+170X 0.3171.5 cm> 170.5 cm,故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值.由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2, 人数和为0.2X50=10,即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.P(170.5 3X 4&l

12、t;170.5+ 3X 4) = 0.997 4,1 0.997 4一. .P(£> 182.5)=2= 0.001 3,又 0.001 3X 100 000= 130.身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名.方法引航在高考中主要考查正态分布的概率计算问题，其解决方法如下：第一步，先弄清正态分布的均值是多少；第二步：若均值为 内则根据正态曲线的对称性可得 P(X>盟=0.5, P(X< 归0.5, P(X<叶 c尸P(X>四c1j(c>0痔结论；第三步，根据这些结论、题目中所给条件及对称性，对目标概率进行转化

13、求解即可.,说明：关于正态总体在某个区间内取值的概率问题，要熟记 P(四(<X<叶丹，P(四2(<X<叶2 o), P(3 KX0叶3 N勺值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x轴之间的面积为1来解题. 跟踪巡航强化训练提升号能1. (2017江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩 己服从正态分布N(100,9)(*0),若七 在(80,120)内的概率为0.8,则士在(0,80)内的概率为()A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2解析：选 B.由题意得，P(80<3100)=P(100< 3120)=0.4, P(0< 3100)=

14、 0.5, . . P(0< <80)=0.1.2.在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布 N(80,52),现已知该班同学中成绩在80 85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.解：依题意，由8085分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求 90分以上 同学的人数.二.成绩服从正态分布 N(80,52), 尸80,户5,广户75,叶卡85.于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.26%.1.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85内的同学占全班同学的2*68.26%= 34.13%设该班有x 名同学，则 xX 34.13%=17,解得 x

15、= 50.又 厂 2 户8010=70, 叶2 户 80+ 10=90,丁成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%.丁成绩在(80,90内的同学占全班同学的47.72%.丁成绩在90分以上的同学占全班同学的 50% 47.72%= 2.28%.即有50 X 2.28%= 1（人），即成绩在 90 分以上的同学仅有 1智能提升返航 特色展示体酸高考人.=易错警示不能正确理解正态曲线的对称性典例已知随机变量 己满足正态分布N（内己,且P（<1） = 2, P（却2） = 0.4,则P（0<<1） =1_错解由 P(02) = 0.4, . P( 32)=10.4=0.6

16、, . . P(0< &1) = 2P( 32) = 0.3.错因P(0<31)是 P(32)的一半.1正解由p(g1)=2得尸1,随机变量 阴艮从正态分布N(1,，)，.曲线关于x= 1对称.= P(<2)=0.6,P(0< 01) = 0.6 0.5= 0.1.答案0.1 警示正态曲线关于直线x=p对称，从而在关于x=以对称的区间上概率相同.P（X<a）=1 P（Xa）, P（X< 厂a） = P（X> 叶a）.高考真题体验10 000个点，则落入阴影部分（曲线C1. （2015高考湖南卷）在如图所示的正方形中随机投掷 为正态分布N（0,1

17、）的密度曲线）的点的个数的估计值为（A. 2 386B.C. 3 413D. 4 772附：若XN（内自，则P(L(<X< 叶 3=0.682 6,P(广 2(<X< 叶 2，= 0.954 4.解析：选 C.由 P(1<X& 1) = 0.682 6,彳4 P(0<X& 1) = 0.341 3,则阴影部分的面积为 0.341 3, 0 341 3.故估计落入阴影部分的点的个数为10 000X 0347= 3 413,故选C.2. (2015高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机 取一件，其长度

18、误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量 己服从正态分布 N" (2),则P(厂o< 什3=68.26%, P(厂2o<仁亚 + 2 4 = 95.44%.)A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18% D. 31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知 P(-3<3) = 0.682 6, P(6<M 6) = 0.954 4,小P( 6< M6P(-3<3)0.954 4- 0.682 6小生故 P(3<6):-42=2= 0.135 9: 13.59%,故选 B.3. (2014高考课标全国卷I )从某企业生产的某

19、种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质 量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数7和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(内弁，其中以近似为样本平均数X ,，近似为样本方差s2.利用该正态分布，求 P(187.8<Z<212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求 E(X).附：150=12.2.若 ZN(p, (2),贝 U P(MZ< 什 3 =

20、0.682 6, P(厂 2KZ< 叶 2 = 0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 T和样本方差s2分别为7 = 170X 0.02+ 180X0.09+ 190X 0.22+200X 0.33 +210X 0.24 + 220X 0.08 + 230X 0.02 =200,s2 = ( 30)2 X 0.02+ ( 20)2 X 0.09+ ( 10)2 X 0.22 + 0 X 0.33 + 102 X 0.24 + 202 X 0.08 + 302X0.02= 150.(2)由(1)知，ZN(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2

21、)=P(20012.2<Z<200+ 12.2)= 0.682 6.由知，一件产品的质量指标伯:位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知XB(100,0.682 6),所以E(X)= 100X 0.682 6= 68.26.4. (2016高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

22、解：(1)由已知，得P(A) = CCC产=3.所以，事件A发生的概率为3.C1033随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0) =C2+C2+C24C10:15,P(X=1) =c3c3+ c1c415, P(X=2)=c3c4-C20-415.所以，随机变量X的分布列为X012P415715415C20随机变量X的数学期望E(X) = 0X* + 1X2 + 2X = 1. 151515课时规范训练A组基础演练1 .设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+ 1)=P(X<c1),则c等于()A. 1B. 2C. 3D. 4 .c+1 + c- 1解析：选B.

23、 v尸2,由正态分布的定义知其图象关于直线x = 2对称，于是2= 2,c= 2.2 .正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(一1,0)上取值的概率分别为 m, n,则()A. m>nB, m<nC, m=nD,不确定解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x=1对称，区间(2,3)与(一1,0)到对称轴距离相等，故 m= n. 3. 一批产品共50件，次品率为4%,从中任取10件，则抽到1件次品的概率是()BC.Dc2c48 A.-TJ0- C50解析：选A.50件产品中，次品有50X4% = 2件，设抽到的次品数为 X,则抽到1件次品的cc9概率是 P(X=1)=C2rc解

24、析： 尸2, 严2, E(2X- 1) = 2E(X)1=2X( 2)1 = 5.答案：57.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为.C50224.设XN(世，(2), YN(味 )，这两个正态分布密度曲线如图所小，下列结论中正确的是()A. P(Y> )>P(Y> 3)B. P(X<(2)&P(XW a)C.对任意正数 t, P(X>t)>P(Y>t)D.对任意正数 t, P(X<t)>P(Y<t)1解析：选D.由图象知，3< 0 (n< c2, P(Y>盘)

25、 = 2，1P(Y> 内)>2,故 P(Y> )<P(Y> 以)，故 A 错;因为5<%所以P(X< ®)>P(X< d),故B错;对任意正数t,P(X>t)<P(Y>t),故 C 错;对任意正数t,P(X<t)>P(Y<t)是正确的，故选 D.5.设随机变量士服从正态分布 N(3,4),若 P(&2a 3)=P(>a+ 2),则 a=()3A.77B.37C.88D.7解析：选B.因为士服从正态分布N(3,4),且P(E< 2a 3)=P(0 a+2),所以2a 3+a +

26、 2 = 6,7. a 3.-26.若随机变量X的概率分布密度函数是，、_1_x+2 e(xC R),则 E(2X1)=8C2C1c26C2解析：P(X=0)= d = 0.1, P(X=1)= c5 =10= 0.6, P(X = 2) = c5 = 0.3.答案：0.1 0.6 0.38.已知某次英语考试的成绩 X服从正态分布N(116,64),则10 000名考生中成绩在140分以 上的人数为.解析：由已知得11= 116, d= 8.P(92<XW140)=P(四3o<X< 叶 3)=0.997 4,一 一 1.P(X>140) = 2(1 0.997 4)=

27、0.001 3, 成绩在 140分以上的人数为 13.答案：139.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已 知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是|.3(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；设甲答对题目的个数为自求己的分布列.-1 _2 C1C241解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A, B,则P(A)=C4C2=1，C620 52 322 2 2 1127P(B)=(1-2) +C2(1-) (-) =27+ 9=27, 333 , 1712

28、8则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1 P(A B) = 1 P(A)P(B) = 15X27=135.一1_2.J-13由题意知己的可能取值是1,2.P(Q 1) = =5，P(E= 2)= 4 C3 4=5,则己的分布列为12P145510.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红 色球得1分，取出一个白色球得0分，取出1个黑色球得1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率;设己为取出的3个球中白色球的个数，求 己的分布列.解：(1)P=1 C|= 172.记”取出1个红色球，2

29、个白色球”为事件B, “取出2个红色球，1个黑色球”为事件C,122 1则 P(B+C)=P(B) + P(C)=CCC3 + CCcJ=42. C9C942(3)己可能的取值为0,1,2,3,士服从超几何分布,c3c6 k P(Q k) = -ClTc3c6P(Q 2户百="C35C3C6 15,k=0,1,2,3.故 P(2= 0) = C9=王，P(e 1)=-CT=28;3 c、c31荷，P(± 3)=C9=84.己的分布列为:012351531p1，P21281484B组能力突破1 .某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布， 其密度函数为 册,

30、4x)(xCR),则下列命题中不正确的是()A .该市这次考试的数学平均成绩为 80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10解析：选B.由密度函数知，均值(期望)尸80,标准差 户10,又正态曲线关于直线x=80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的.2.已知 XN(山(2)时，P(o<X0 叶 3=0.682 6, P(四一2(KX0 叶2) = 0.954 4, P(厂3o<X< 叶 3 3 = 0.997 4,则32e(

31、x4)22 dx =()A. 0.043B. 0.021 5C. 0.341 3D. 0.477 2解析：选B.由题意知，尸1,户 1,P(3<X< 4)=2X P( _ 2<X04) P( 1 <X0 3) =2 X (0.99740.954 4)= 0.021 5.故选 B.一 一.a + a 13.已知随机变量 己服从正态分布N(2,9),若P( >3)=a,P(1< 口3) = b,则函数f(a)=一 a十1的值域是 一2a+b=1,解析：易知正态曲线关于直线x=2对称，所以P(>3)=P( 1)=a,则有3? 0©> 0, b> 011.1 a.3_1.,<a<2.f(a) = a 01 = +1)07 一1，令 t=a+1C(1，)，函数 f(a)= g(t)= t发 -1 在 t3e(1,3)