大学物理第1章许瑞珍、贾谊明版

1、伽利略（意）伽利略（意）1564156416421642 首先要研究物体怎样运动，然首先要研究物体怎样运动，然后才能研究物体为什么运动。后才能研究物体为什么运动。 伽利略伽利略第一章第一章 质点运动学质点运动学1、质点运动的描述、质点运动的描述 2、直线运动、直线运动 3、曲线运动、曲线运动 4、相对运动、相对运动相对运动相对运动1. 模型：模型：质点、质点系质点、质点系2. 概念：概念：位矢、位移、速度、加速度、位矢、位移、速度、加速度、 角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度3. 计算：计算：运动学的两类基本问题运动学的两类基本问题第一章第一章 质点运动学质点运动学1. 参考系参

2、考系为了描述物体的运动而被选作参考的为了描述物体的运动而被选作参考的物体叫做参考系物体叫做参考系2. 2. 坐标系坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标系上建立的带有标尺的数学坐标, ,简称坐标系。简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。运动是绝对的，对运动的描述是相对的。运动是绝对的，对运动的描述是相对的。一、几个基本概念一、几个基本概念任何实物物体均可被选作参考系任何实物物体均可被选作参考系; ;场不能作为参考系。场不能作为参考系。第一章第一章 质点运动学质点运动学

3、3. 3.质点质点质点是质点是理想的物理模型理想的物理模型。是具有一定的质量而没有大小和形状的物体。是具有一定的质量而没有大小和形状的物体。抽象条件为：抽象条件为： 物体的线度和形状在所研究的问题物体的线度和形状在所研究的问题中的作用可以忽略不计中的作用可以忽略不计4. 时间和时刻时间和时刻时间：与过程对应的时间间隔时间：与过程对应的时间间隔时刻：某一瞬时时刻：某一瞬时第一章第一章 质点运动学质点运动学 要解决任何具体力学问题要解决任何具体力学问题, ,首先应选取一个适当的参考系首先应选取一个适当的参考系, ,并建立适当的坐标系并建立适当的坐标系, ,否则就无从讨论物体的运动否则就无从讨论物体

4、的运动. .二、二、 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述1.1.位置矢量位置矢量（描述质点在空间的位置）（描述质点在空间的位置） * * 定义：定义： 从参考点从参考点 O 指向空间指向空间 P 点的有向线段点的有向线段 叫做叫做 P 点的位置矢量点的位置矢量 ，简称位矢或矢径。，简称位矢或矢径。 PrOPPr OPPr(教材中，矢量用黑体表示教材中，矢量用黑体表示)第一章第一章 质点运动学质点运动学OPr kzj yi xrxcos大小大小：rr222zyx方向余弦方向余弦：rycosrzcos单位矢量：单位矢量：k, j ,i直角坐标系中的描述

5、：直角坐标系中的描述：位矢：位矢：第一章第一章 质点运动学质点运动学或（分量式）或（分量式）)()()(tzztyytxx联立运动方程分量式，消去时间联立运动方程分量式，消去时间t所得的所得的x、y、z关系式。关系式。)(trrr)t(r即即第一章第一章 质点运动学质点运动学 例例 已知：质点的运动方程已知：质点的运动方程 j)t(i tr222 求：求： (1)(1)质点的运动轨迹；质点的运动轨迹； (2)(2)t = 0s及及t = 2s时，质点的位置矢量。时，质点的位置矢量。(SI)解：解：(1) (1) 先写参数方程先写参数方程 222tytx消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：42

6、2xy 质点的运动轨迹为抛物线质点的运动轨迹为抛物线 (2) 位置矢量：位置矢量： jirstjrt2422021时，时，第一章第一章 质点运动学质点运动学3.3.描述质点位置变动的大小和方向描述质点位置变动的大小和方向位移矢量位移矢量o质点质点PArt 时刻，质点时刻，质点P的位矢为的位矢为ArBrt +t 时刻，质点时刻，质点P的位矢为的位矢为Brt 时间内，质点时间内，质点P的位置变动了：的位置变动了：ABABrrAB末位矢末位矢初位矢初位矢位矢位矢增量增量位移位移矢量矢量r第一章第一章 质点运动学质点运动学直角坐标表示（以二维情况为例）：直角坐标表示（以二维情况为例）：ABOArBry

7、xAxAyBxByx r y jyi xj )yy(i )xx(rABAB jyixrAAA jyixrBBB xy arctg 22) y()x(r 第一章第一章 质点运动学质点运动学!rr 讨论：讨论：ABrrr 位移（位矢增量）的大小位移（位矢增量）的大小ABABrrrrr 位矢大小的增量位矢大小的增量rr r r 如图，一般情况下如图，一般情况下BrO OAr?rr第一章第一章 质点运动学质点运动学讨论：讨论：比较位移和路程比较位移和路程ABr ABsr 位移位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。运动轨迹无关

8、，只与始末点有关。路程路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点运动轨迹有关运动轨迹有关sr 何时取等号？何时取等号？直线（直进）运动直线（直进）运动曲线运动曲线运动dsrdt,0时 ABs 第一章第一章 质点运动学质点运动学4.4.描述质点运动的快慢和方向描述质点运动的快慢和方向 速度矢量速度矢量r 粗略描述粗略描述：ArAt,时刻：BrBtt,:时时刻刻 t 内位移：内位移：ABOArBrr trv 平均速度：平均速度：第一章第一章 质点运动学质点运动学精确描述精确描述速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质点所速度是位矢对时间的一阶导数，其

9、方向沿轨道上质点所在处的切线，指向前进的一侧。在处的切线，指向前进的一侧。注意速度的矢量性和瞬时性。注意速度的矢量性和瞬时性。trtrvtddlim0 瞬时速度：瞬时速度： 当当t 趋于趋于0时，时， B点趋于点趋于 A 点，平均速点，平均速度的极限表示质点在度的极限表示质点在 t 时刻通过时刻通过 A 点的瞬时速度，点的瞬时速度，简称简称速度速度。表示为：。表示为：ABB B vr 第一章第一章 质点运动学质点运动学在直角坐标系中：在直角坐标系中：kdtdzjdtdyidtdxdtrdvkzj yixr 速度的大小：速度的大小：222zyxvvvv kvjvivzyx第一章第一章 质点运动学

10、质点运动学平均速率平均速率tsv 瞬时速率瞬时速率tstsvtddlim0 讨论：讨论：（1）速度与速率的关系）速度与速率的关系区别区别：速度是矢量，速率是标量。速度是矢量，速率是标量。平均速度：平均速度：trtrvtddlim0 瞬时速度瞬时速度trv 第一章第一章 质点运动学质点运动学讨论：讨论：?vv （2）平均速度的大小是否等于平均速率？）平均速度的大小是否等于平均速率？vvsr 一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率。一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率。tstr ABsr 第一章第一章 质点运动学质点运动学?vv （3）速度的大小是否等于速率？）速度的大小是否等于速率？vts

11、trvsrtt ddddlim lim00速度的大小等于速率。速度的大小等于速率。? dddd:tstr 即即?limlim00tstrtt 即即：讨论：讨论：第一章第一章 质点运动学质点运动学讨论：讨论：?trtrdddd （4）trtstrvdddddd 位矢大小的位矢大小的时间变化率时间变化率位矢时间变化率位矢时间变化率（速度）的大小（速度）的大小?limlim00trtrtt 即即：rrrrdd 第一章第一章 质点运动学质点运动学jtidtrdv22 练习练习 已知已知: :jtitr)2(22求求: 2: 2秒末速度的大小秒末速度的大小解：根据定义式可知，速度解：根据定义式可知，速度

12、则，则，2s末，末，jiv42 jvivyx因此，因此，2s末速度的大小为末速度的大小为22yxvvv52(SI)第一章第一章 质点运动学质点运动学5.5.加速度矢量加速度矢量（描述质点速度大小、方向变化的快慢）描述质点速度大小、方向变化的快慢）质点在质点在A ，B 两点的速度分别是两点的速度分别是 在在t 时间内从时间内从A 运动到运动到B，其速度改变其速度改变为：为：,v ,vBAABvvv ABBvAvAvv 用用 可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢,称为称为平均加速度平均加速度 。表示为：表示为：tva tv 第一章第一章 质点运动学质点运动学

13、瞬时加速度：瞬时加速度：当当t 趋于趋于 0 时，时， 求得平均加速度的极求得平均加速度的极限，表示质点通过限，表示质点通过A 点的瞬时加速度，简称点的瞬时加速度，简称加速度加速度。表示为表示为220ddddddddlimtr)tr(ttvtvat 加速度等于速度对时间的一阶导数加速度等于速度对时间的一阶导数, ,或位矢对或位矢对时间的二阶导数。时间的二阶导数。第一章第一章 质点运动学质点运动学直角坐标系表示：直角坐标系表示：kajaiaktzjtyitxktvjtvitvtvazyxzyx222222dddddd ddddddddkvjvivktzjtyitxtrvzyx dddddddd2

14、22zyxaaaa大小大小:方向？方向？第一章第一章 质点运动学质点运动学因为速度是沿轨道的切线方向，故加速度总因为速度是沿轨道的切线方向，故加速度总指轨道的凹向指轨道的凹向xyoxyo1v2v1v2vv1v2vv1v2v第一章第一章 质点运动学质点运动学 例例 已知已知: :jtitr)2(22求求: : 2秒末加速度的大小秒末加速度的大小jtitr222解：解：a =2m.s-2 , 沿沿 -y 方向，与时间无关。方向，与时间无关。(SI)jtidtrdv22 jdtvda2第一章第一章 质点运动学质点运动学?vtvdtddd 讨论：讨论：?tvtvt 00tlimlim即：即：Bvv v

15、 dtdddvtvvv Av第一章第一章 质点运动学质点运动学总结：总结：描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量描述对象描述对象物理量物理量定义定义位置位置位矢位矢 位置变化位置变化位移位移位置变化率位置变化率速度速度速度变化率速度变化率加速度加速度12rrr trvdd )(,trr中心中心22trtvadddd 第一章第一章 质点运动学质点运动学下列各式分别表示何种运动？下列各式分别表示何种运动？圆周运动圆周运动0)3(dtdv匀速率运动匀速率运动匀速直线运动匀速直线运动( (含静止含静止) )0) 1 (dtdr静止静止静止静止0)2(dtrd0)4(dtvd第一章第一章 质点

16、运动学质点运动学 思考思考：若已知加速度：若已知加速度 ，如何求解，如何求解速度速度 和位矢和位矢 ？)(ta)(tv)(trtvadd即即dtavdttvvdtavd00ttrrdtvrd00同理：同理：积分上、积分上、下限！下限！第一章第一章 质点运动学质点运动学质量为质量为5kg可视为质点的物体可视为质点的物体从原点开始运动，其从原点开始运动，其加速度为加速度为 （设运动开始记时，（设运动开始记时，t 为运动时间），求任意时刻质点的速度及运动方程。为运动时间），求任意时刻质点的速度及运动方程。解：解：因为加速度因为加速度jitdtvda6 . 1)2 . 14 . 0(dtjitdtav

17、tt006 .1)2 .14 .0(j titt6 .1)6 .04 .0(2jita6 . 1)2 . 14 . 0(dtj tittdtvrtt0026 . 1)6 . 04 . 0(jtitt2328 . 0)2 . 02 . 0(第一章第一章 质点运动学质点运动学解：解：jebkieakjdtydidtxdaktkt222222) 1 (tktybdtbkedy0)2(kttktbebeby0ktktktktbeyaexjbeiaer或或运运动动方方程程xabyabxy或或）轨轨道道方方程程（3练习练习：在质点运动中，已知：在质点运动中，已知 ， ，求该质点的加速度、运动方程和轨道方程

18、，求该质点的加速度、运动方程和轨道方程。，bkedtdyaexktktbyt0第一章第一章 质点运动学质点运动学 在直线运动中，位移、速度、加速度各矢量都在直线运动中，位移、速度、加速度各矢量都在同一条直线上，都可以用在同一条直线上，都可以用标量表示标量表示，而用正、负，而用正、负号表示它们的方向。正号表示沿坐标轴正向，负号号表示它们的方向。正号表示沿坐标轴正向，负号表示沿坐标轴反向。表示沿坐标轴反向。两类问题两类问题已知运动方程求质点的速度和加速度已知运动方程求质点的速度和加速度求导求导已知速度或加速度及初始条件求质已知速度或加速度及初始条件求质点的运动方程点的运动方程积分积分第一章第一章

19、质点运动学质点运动学设某质点沿设某质点沿x轴运动，在轴运动，在t=0时的速度为时的速度为v0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为一常数为一常数k（k0），试求速度随时间变化的关系式。），试求速度随时间变化的关系式。解：解：由题意及加速度的定义式，可知由题意及加速度的定义式，可知dtdvkva分离变量得出微分方程分离变量得出微分方程kdtvdv积分积分tvvkdtvdv00ktvv0lnktevv0得得速度随时间变化的关系式为速度随时间变化的关系式为注意负号的位置注意负号的位置!第一章第一章 质点运动学质点运动学已知某质量为已知某质量为

20、m的质点受沿的质点受沿x轴方向的力的作轴方向的力的作用，用，F=F0sin t，F0， 均为已知常数，均为已知常数，t=0时，时，v=v0，x=x0，求任意时刻质点的速度与位置的表达式。，求任意时刻质点的速度与位置的表达式。dttmFadtdvttvv000sin0000)(cosvtmFvt00)cos1 (vtmF解：根据牛顿第二定律可得加速度解：根据牛顿第二定律可得加速度a= F/m=F0sin t/m第一章第一章 质点运动学质点运动学txxvdtdx00dtvtdtmFdxttxx0000)cos1(0000)sin1(xtvttmFx00)cos1 (vtmFv第一章第一章 质点运动

21、学质点运动学如图所示，一人在高为如图所示，一人在高为h的岸上以恒定的速的岸上以恒定的速率率v0收绳拉小船靠岸，求小船运动至离岸收绳拉小船靠岸，求小船运动至离岸x时的速度时的速度与加速度。与加速度。解：解：取取x轴向左为正，轴向左为正，原点在岸边原点在岸边. .22)(hltxdtdxv xv0设绳长为设绳长为l=l(t) ，则小船的坐标，则小船的坐标dtdlhll22221第一章第一章 质点运动学质点运动学02vxdtdxlxdtdldtdva0vxl0vdtdl负号表示沿负号表示沿x轴负向轴负向2032vxhdtdlhllv22221第一章第一章 质点运动学质点运动学dtdlvdtvdxdt

22、xdv032202222020220)(xhvxxhxvvxvva222hxldtdlldtdxx加速度解法加速度解法2：即即xv= -lv0202vvxa即即两边同时取微分两边同时取微分再次取微分再次取微分第一章第一章 质点运动学质点运动学 vt dxdvvxA物体物体B的速度为：的速度为：tdydvvyB几何关系几何关系222lyx解：解：按图所选的坐标轴，按图所选的坐标轴，A的速度为的速度为x、y是时间的函数，两端求导：是时间的函数，两端求导：0dd2dd2tyytxx如图所示如图所示A、B两物体由长为两物体由长为l 的刚性细杆相连的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行。如物体两

23、物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定以恒定速率速率v 向左滑行，当向左滑行，当=60时，时，B的速度是多少？的速度是多少？vxvy第一章第一章 质点运动学质点运动学则则B B的速度：的速度：jdtdxyxjdtdyvB因为因为yxvtxtan ,ddtxyxtyddddj vtanvB当当 时，时，060j 1.73vvBvxvy第一章第一章 质点运动学质点运动学 一个实际发生的运动，可以分解成一个实际发生的运动，可以分解成几个各自独几个各自独立进行立进行的分运动。这个结论称为的分运动。这个结论称为运动的分解运动的分解。运动。运动的分解是研究曲线运动的一个重要方法。的分解是研究曲线运动的一个

24、重要方法。1.3 曲线运动曲线运动自由落体自由落体平抛运动平抛运动h不同轨道，但不同轨道，但相同时间着地相同时间着地平抛运动可平抛运动可分解分解为两为两独立独立运动：竖直方向上的自运动：竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动由落体运动和水平方向上的匀速直线运动第一章第一章 质点运动学质点运动学1. 抛射体运动抛射体运动Oxy0vxvyv水平方向水平方向cos0vvxtvxxcos0tv竖直方向竖直方向gtvvysin02021singttvy轨道方程轨道方程2202cos2tanvgxxy将物体（可视为质点）以初速度将物体（可视为质点）以初速度v0抛出，抛出点为坐标抛出，抛出点为坐

25、标原点，水平向右为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为轴正方向，竖直向上为y轴正方向轴正方向（不考虑任何阻力）（不考虑任何阻力）第一章第一章 质点运动学质点运动学水平射程水平射程2sin20gvd 上升时间上升时间射高射高gvtsin0gvym2sin220轨道方程轨道方程2202cos2tanvgxxyy=0gtvvysin0令令=0Oxy0vxvyv第一章第一章 质点运动学质点运动学另一分解方法另一分解方法:分解为沿初速方向的分解为沿初速方向的直线运动和自由落体直线运动和自由落体.第一章第一章 质点运动学质点运动学2. 圆周运动圆周运动平面极坐标系平面极坐标系以以 为坐标的参考系为坐标的

26、参考系.),(rArxyo自然坐标自然坐标以质点的运动轨迹为坐标轴以质点的运动轨迹为坐标轴,选择轨迹上选择轨迹上一点为坐标原点一点为坐标原点,原点至质点位置的弧长原点至质点位置的弧长为坐标为坐标.切向指向质点的前进方向，单位矢量为切向指向质点的前进方向，单位矢量为法向指向曲线的凹侧，单位矢量为法向指向曲线的凹侧，单位矢量为teneteneteneo第一章第一章 质点运动学质点运动学（1）自然坐标系中，圆周运动的）自然坐标系中，圆周运动的线量线量描述描述OABAvBv运动方程运动方程 s=s(t)线速度线速度tevvtedtds 线加速度线加速度dtvdadtedvedtdvtt切向加速度切向加

27、速度 ，是质点速率的变化率，是质点速率的变化率ta第一章第一章 质点运动学质点运动学dtedvadtedvedtdvatttt意义？意义？OAB)(tet)(ttet)(tettetedtedtttlim0又因为当又因为当 时时, 即即B点趋近于点趋近于A点点0t, 0nteenttetdtedlim0ntetRslim0nedtdsR1第一章第一章 质点运动学质点运动学ntedtdsRdted1neRv nttteRvedtdvdtedvedtdva2ntaaa法向加速度，说明法向加速度，说明了速度方向改变了速度方向改变与切线夹角与切线夹角tnaaarctan总加速度总加速度第一章第一章 质

28、点运动学质点运动学(2)角量角量描述描述角位移角位移平均角速度平均角速度t瞬时角速度瞬时角速度dtd平均角加速度平均角加速度t瞬时角加速度瞬时角加速度dtd第一章第一章 质点运动学质点运动学线量与角量的关系线量与角量的关系:弧长与角位移弧长与角位移Rs线速度与角速度线速度与角速度Rtsvt0lim切向加速度与角加速度切向加速度与角加速度Rdtdvat法向加速度法向加速度22RRvan第一章第一章 质点运动学质点运动学质点圆周运动半径为质点圆周运动半径为R，其加速度与速度，其加速度与速度之间的夹角之间的夹角 恒定，初速为恒定，初速为v0，求质点速度，求质点速度v（t）。）。解：解：依题意有依题意

29、有dtdvRvaatn2tantan2RdtvdvtvvdtRvdv02tan10tvRRvv00tantan积分积分得得第一章第一章 质点运动学质点运动学3. 一般曲线运动一般曲线运动dtdvat2van法向加速度法向加速度切向加速度切向加速度曲率半径曲率半径第一章第一章 质点运动学质点运动学解：解：任意任意t 时刻质点速率为时刻质点速率为22022)(gtvvvvyx切向加速度大小为切向加速度大小为2202)(gtvtgdtdvat抛体在任意时刻的加速度大小：抛体在任意时刻的加速度大小：a=g，所以法向加，所以法向加速度大小速度大小22002222)(gtvgvagaaattn例例18:在

30、高处将小球以水平初速度在高处将小球以水平初速度v0抛出，求小球在抛出，求小球在任一时刻任一时刻t的速率、切向加速度和法向加速度的大小。的速率、切向加速度和法向加速度的大小。第一章第一章 质点运动学质点运动学1.4 相对运动相对运动第一章第一章 质点运动学质点运动学绝对运动绝对运动:固定参考系固定参考系运动参考系运动参考系参考系参考系相对地球运动的参考系相对地球运动的参考系:小船小船固定在地球上的参考系固定在地球上的参考系:岸岸相对于固定参考系的运动相对于固定参考系的运动相对运动相对运动: 相对于运动参考系的运动相对于运动参考系的运动牵连运动牵连运动: 运动参考系相对于固定参运动参考系相对于固定

31、参考系的运动考系的运动运动运动第一章第一章 质点运动学质点运动学zz*yyxxuoo0tp pRrr位移关系位移关系 rp质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移tuuxxy yz ztto orQQS 系系 系系 ) (zyxO)(OxyzSR p第一章第一章 质点运动学质点运动学zz*yyxxuoo0tp p*xxzzyyoorrR位置关系位置关系:Rrr速度关系速度关系:uvv加速度关系加速度关系:0aaa绝对绝对速度速度相对相对速度速度牵牵连连速速度度第一章第一章 质点运动学质点运动学 伽利略变换式伽利略变换式Rrruvv0aaaRrr)

32、(cu 经典力学时空观（绝对时空观）下：经典力学时空观（绝对时空观）下：位矢位矢位移位移速度速度加速度加速度绝对绝对=相对相对+牵连牵连（矢量和）（矢量和）（作图，三角形法则！）（作图，三角形法则！）第一章第一章 质点运动学质点运动学例例9 9 一人骑车以一人骑车以18km/h18km/h的速率自东向西行进时，看见的速率自东向西行进时，看见雨点垂直下落。当他的速率增至雨点垂直下落。当他的速率增至36km/h36km/h时，看见雨点时，看见雨点与前进的方向成与前进的方向成120120角下落。求雨点对地面的速度。角下落。求雨点对地面的速度。解：选取解：选取S系地面，系地面，S 系人，物体雨点，则系人，物体雨点，则人人对对地地雨雨对对人人雨雨对对地地VuVvVv,依题意有：依题意有：2211uvuvv1201u2uv1v2v 从右图中的几何关系可求出：从右图中的几何关系可求出：30362,/hkmvv第一章第一章 质点运动学质点运动学例例1-10 在离海关港口在离海关港口B为为 远的远的A处处,有一走私船正以速有一走私船正以速率率 沿与海岸线成沿与海岸线成 角的方向离开海岸角的方向离开海岸.为了截获该船为了截获该船,海海关同时派出速度大小为关