【课件】6.2平面向量的运算课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、6.2平面向量的运算高一数学必修二第六章 平面向量及其应用0101020203030404加法运算加法运算减法运算减法运算数乘运算数乘运算数量积数量积C O N T E N T S目录0101加法运算加法运算温故知新温故知新我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷.那么,向量是否也能像数一样进行运算呢?我们知道,位移、力是向量,它们可以合成能否从位移、力的合成中得到启发,引进向量的加法呢?思考思考如左图,某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示?背景背景ABC加法运算加法运算物理知识告诉我们,这个质点两次位移AB,BC的结果,与从点A直接到点C的位移AC结果相同.因此,位

2、移AC可以看成是位移AB与BC合成的.数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可以看作是AB与BC的和,即位移的合成可以看作向量的加法ABC三角形法则cbaa + b = c首尾相接,首尾连加法运算加法运算平行四边形法则a+bba如左图,以同一点O为起点的两个已知向量a、b,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量与任意向量a,我们规定：a + 0 = 0 + a = a数的加法结合律与交换律同样适用于向量的加法注意C A B O 小试身手小试身手加法运算加法运算0202

3、减法运算减法运算减法运算减法运算与数x的相反数是-x类似,我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量,于是- ( - a ) = a我们规定,零向量的相反向量仍是零向量由两个向量和的定义易知a + ( - a ) = ( - a ) + a = 0即任意向量与其相反向量的和是零向量.这样,如果a,b互为相反向量,那么a = - b , b = - a , a + b = 0减法运算减法运算向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a b = a + ( - b )求两个向量差的运算叫做向量的减法我们看到,向

4、量的减法可以转化为向量的加法来进行:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量-babaa+（-b）-ba-bDCBOA如左图,设OA=a,OB=b,OD=-b,连接AB,由向量减法的定义知a-b=a+(-b)=OA+OD=OC在四边形OCAB中,OB平行且等于CA,所以OCAB是平行四边形.所以BA=OC=a-b由此,我们得到a-b的作图方法减法运算减法运算a b = a + ( - b )向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即aa-bbabOAB如图,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这是向量

5、减法的几何意义同始连终,指向被减小试身手小试身手ADCB0303数乘运算数乘运算数乘运算数乘运算O-aaaaa-a-aABC如图,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类比数的乘法,我们把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|a|=3|a|.同理：-3a的方向与a的方向相反,-3a的长度是a的长度的3倍,即|-3a|=|3a|.定义一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘，记作a,它的长度与方向规定如下(1) |a|=| | |a|;(2)当 0时, a的方向与a的方向相同;当0时, a的方向与a的方向相反由(1

6、)可知,当=0时, a=0；由(1)(2)可知,(-1)a=-a数乘运算数乘运算特殊的还有特殊的还有(- )a=-( a)= (-a) (a-b)= a- b可以发现,实数与向量的积与原向量共线，事实上,对于向量a(a0),b,如果有一个实数,使b= a,那么由向量数乘的定义可知a与b共线反过来,已知向量a与b共线,且向量b的长度是向量a的长度的倍,即|b|= |a|,那么当a与b同方向时,有b= a;当a与b反方向时,有b=- a向量共线向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b= a数乘运算数乘运算证明共线例题题目可以当做结论记住，方便做题小试身手小试身手ADCEB0404

7、数量积数量积数量积数量积类比物理力学做功计算公式W=Fs cos，我们有向量之间的积计算公式a b = |a | | b|cos ab已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量| a| | b | cos 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即显然,当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向，如果a与b的夹角是/2,我们说a与b垂直,记作ab数量积ab等于a的长度|a |与b在a方向上的投影| b|cos的乘积数量积数量积规定:零向量与任一向量的数量积为0.对比向量的线性运算,我们发现,向量线性运算的结果是一个向量,而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关(1) a b = b a;(2) a b = ( a b ) = a ( b )(3) ( a + b ) c= a c + b c.注意数量积的运算不满足结合律,即( a b ) c = a ( b c)不成立.这是由于( a b ) c表示一个与c共线的向量,而a ( b c )表示一个