第一章方向导数及梯度

1、1.3 标标量量场场的的梯梯度度（Gradient of a Scalar Field标标量场和量场和矢矢量量场场确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一称在该区域上定义了一个个场场。 如果物理量是标量，称该场如果物理量是标量，称该场为为标量场标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场如果物理量是矢量，称该场为为矢量场矢量场。 例如：流速场、例如：流速场、重力场、电场、磁场等。重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称如果场与时间无关，称为为静态场静态场，反之为，反

2、之为时变时变场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。静态标量场和矢量场可分别表示为静态标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z)、 F (x, y, z)时变标量场和矢量场可分别表示为时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z,t)、 F (x, y, z,t)1 . 标标量场的量场的等等值值面面等值面等值面: 标量场为同一数值的点在空标量场为同一数值的点在空间间形成形成的曲面。的曲面。等等值面方值面方程程：u(x, y, z) C标量场的标量场的等值等值线线( (面面) )常数常数C取一系列不同的值，就得到一系列不取一系列不同的值

3、，就得到一系列不 同的等值面，形成等值面族；同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；因此标量场的等值面互不相交。因此标量场的等值面互不相交。等值面的特等值面的特点点：例例题题求求数量数量场场 =(x+y)2-z 通通过点过点M(1, 0, 1)的的等值等值面面方程方程。解：点解：点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1， 则该点则该点的数量场值为的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。(x y)2 z 0z (x y)2或或其等值面方程为其等值面方程为如果上式的极限存在，则称它为如果上式的极限存在，则称它为函数在函数在点点

4、P0处处沿沿l方方向向的方向的方向导数导数标量场在不同方向上的变化率标量场在不同方向上的变化率一般说来是不同的一般说来是不同的2. 方向导方向导数数(directional derivative)uP uP 0 llu liml 0P0方向导数方向导数方向导数物理意义：方向导数物理意义：M 0 0处处沿沿 l 方向增加率；方向增加率；0M 0 0，标量，标量场场 u在在 M处处沿沿 l 方向减小率；方向减小率；0ululul，标量，标量场场 u 在在 MM 0 0，标量，标量场场 u在在 M处处沿沿 l 方向为等值面方向方向为等值面方向（无改无改变变）0方向导数的计算方向导数的计算直角坐标系下

5、，标量函数的方向导数为：直角坐标系下，标量函数的方向导数为：dx cos,dy cos ,dz cos dldldlu u dx u dy u dzlx dly dlz dlzxy方向角 ol在直角坐标系中在直角坐标系中u u cos u cos u cos lxyz3cos 2 212 22 223cos 2 212 22 223cos 1 112 22 22例例题题求数量求数量场场 u 在点在点M(1, 1, 2)处处z沿沿 l ex 2ey 2ez方向的方向的方向导数方向导数。uuuu解解：coscos coslxyzx2 y2方向的方向余弦为方向的方向余弦为lz2u (x2 y2 ),

6、u2x u2 yxzyzz数量场在数量场在l方向的方向导数为方向的方向导数为z2z2 x2 y23 z3 z31 2x2 2 yu u cos u cos u cos lxy在点在点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 1 1 2 1 2 2 2333 43ulM3. 梯度梯度（gradient）yzu e u e uxgrad u G eyzxgradu u梯度就是变化率最大方向上的方向导梯度就是变化率最大方向上的方向导数数 。 e e exxyzyzu uxyz ezeyex grad u=标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大

7、的方向。也就的等值面，且指向函数增大的方向。也就 是说，是说，梯度就是该等值面的法向矢梯度就是该等值面的法向矢量量。方向导数等于梯度在该方向上方向导数等于梯度在该方向上的投影即的投影即 u ellu梯度的旋度恒等于零梯度的旋度恒等于零u 0如果一个矢量场满如果一个矢量场满足足 F =0，即是一个无旋场，则该，即是一个无旋场，则该矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即即 F = u梯度的性质梯度的性质zxyu e u e u方x xy yz z向 ol角coscos coslxyzuuuugrad u eGu 0标标量场量场梯梯度度的的旋度旋度恒恒等等于于零

8、零。2u2u2u2u2u2u ()e ()e ()e yzzyxzxxzyxyyxz 0梯度的重要性质梯度的重要性质证明：左边证明：左边=( e e e ) (e u e u e u )yzxyzxzyxyz x梯度的运算梯度的运算u u e 1 u erz u err zu u e 1 u e 1 u err r sin r由梯度的定义及标量场方向导由梯度的定义及标量场方向导数数的概的概念念可可推推知知在直角坐标系下：在直角坐标系下：在球面坐标系中：在球面坐标系中： e1 e ( 1 ) ) (er sinrr r 在柱面坐标系中：在柱面坐标系中：1 (e e )rr r z zeu u e

9、 u e u exyzxyz例例题题设标量函数设标量函数r是动点是动点M(x, y, z)的矢的矢量量r xe x ye y ze z的模的模， 即即 r 证：证：ex ey ezrrrgradr r xyzx2 y2 z2x2 y2 z2r zx z zrx2 y2 z2x2 y2 z2r xx x xrr，证明，证明： grad r= e x2 y2 z2x2 y2 z2x2 y2 z2r yy y yr所以所以rreryzxzyxr z e 1 (xe ye ze) r rr y e rgradr r x er点点M处的坐标为处的坐标为x=1, y=0, z=1,r x2 y2 z22所

10、以所以r在在M点处的梯度为点处的梯度为例例题题求求r在在M(1，0，1)处处沿沿 l e x 2e y 2e z方向的方向导方向的方向导数数。ezex gradr r 2121r的梯度为的梯度为grad r r 1 (xe ye ze )xyzr解解： r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 r elMlr所以所以2222r 1 1 0 2 1 2 1 l333M而而ezeyexelll132323 例题例题:若若 R r r e x x x e y y y e z z zR Rf (R) f (R)说明：说明：xyz e e exyz e e ex y z xyz证明：证明：(1

11、)(R) R eRR(2)R3R2( 1 ) R e RR(3)1.矢量线矢量线(vector line)1.4 矢量场的通矢量场的通量量 散度散度如：静电场的电力线、磁场的磁如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等力线、流速场中的流线等矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向该处矢量场的方向所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一 点处点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。场的矢量都位于该点处的切线上。A / dr力线方程力线方程rdrr drA 与与 dr

12、共线共线在直角坐标系中，其表达式为在直角坐标系中，其表达式为A ex Ax ey Ay ez Azdr ex dx ey dy ez dzAdr 0矢量线的方程为矢量线的方程为xy 2x2 yy2 z解解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 dx dy dz dx dz xyy z xy 2x2 y从而从而有有 dxdy22xz c1x y c222解之即得矢量方程解之即得矢量方程c1和和c2是积分常数。是积分常数。例例求矢量求矢量场场 A =xy2+x2yey+zy2e 的矢量线方的矢量线方程。程。xe z矢量场的通量矢量场的通量若若S S 为闭合曲面为闭合曲面若矢量若矢量场

13、场 F (r )分布于空间中，分布于空间中，在空间中存在任意曲面在空间中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：为矢为矢量量 F (r ) 沿沿曲曲面面 S S 的通量的通量。物理意义：表示穿入和穿出闭合物理意义：表示穿入和穿出闭合面面S S的通量的通量的的代数和代数和。 A(r ) dSs F (r ) dSs2. 通通量量(flux)讨论：讨论：面元矢面元矢量量 dS 定义：面积很小的有向曲面。定义：面积很小的有向曲面。dS ：面元面积，为微分量其值可认为无限小：面元面积，为微分量其值可认为无限小en：面元法线方向，垂直于面元平面。：面元法线方向，垂直于面元平面。endS面元法面元法向向 e

14、的确定方法：的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向对闭合曲面：闭合面外法线方向n F dS F e dS F cosrdSsssn称矢称矢量量 dS en dS为面元矢量为面元矢量通过闭合面通过闭合面S的通量的的通量的物理物理意义意义：若若 0，穿出多于，穿出多于穿入穿入，闭合面，闭合面内有内有发出矢量发出矢量线的线的正正源源若若 0，穿出少于，穿出少于穿入，穿入，闭闭合面合面内有汇内有汇集集矢量矢量线的负源线的负源若若 0，穿出等于，穿出等于穿入穿入，闭合面，闭合面内无内无源，或正源，或正源负

15、源负源代数和源代数和为为0 0 (有正源) 0，称为源点，称为源点 (source point)-表示表示 矢量场在该点处有散矢量场在该点处有散发发通通 量之正源；量之正源；当当div A0，称之为汇，称之为汇 点点(sink point)-表示表示 矢量场在该点处有吸矢量场在该点处有吸收通量之负源；收通量之负源；当当div A =0，表示矢量，表示矢量 场在该点处无场在该点处无源源 。散散度度的的计计算算yxxS3OzyzS1S2S6S5S41.4矢量的通量和散度矢量的通量和散度 散度与所取体积散度与所取体积元元 的形状无关，与所取的形状无关，与所取坐标无关坐标无关a.直角坐标系中直角坐标系

16、中xyzAAAdivA x y z 1.4矢量的通量和散度矢量的通量和散度 引入哈密顿算引入哈密顿算符符 （矢性微分算符）（矢性微分算符） 直角坐标内，直角坐标内，则有则有:x xy yz z e e ediv AA1.4矢量的通量和散度矢量的通量和散度b.圆柱坐标圆柱坐标c.球坐标球坐标) z zAA(A) ( A 1 1()r sin 1 (sinA ) 1 r sin (r A ) 1 2r 2Ar A r4. 散度定散度定理理(divergence theorem)V AdV SA dS高斯散度定理高斯散度定理yx矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的矢量场散度的体积分等于矢量场在

17、包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分z则在一定则在一定体积体积V内的总的内的总的通通量为量为：得证！得证！ Ar dV Ar dSVs散散度度定理定理的的证明证明从散度定从散度定义有：义有： Ar limV 0 Ar dSd dVV 0 VVs lim 该公式表明了区该公式表明了区域域V V 中中场场 A与边界与边界S S上的上的场场A之间的关系。之间的关系。 矢量函数的矢量函数的面面积分与积分与体体积分的互积分的互换换。V AdV SA dS例题：例题：已知已知：R e (x x ) e( y ，y ) e (z z )xyzR R求：矢量求：矢量

18、R3RD 在在R 0处的散度。处的散度。场点位置场点位置矢量矢量场点位置场点位置矢量矢量rr场点场点源点源点0rrR3 x x2R33R5 x x 1 x R提示：提示：例例解：解：q 3r2 3(x2 y2 z2 )r5 0 xyz4divD D x x x DDD4 r3 qy , 4 r34 r3D qx ,xyzD qz D原原点处点电点处点电荷荷q产生的产生的电电位移矢位移矢量量 D q e q r，4r 3试求电位移矢试求电位移矢量量D的散的散度度。3r3r3D q x e y e z e 4rxyz 4r 2rr5D q r 2 3x2xx4r5 q r 2 3y2y4Dyr5r

19、 2 3z2 Dz qz4所以例例题题 球球面面S上任意点的位置矢量上任意点的位置矢量为为 r xe x ye y ze z解解： 根据散度定理知根据散度定理知，求求 r dS而r 的散度为 r x y z 3xyzS r dS ( r)dVVS33( r )dV 3dV 3r 4r34r dS VVS1 . 矢量矢量场场的的环流环流与与旋旋涡涡源源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何 闭合曲面的通量为零。但在场所定义

20、的空间中闭合路径的积分闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分 不为零。不为零。1.5 矢量场矢量场的的环流与旋度环流与旋度矢量场对于闭合曲矢量场对于闭合曲线线C的环流定义为该矢量对闭合的环流定义为该矢量对闭合 曲线曲线C的线积分，记为：的线积分，记为： C F (x, y, z) dl 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为为 无旋场无旋场，又称为，又称为保守保守场场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称

21、，能够激发有旋矢量场的源称为为旋涡源旋涡源。环环流的概流的概念念如如磁场沿磁场沿任任意闭合意闭合曲曲线的积线的积分分与通过与通过闭闭合曲线合曲线所所围曲围曲面面的的电流成电流成正正比，即比，即：C B(x, y, z) dl 0 I 0 S J (x, y, z) dS上式建立了上式建立了磁磁场场与电与电流流的的关关系系。例：例：流速场流速场流速场流速场S n S环流的计算环流的计算ACP在直角坐在直角坐标标系中系中：F ex Fx ey Fy ez Fzdl exdx ey dy ezdz F dx F dy F dzCxyz线元矢线元矢量量 dl：长度趋近：长度趋近于于0，方向沿路径切线方

22、向。，方向沿路径切线方向。 F dlC矢矢量量场的环流场的环流给出给出了矢量场了矢量场与积与积分回路所分回路所围曲围曲面内旋涡面内旋涡源的源的宏观联系宏观联系。 为了给出为了给出空间空间任意点矢任意点矢量场量场与旋涡源与旋涡源的关的关系，引入系，引入矢量矢量场旋度场旋度。过点过点M 作一作一微小曲微小曲面面 S，它，它的的边界曲边界曲线线记记为为 L，当当 S点点M时，时，极限极限 F dlLS 0 Srot n F lim 1 2、矢量场的、矢量场的旋旋度度Curl of a vector field:M称为矢量场称为矢量场在在点点M 处处沿沿 e n 的的环流密度环流密度。rot n F

23、表示矢量场表示矢量场在点在点M M处处沿沿e 方向的漩涡源密度；方向的漩涡源密度；其其值与值与方向方向有关。有关。n性性质质 ：l围成的面元矢量围成的面元矢量旋涡面的方向旋涡面的方向重合，最大 夹角，中间值 垂直， 0RFen旋旋度度矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值点处的旋度为一矢量，其数值为为M点的环流点的环流 密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时小面积元的法密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时小面积元的法线线方向，即：方向，即：max旋旋度度的的物物理意理意义义矢量的旋度为矢量，矢量的旋度为矢量，是是空间位空间位置置的函数；的函数； 矢量在空矢量在空间某点处的旋度表征矢

24、量场在该点处间某点处的旋度表征矢量场在该点处的的漩涡漩涡源密度源密度；n S 0rotF elimSF dlC旋度旋度的的计计算算在直角坐标系下：在直角坐标系下：xrot F exrotx F eyroty F ezrotz F e (Fz Fy ) e (Fx Fz ) e (Fy Fx )xyzyzzxxyez) ex Fx ey Fy ez Fz (exeyxyz F重重点点MyzexzyxyzFxFyFzexeyez圆柱面坐标系圆柱面坐标系z FF Fzeeez1 F errer sine FrrFr sinFr 2 sinr F 1 球面坐标系球面坐标系旋度的有旋度的有关公关公式式：

25、 (F G)G F F G (F G) F G C 0 (C为常矢量) (Cf ) f C ( fF ) f F f F3 3. . 斯托克斯定斯托克斯定理理（Stokes Theorem）c意义：意义：矢量场的旋度在曲面上的积分矢量场的旋度在曲面上的积分 等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲 线上的线积分。线上的线积分。l A dl s( A) dS由旋度的由旋度的定义定义对于有限对于有限大大面积面积s，可将其，可将其按按如图如图方方式进行分割，对每一小面积式进行分割，对每一小面积元有元有c A dl s( A ) d S得证！得证！斯托克斯斯托克斯定理定理的证的

26、证明明 (rotA) enclimS 0S A dl A dl ( A) dSc A dl ( A ) d Sc2c 21cA d ( ) lAd S14. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 F 0 F 0 F 0 F 0 F 0 F 0 F 0 F 05 5. . 矢矢量量场场旋度的旋度的重重要性要性质质y2222x22 () () () 0yyxxzz F F F F F Fxyxzyzxyxzyz任意任意矢矢量场旋度量场旋度的散的散度等于零度等于零。 ( F ) 0 Fx )e ( Fy Fz )FFy ) e (x ） e ( Fzzzxzx e ex xy y证明：证明：左边左边=（

27、ezyxz讨论讨论 矢量场的性质可以用其散度矢量场的性质可以用其散度和和旋度旋度来来表征，散度描表征，散度描 述的是场分量沿着各自方向述的是场分量沿着各自方向上上的变的变化化规律规律，旋度描旋度描 述的是述的是场场分量沿分量沿着着与它相与它相垂垂直的方直的方向向上的变上的变化化规律规律。 如果矢量场的散度为零，则如果矢量场的散度为零，则该该矢量矢量场场是连是连续续的或无的或无 散的；如果矢量场的旋度等散的；如果矢量场的旋度等于于零，零，则则称此称此矢矢量场是量场是 无旋的或保守的。无旋的或保守的。 B 0B A矢量场的散矢量场的散度等于零度等于零该矢量可以用另一个该矢量可以用另一个 矢量的旋度

28、来表示矢量的旋度来表示例例求矢量求矢量(c是常是常数数)沿曲线沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环的环流流。A yex xey cez2(R2 2R cos )d0解解： 由于在曲由于在曲线线 l 上上 z 0 ，所，所以以 dz 0。A yex xey cezdl ex dx ey dyx 2 R cosy R sin2200 R sin d (2 R cos ) (2 R cos )d (R sin ) 2R2 (sin2 cos2 ) 2R cos d0 2 R2 l A dl(2 R cos )R cosdd R sin220220例例求矢量场求矢量场在点在点M(1，0，1)处

29、的旋度以及处的旋度以及沿沿 n 2e x 6e y 3e z密度密度。方向的环流面方向的环流面exeyezxyzx(z y)y(x z)z( y x) (z y)ex (x z)ey ( y x)ezrotA A A x(z y)ex y(x z)ey z( y x)ez解解： 矢量矢量场场的旋度的旋度A在点在点M(1，0，1)处的旋度处的旋度 A M ex 2ey ezn方向的单位矢量方向的单位矢量在在点点M(1，0，1)处处沿沿n方向的环量面密度方向的环量面密度 n 2 6 2 3 177777M A22 62 32n 1 (2e 6e 3e ) 2 e 6 e 3 e777xyzxyz例

30、例 场强度为场强度为在坐标原点处放置一点电在坐标原点处放置一点电荷荷q，在自由空间产生的电，在自由空间产生的电4 r34 r3E q r q (xe ye ze )xyz求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度 E 。33330 334 0 xyz q z y e x z eyrzrzrx r y xex ryr解：解：r3r3r3exeyezyzxyz4x E q E q r4 r31、矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等 于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定

31、点于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点 的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量， 在在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场 在该在该点的旋度。点的旋度。1.6无旋场与无散场无旋场与无散场2、矢、矢量量场按场按源源的分的分类类（1）无旋场无旋场仅有散

32、度仅有散度源而源而无旋度源无旋度源的矢的矢量场量场， F 0F dl 0C性质：性质：，线积线积分和路分和路径径无关无关，是保守是保守场。场。无旋场可无旋场可以用以用标量场的标量场的梯度梯度表示表示为为F u例如：静例如：静电场电场 E 0 E （2）无无散散场场仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场， F 0F dS 0S无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度F A例如，恒定磁场例如，恒定磁场B A B 0 （3）在要讨论的场区，既无旋又无散）在要讨论的场区，既无旋又无散 F 0 F 0 F u (u) 02u 0（4）既可能有散，也可能有旋的矢量场）既可能有散，也可能有旋的矢量场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分F (r) u(r) A(r)无旋场部无旋场部分分 无散场部分无散场部分1. 7拉普拉斯拉普拉斯运运算算与与格格林定林定理理1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算定义拉普拉斯算定义拉普拉斯算符符 2 ，作用于标量，作用于标量时时 2u u222 u u ux 2y 2z 2u e u e u )xyz e ) (eyz (e exzyxzyx2 F ( F) ( F )作用于矢量时作用于矢量时直角直角 坐