课程复习重点

1、课程复习重点（一）行列式行列式的定义：注意：二、三阶行列式的特殊计算方法；运用行列式的性质计算行列式：|A|与|At|相等；一行乘一个常数；交换两行元素，行列式的值变号（两行元素对应成比例的行列式 的值为0）；一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变）。（特别是）行列式按照某一行（或列）展开：（注意代数余子式aiiAi + 卅2 + lll+ai nAn ,A厂（-廿“如|A|=则 A23 = （）23（二）矩阵及其运算矩阵的定义及矩阵的运算：数乘矩阵：kA二kaj ，矩阵相乘；方阵乘积行列式的计算：| A B卜| A| B | ；矩阵可逆的判定：| Af 0，及求逆矩阵的伴随矩阵法.a1_丄A

2、*|A|（三）矩阵的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆:（AE）> （EA-1）矩阵的秩：将矩阵化为阶梯形解线性方程组：用矩阵秩的理论研究线性方程组的解：齐次方程：二n方程组有唯一 0解"）v n方程组有无穷多非0解= n方程组有唯一解非齐次方程：R（A" R（AB） I n方程组有无穷多解（四）向量组的线性相关性向量（或向量组）B，能由向量组A线性表示的概念及判定R（AB）二 R（A）线性相关与线性无关的概念：k 2kss = 0 ki可以不全为0则相关，全部必须为0则无关；及判定：相关：RC 1/ 2 sP s，化为阶梯形式，阶梯的个数小 于向量的个数s

3、;无关：RC 121丨IS）二S，化为阶梯形式，阶梯的个数等于 向量的个数s ;极大无关组与秩的概念：阶梯所对应原向量组中的向量就是最大 无关组；秩是最大无关组的个数。基础解系及线性方程组的通解的求法：（1）（AB）化为行最简型；（2）写出对应方程组（自由未知量放到等式右边）；X1 _ b1 a41X4 a51X5X2 b2 a42X4 a52X5 X3 - 3 * a43x4 * a53x5（3）取自由未知量为V】和；】,罩 也丿 卫丿I0丿J丿求出非齐次特解d0-1 =和对应齐次方程的基础解系；（4）写出非齐次方程的*n = +厂巴 + c巴c1 1 c2 2（五）相似矩阵及二次型矩阵的特

4、征值和特征向量的概念：Ax二*及性质：（1）n阶方阵A和它的转置矩阵At必有相同的特征多项式和特 征值；（2）12 "I n N A 1 ；（3）： （A）的特征值是 ）；特征值与特征向量的计算：用|A - ' Ef 0解出的根就是特征 值；用（A E）x二0解出的基础解析就是特征向量。相似矩阵的概念p Ap二B、性质及矩阵相似于对角化矩阵 的充分必要条件：矩阵有n个线性无关的特征向量a41a42a4310352a53二次型的概念及其矩阵表示：用对称矩阵表示二次型(注意XiXj的系数要分成两部分aijaji放到矩阵之中)用配方法化二次型为标准形的方法：注意：(Xi x<

5、 X3)2的展开是中各项系数要对应上a11a21a12a22a13a23(1)写出四阶行列式a31a32a33a41a42a43习题及参考答案:a34中含有的项补充第二行和第四行的元素,ai4以及第一列和第三列的元素。前面乘列下标的C1)j1j2j3 j4(-ai2a23a34a41 , ai2a2ia34a43)11a(2)计算行列式1a1a1111 a解：用特殊计算方法(斜乘)1 a 1 = 3a- a3 - 2a 11解:-22-12015-203-41613(3)计算行列式112-1212-1242730154207 _ _1-231-2031-203-1-28-2-416-1-208

6、247101015152 (75 - 30) = 90(4)设Aj表示A的代数余子式，求A4< A42 和13 41310 33=03017117-611二 21解:123 4113 42 23 32 0 335 6715171110 010 0 0A41A42123412-1422332203A3 +A44=5671=566100110001231-13-1=220=020566-166-31-6-1 6r21Of 310)8-2r104-190001 (=-110(=-3-11i-120丿<011<-121(5)计算)(6)已知A二匚21-1解: (AB)T=BTAT11

7、-5(7)已知A二3A = 3氷| A|= 27 況-1-10 ,验证(ABf = BTAT.30-5-2、01求3A,3A,并找出3A与A的等式关=27 -2 2-1) = -2703=3 (-1) = -33A与A的等式关系. |3A 二-33| A|(8)已知A B = AB，其中1200求A2丿解:A AB BA= (E B)_1B广030100、广030100、J200010%200010T-200010T030100<00-100h<00-100h<00-100(E -B):00101/ 30-1/2000、0一110<0广1-30、广0-1/ 20、B =

8、210则:(EB)=1/ 300<002< 00-b0101/210A 二-(E1-1/ 300?02-B)B 二(9)已知4阶行列式| A卜6，求|1(AT)-1|,|1 *1A 1的值.解:44444|1(AT)1 卜(1)4 |(AT)"卜(KA1) (1)41 A1 卜(J;666661 *l6A1、4 T、_1. J661 4 1 1 4F( )4|A|A-1P( )46 6(10)解:A100664 小611 1、A =v J，P =I-1丿J2,A =已知P P1,求 A100IT1八01丿V1 2丿21、(10、(1仁2-1、(1 1、<-11丿&l

9、t;01<12><-11 ><1 2>0 100 121 11011(11)判断矩阵A= -3 1-3201是否可逆，若可逆求出其逆矩阵1 -1,解：1 A =1-31-30121-1-6-3 9 -'1 = -1 = 0则矩阵可逆广1-32100"广1_32100、(AtE) =_301010T0_973101_1001<04-3_ 101广1-32100、广10_1-2_3-6、T01-1-1_1_2T01_1-1_1-2<04_3-101201349>100113、1T010237,0 0 13 4 9,113则：A

10、 = 2 3 7 <3 4 91 1 1(12)求矩阵A =1-12-112的秩,并求其一个最高阶非零子11101卩1121-1110-1-3A 二T12-11201-2<01233<012511010-1-31_1T00-142<000T8-10解:0卩1101 '1_1T0-1-31_11100-52033<00_1421110则r(A) =4，最高阶非零子式为:2 1-1112-111(13)将矩阵20 1231 2 1 '1-11化为行最简形矩阵0 -3 0解:1121 "1121 "112121-11T0-1 -5-1

11、T0-15 -11-1-300-2 -5-1<0051112021 '1003/5AT0-10 0-0100T01000051丿<00 11/5<0011/5x< 2x2x3 3x4 = 5I2x + 他-X3 + X4 = 2(14)判断线性方程组 3x! 4x2 - 3x3 - x41是否有解，若有Y 3x2 -2x4 = -1解求其通解，并求其对应的齐次线性方程组的基础解系/ 、X1，z 2X2_ 11=+ cX310<0<1()x1% 一 X3 X4 -X5= 1(15)判断线性方程组2xi 一X2 - 2X33x4 .x5二3是否有解，I

12、X! - 2x2 - x3 + 2x4 + 2x5 = 2若有解求其通解，并求其对应的齐次线性方程组的基础解系解：(111-11-1仁31-11-1 n12-1-2313T0-3013 1-2-1222<0-3013 1>X21X40lX54/3 X3 - 4/3x4-1/3 1/3x4 x 令x30得出非齐次方程组特解为:X2XX34/3-1/300< 0X4I 联丿0515000<1>1 0 0得出齐次方程组的基础解系为:101I I0O111-11-1V11-11-11T0-30131T0 10-1/3-1-1/3<000000；10 0000010-

13、14/304/3、T010-1/3-1-1/3<000000)则方程组的秩为2,方程组有解。-4/31/30 2I I 21 0丿01二 0 则非齐次方程组的通解为:0 |4/3 "J4/3、|X2-1/ 301/ 31X3=01700X4001005< 0丿< 01(16)叙述向量组的最大无关组的定义：最大无关组是：ai, a2 I , as中，有一组向量ai, a2 I , ar线性无关， 并且任意r 1个向量线性相关，则ai,a2",ar是向量组aa卄，a$ 的最大无关组。并求向量组：q 二(2,1,3-1几a?二(3<1,2,0)T,a (1

14、,3,4,-2)T,a厂(4,-3,1,1) 的秩，并求出其一个最大无关组，将不属于最大无关组的向量用最大 无关组线性表示21314111-13-311 1-13-311-13-305-510 0-11-211T11T11324105-510 000011 110-210-11-20000解:-12最大无关组为ai,a2,2a2(17)判断向量组A: a1 =01、1,a2 =_1,a3 =23且a3和向量组1 ,b2 =0是否等价. 订丿'2'"1,a2 =_183 =2<1丿<3；A:印(21311、#1-1210、1-1210T03_1_11<

15、21311.03_1_1b1-1210T031-11<00000解:因为r(AB) = r(A) = r(B) =2所以向量组 (1 =I= I向量组B: E = 1 b = 0等价J丿 J丿(18)叙述向量组线性相关和线性无关的定义：线性相关与线性无关的概念：kF i k22 I丨I ks> s = 0 ki可以不全为0则相关；全部必须为0则无关；判定方法:相关：RCi2i4s)vs化为阶梯形式，阶梯的个数小于向量 的个数s ;无关：RCi2il*s) = s化为阶梯形式，阶梯的个数等于向量的个数s ;并判断向量组 a厂(1,-2,3)丁4 = (-1,1,2)T,a3 = (-

16、12-5)丁 的线性相关性.1-1-n1广1_ 1-n1广1-11解：因为-212T0-10T010<32-5丿<05-2丿<00-2>所以 a 二(1,-2,3)T,a2 二(-1,1,2)T,a3 二(T2 -5)T 的秩为 3，因此向量组线性无关。:2(19)求矩阵A=5<-1-1 2-33的特征值及对应的特征向量.0 一2丿 解:2八-12|A丸E|= 53九3=(4 - 2)(3) 3 - 2(3) - 5(2 )-3_3 2_4 _1 = -( 3 1)_3 (1)i)C.i 3 )(1)( 2 21)一(1)3 =03-12、01 、(A+1) =5

17、-23T0-2-2T厂10一1<0-1一1得' -1为二重根;100010人二X3-X3 令 21对应方程组为0丿X21得特征向量为（-1,-1,1）丁(20)将矩阵A22-225-4-2-45化为对角矩阵解:2八2-22八2-225-扎-4=01-丸1-?-2-45-九-2-45-】I A- ' E | =2 -人2-42 -丸-401-扎0=（1-入）-29-几-2-49-九=(1 " )(2 )(9 ，) _ 8)-(1 ；)2( 10 )=0r 12 -2 'f当人=丸2 =1时：（A-E） =24-4T<-2-44 丿11-2、向量为：-1二1和©厂0=10100得特征值为：，1 =，2 = 1, ' 3当3=10时:2 -200对应特征0 0丿r -8 2 -2r 2-5-4 、r 23-4、(A-10E)=2-5-4T0-18-18T0111-2-4-5 ,< 0-9