2016年高考全国2卷理数试题及答案

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。1 .设集合A=x|2 Mx M2 , Z为整数集，则 AH Z中元素的个数是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)

2、62 .设i为虚数单位，则(x十i)6的展开式中含X4的项为(A) 15x4 (B) 15x4 (C) 20i x4 (D) 20i x4.一 . 一 .，一冗、 .一.,八 3 .为了得到函数y =sin(2x-一)的图象，只需把函数 y = sin 2x的图象上所有的点3.-底 正(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动三个单位长度33.-底 正(C)向左平行移动 一个单位长度(D)向右平行移动 一个单位长度664 .用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 (A) 24 (B) 48 (C) 60 (D) 725 .某公司为激励创新，计划逐年加大研

3、发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12=0.05, lg 1.3=0.11, lg2=0.30)(A) 2018 年(B) 2019 年(C) 2020 年(D) 2021 年6 .秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3, 2,则输出v的值为MM(A) 9(B) 18

4、(C) 20(D) 35y _ x -1,y ,7 .设p：实数x, y满足(x- 1)2- (y- 1)2, q：实数x, y满足y之1x,则p是q的JE1,(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件28 .设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y =2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM =2 MF，则直线OM的斜率的最大值为(A)旦(B) 2 (C) (D) 1332ln x,0 二 x 二 1一9 .设直线l1, l2分别是函数f(x)=图象上点Pi, P2处的切线，l1与l2垂直相交In x, x 1,于点P,且l1，l2

5、分别与y轴相交于点A, B,则4 PAB的面积的取值范围是(A) (0,1)(B) (0,2)(C) (0,+8)(D) (1,+8)10 .在平面内，定点 A, B, C, D 满足 DA' = DB'= DC ,DA . DB = DB . DC = DC - DA =-2, 2动点P, M满足AP =1, PM =MC ,则BM 2的最大值是(A)竺(B) 49 (C) 37+6 (D) 37+ 2后 4444二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分。一 2九.2九11 .cos - -sin =.8812 .同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上

6、时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数 X的均值是.13 .已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。14 .已知函数f （x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0VXV 1时，f （x） 4',则f （一）+ f （1） =。15.在平面直角坐标系中，当 P（x, y）不是原点时，定义 P的“伴随点”为P'T 2x y-x当P是原点时，定义 P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题: 若点A的伴随点”是点A ,则点A'的“伴随点”是点A单位圆的“伴

7、随曲线”是它自身； _ , . . . ,若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线” C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 .（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0,0.5）, 0.5

8、,1）,，4,4.5）分成9组，制 成了如图所示的频率分布直方图 .砌4.母用水星吨）(I)求直方图中a的值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x的值，并说明理由.17 .(本小题满分12分)在 ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,G且cosA+cosBrsnC a b c(I)证明：sin AsinB =sinC ；(II)若 b2 c226,-a = 一bc,求 tan B .518 .(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD / BC, /

9、 ADC= / PAB=90 ° , BC=CD= - AD E 为边2AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90(I)在平面PAB内找一点M,使得直线 CM/平面PBE,并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45° ,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值19 .(本小题满分12分)已知数列an的首项为1, Sn为数列an的前n项和，Sn41 =qSn+1 ,其中q>0, nW N(I)若2a2, a3, a2 +2成等差数列，求an的通项公式;2y2、-55、一4n -3n(ii)设双曲线x 一七=1的离心率为en,且牝=一，证明：e1十牝十,十2>

10、;b a23320 .(本小题满分13分)已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点 T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐标；(II)设O是坐标原点，直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点 A、B,且与直线l交于点P.证明：存在常数 入，使得I PT I 2=入I PA I - I PB I ,并求入的值.21 .(本小题满分14分)设函数 f(x)=ax2-a-inx,其中 a R.(I)讨论f(x)的单调性；(II)确定a的所有可能取值，使得f(x)-e1-x+在区间(1, +8)内恒成立(e=2.718为自然X对数的底数)

11、。、ACCDABCBCDCAB(13)2113(14)(15) (1,3)(16) 1 -ln 2三、解答题:(17)【解析】设% 的公差为d , S7 =7a4 =28 ,a4 =4 , d =a4 丁 =1 , an =a1 +(n -1)d =n .b =ig a1 1= fg1 1=0 , b11 =Ug a1 1= fg111=1 , bid = Ug .011= M101 = 2 .记疝的前n项和为Tn ,则T100O =b +b +“。= Hga1 + ig a2 + + Sga100o .当 0w lgan 父1 时，n=1, 2,，9 ;当 1w lgan <2 时，n

12、 =10, 11,，99 ;当 2&lgan <3 时, 当 Iga。=3 时，n =1000.T1000 =0X9 +1X90 +2X900+3X1 =1893 .(18)(【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,P(A) =1 P(A) =1 -(0.30 +0.15) =0.55 .设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ,P(B A)=P(AB)P(A)0.10 0.05 _ 30.5511解：设本年度所交保费为随机变量X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX =0.85 0.30 0.15a

13、 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05=0.255a +0.15a +0.25a 十 0.3a 十0.175a + 0.1a = 1.23a ,平均保费与基本保费比值为1.23.(19)17B5【解析】证明：.AE=CF=5,4，,AE CF -=,AD CDEF II AC .四边形ABCD为菱形，:.AC_LBD,EF _LBD ,EF _LDH ,EF _LDH .AC =6,AO =3;又 AB =5, AO_LOB,OB =4 , AE /OH =OD=1 , AODH =DH =3 ,od 2 =|oh|2 +|d'h 2,D

14、9;H ±OH .又OH I EF =H ,D'H 上面 ABCD .建立如图坐标系H _xyz .B(5,0,0), C(1,3,0), D'(0,0,3), A(1 , 3 , 0 ),uuuAC =(0, 6, 0 ,uuuuuurAB =(4, 3, 0 ), AD'=(-1, 3, 3 %ur设面ABD,法向量ni =(x, y , z),. ri AB ,= 0 4x 3y =0r1 AD： =0-x 3y 3z =0x =3取y = Y ,|z 二5urni =(3, 4,5 uu同理可得面 AD,C的法向量n2 =(3,0,1),ur uu_

15、9 57 5=5 2 10 = 25sin=2 x- y =1 , A 点坐标为(一2, 0), 3 95 25(20)【解析】当t =4时，椭圆E的方程为则直线AM的方程为y=k(x+2).222_23 4k2 x2 16k2x 16k2 12=02解得 x=<或 x=_8k -63 4k，则 AM = 1 k28k2 -61723 4k=1 k212_23 4k11 2因为 AM _LAN，所以 A k J12一 29 = 1k1 23 4 11 - ,k1243k k因为 |AM|=|AN|, k>0,212所以1 *3 4k2=1 k2123k24 ,整理得（k1）（4k

16、k +4 ）=0, + k4k2 -k +4=0无实根，所以k二11所以AAMN的面积为1 AM2=11 12 .121443 449 22x y =1联立443 一并整理得,y =k x 2k2 1 k -2:0直线AM的方程为y=k(x+%t), 22x y =1联立 4 t 3 并整理得，（3+tk2 ）x2+2t4k2x+t2k2 3t =0 y =k x tt tk2 -3 t213 tk所以 AM =、：1 k2t tk2 -3 t3 tk2=1 k26 t3 tk23k因为2 AM二AN2 1k26 t所以 2 ' 1k 3 tk26t"1 k t ,整理得,3

17、kk26k -3kk3 -2因为椭圆E的焦点在x轴，所以t>3,即26k -3kk3 -2整理得k3 -2(21)【解析】证明:x -2x 2(22)xf x =e1 x -24x2exI - +22l.3 aw 10, 1 )+2 (x+2) ) I"2)当 xjq, -2J (-2, + 8 H, f'(x)>0 f （x ）在（血，-2加（-2, +4了:单调递增x>0 时，2 ex > f (0 f -1 x 2 x -2 ex x 2 0ex -a x2 -2x ex -ax -ax xex - 2ex，ax，2ail-x2ex +ax 2

18、一一 x-2由（1）知，当x>0时，f（x户x 2的值域为（-1, 十厘），只有一解.t 2 t, 八八】使得e = -a , t = (0 , 2t 2当 x W(0,t)时 g <x) <0 , g(x)单调减；当xW (t,在)时 g'(x) >0 , g(x)单调增et-a(t +1)/4 十1 e ett2t2t记k（t户含,在tJ0, 2】时,k '(t )=e-"?>0，.- k(t )单调递增 t 21e2 h (a )=k (t )匚 | 一 , 一 .24请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号【解析】(I )证明： DF 1CERt:A DEF sRDCEDZGDF ./DEF ZBCFDF _CFDG BC. DE =DG, CD =BCDF CFDG BCAGDF sBCF/CFB ZDFGZGFB ZGFC ZCFB ZGFC dDFG /DFC =90 /GFB+/GCB=180 %.B, C,