线性代数期末考试试卷+答案合集

1、XXX大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 2分，共10分）1.若1-3105x-12-2=0,则/x1x2 x3 = 02.若齐次线性方程组« X1十 ）汉2+x3 = 0只有零解，贝4九应满足X1 + x2 + x3 =0 J3.已知矩阵A, B, C=（Cj）s即，满足AC=CB,则A与B分别是 阶矩阵4.矩阵A =a11a21a31a12a22a32 ,的行向量组线性共10分）5. n阶方阵A满足A2 -3A-E =0 ,贝U A,=。二、判断正误（正确的在括号内填，错误的在括号内填“X” 。每小题2分，共10分）1 .若行列式D中每个元素都大于零

2、，则 D：0。（）2 .零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3 .向量组a1，a2,，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组 a1，a21，as线性 相关。（）0 10 04.5.若人为可逆矩阵A的特征值，则A”的特征值为九。（）三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2分,1 .设A为n阶矩阵，且A =2,则|AAT=（）。2n 2n，2叱42 . n维向量组 由,。2,，as （3 < s < n）线性无关的充要条件是（）。%, 口2，us中任意两个向量都线性无关«1, 32,，气中存在一个向量不能用其余向量线性

3、表示%, 口2,，j中任一个向量都不能用其余向量线性表示0（1, 口2，Us中不含零向量 s3.下列命题中正确的是（）。任意n个n +1维向量线性相关任意n个n +1维向量线性无关任意n +1个n维向量线性相关任意n +1个n维向量线性无关4.设A, B均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。若A, B均可逆，则A + B可逆若A, B均可逆，则 AB可逆若A + B可逆，则 A-B可逆若A+B可逆，则 A, B均可逆5.若以，V2, V3,匕是线性方程组 AX=0的基础解系，贝U V1+V2+V3+V4> AX = 0（）解向量 基础解系通解A的行向量四、计算题（每小题9分，共63分）x

4、+abcdax +bcdabx +cdabcx +d1.计算行列式O2.设 AB =A+2B，且 A =131<0解.(A 2E)B(A-2E)一22I.-1-1-21-11一5-1 , B=(A-2E),A= 42-2-32-21-233.-1 10 00 -1100、0-11 )2 0 0<0120031204、3 12J且矩阵X满足关系式X(C - B) = E,4.问a取何值时,F列向量组线性相关?a1一21-2j12 a11212 a5._|?X1 X2 X3九为何值时，线性方程组X +£x2 +x3X1 X2 X3- - 3=_2有唯一解,-2无解和有无穷多解

5、？当方程组有无穷多解时求其通解。 当九#1且九#-2时，方程组有唯一解;当九二-2时方程组无解-21-ri当九=1时，有无穷多组解,通解为C1c2 0：16.设%1、41929-11-3/r 10-3I-1 J31077求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示07.设 A =1 0 00 10,求A的特征值及对应的特征向量<0 2 1；五、证明题（7分）若A是n阶方阵，且AAT=I, A = _1,证明 A+I| =0。其中I为单位矩阵XXX大学线性代数期末考试题答案、填空题1. 52.3.4.相关5.5. A -3E二、判断正误1. X2.3.4.5.三、单项

6、选择题2.3.4.5. a四、计算题1.2.一2-1(A -2E)B =A1(A-2E)-2-1_ 1一5)_1B=(A-2E) A =-2- 223.4.a1, a2,a3 =1 一 2 一 一，= -(2a+1)2(2a-2)当 a =1 一-或a =1时，向重组2a1,32, a3线性相 当九#1且九¥-2时，方程组有唯一解;当九=-2时方程组无解当九=1时，有无穷多组解，通解为一-210 + c1J 一-一1 -一11+C2 06.则r (ai,a2,a.3,a4)=3 ,其中 a1，a2,a3 构成极大无关组，a4 =-2a + 2a2 + a37.特征值加=九2 =九3

7、=1 ,对于入1 = 1-0%E - A = 0-000-1-000 ,特征向量为k 0+1 0-2 0一/一上五、证明题2(I +A, = 0 ,."I +A)=0一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求)1、设A, B为n阶方阵，满足等式AB=0,则必有()(A)A=0 或 B=0; (B) A + B=0; (Q A=0 或 B=0; (D) A+B=0。2、 A和B均为n阶矩阵，且(A+B)2 =A2 +2AB +B2 ,则必有(A) A = E;(B) B = E;(C) A=B. (D) AB=BA。3、设A为mn矩

8、阵，齐次方程组Ax = 0仅有零解的充要条件是(A) A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()(A) A 的秩小于 n ；(B)A = 0 ;(C) A的特征值都等于零；(D) A的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式|A=-5, A*是A的伴随矩阵，则A=。6、 A为 nn 阶矩阵，且 A2 -A-2E =0 ,贝 U(A+2E)=17、已知方程组2<121 Yx1、0、3 a +2 X2 =3 无解，M a=a 一2 人X3 J

9、d/2228、一次型f (XL.) =2xi +3x2+tX3+2x1X2+2x1X3是正 止的，则t的取 值氾围9、计算行列式D =1 -x 1111 y 1三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)10、计算n阶行列式四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)11、若向量组%,g,线性相关，向量组%,心,5线性无关。证明:(1)必能有外,%线性表出；(2)汽4不能由豆1,豆2,豆3线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A+E可逆，且f (A) = (E - A)(E+A)证明(1) (E+f(A)(E+A)=2E;(2) f(f(A)=A五、解答题

10、(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)213、设 A = 0<00 0(3) 2 ,求一个正交矩阵P使得P,AP为对角矩阵。2 3X1X2X314、已知方程组4 x1 +2x2 +ax3 .2Xi +4x2 +a X3二0=0与方程组Xi +2x2 + X3 = a -1有公共解。二0求a的值15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知乙，,是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C; 2、D; 3、A;Ao二、填空题5、-125;三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:第二列减第一列，第四列减第三列得：D

11、 =X101-x00（4分）按第一行展开得按第三列展开得D = -xy2 2=x y 。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子角形行列式nDn I - XJ 11 、1J1X2x2 3xnXnX2IIIXn +3,再通过行列式的变换化为上（4分）n= 3n4|V Xi 3（4分）四、证明题11、证明:、因为Ct2 ,0(3,二3线性无关，所以口2 ,如线性无关。，又必，口2 , 口3线性相关，故«1能由仪2,支3线性表出。(4 分)r(«i，口2 ,口3)=3 ,(2)、(反正法)若不，则口4能由内 ,口203线性表出，不妨设a4 =先5+k2a2 +k

12、3ct3。由(1)知，%能由%, 外线性表出，不妨设 % =ti(X2 +t2 %。所以 «4 =匕(22 +t2 %) +k2a2 +卜333，这表明Ct2 , 0(3,口4线性相关，矛盾。12、证明1(1) (E+f (A)(E+A) =E+(E -A)(E+A) (E+A)=(E +A) +(E - A)(E + A)(E + A) = (E + A) + (E - A) = 2E(4 分)(2) f(f(A)=E f(A)E+f(A)1 由(1)得：E+f (A)= (E+A),代入上式得21 1=(E + A) (E A) = A(4 分)2 2五、解答题13、解：(1)由

13、|KE-A=0得A的特征值为九产1, %=2,九3 = 5。(4分)0、(2) % =1的特征向量为匕=-1 ,1、% =2的特征向量为亡2 = 0 ,<0>0、% =5的特征向量为4 = 1。(3分)(3)因为特征值不相等，则，必学正交。(2分)(4)将占qq单位化得P1 =p2 =1p3 =-20、1(2分)(5)取 P =(R, P2, P3 )=01飞I 130121,2(6)PAP =(1分)14、解：该非齐次线性方程组 Ax =b对应的齐次方程组为因R(A) = 3 ,则齐次线性方程组的基础解系有 1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解(5分)另一方面，记向量巴

14、=21(，+工)，则 直接计算得U=(3,4,5,6)T =0,。就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原x =k 1Z R。方程组的通解为(7分),且的解即为所求全部公共解.15、解：将与联立得非齐次线性方程组： 若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解对的增广矩阵A作初等行变换得111112420 ,1110 ,0T01a -10000(a-2)(a-1)0a-b<001 一 aa-b1a2 a1(4分)1° 当 a=1 时，有 r(A) =r(A) =2 <3,方程组有解,即与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时1002010010000、000.，

15、则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为所以与的全部公共解为k 01,k为任意常数.（4分）2 当a =2时，有r（A）=r（A）=3,方程组有唯一解，此时10010010000100、1-100故方程组的解为：1 ,即与有唯一公共解1线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）01-b（4分）单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21ai2a 22ai3a23a11a21=n,则行列式a11 a2 ' a13a21 a 22 ' a23等于（A. m

16、+nB. - （m+n）D. m- nC. n - m2.设矩阵A=0031等于（A.口300012 0B.0 120001 3?C.D.01303.设矩阵3A= 1v2-1012-14,A是A的伴随矩阵,中位于（1,2）的元素是（A. - 6B. 6C. 2D.4.设A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC,则必有（A. A =0B. BrC 时 A=0C. A#0 时 B=CD. | A| #0 时 B=C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组a 1, a 2,2,一，一均线性相关，则（A.有不全为1+ 入 2 a 2+入 s

17、 as=0和入1 B l+入2 B 2+人B.有不全为0的数人1,0 1)+ 入 2 (a 2+ B 2)+入 s (a s+ B s)=0C.有不全为a 1-0 1)+ 入 2 (a 2-0 2)+入 s (as- Bs) =0D.有不全为入s和不全为0的数医1,医2,，（1s使入10C1+入20C2+ 入 s a s = 0 和医 1 B l+ 医 2 B 2+ 医7 .设矩阵A的秩为r ,则人中（A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，A. Y 1+-Y 2 是 Ax=0 的一个解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一个解9.

18、设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nC. A=0s B s = 0）B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0刀1,刀2是其任意2个解，则下列结论错误的是（B. - ri 1+- ri 2是 Ax=b 的一个解2 12 1D.2 Y 1-刀2是Ax=b的一个解）B.秩（A）=n- 1D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数人和向量a使Aa =入a ,则a是A的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a ,使（入E- A） a =0,则人是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的

19、3个互不相同的特征值， a 1, a 2, a 3依次是A的属于入1,入2入3的特征向量，则a 1, a 2, a 3有可能线性相关11 .设人°是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于人°的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）B. k<3A. k <3C. k=3D. k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A|2必为 1B.|A| 必为 1C. A- 1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC则（）A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14

20、 .下列矩阵中是正定矩阵的为（）,2 3:A. |2 3 ( 4；彳 00 'C. 0 24945)B.46111 1 1 ”D. 1 2 0<1 0 2/第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.356 =.9253616 .设 A=； ； ：, B=： 2 :则 A+2B=17 .设 A=(aj) 3 x 3, | A|=2 , Aj表示| A|中元素aj的代数余子式(i,j=1,2,3)，则(a 11A1+a12A22 + a13A23)+(a 21A21+a

21、22A22+a23A23)+(a 31A21+a32A22 + a33A23)=18 .设向量（2,-3, 5）与向量（-4, 6, a）线性相关，则a= .19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解,则它的通解为.20 .设A是mX n矩阵，A的秩为r（n）,则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a + B与a - B的内积（a + B , a - B ）22 .设3阶矩阵A的行列式| A|=8 ,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为23.设矩阵 A=0 01V210102

22、2、-1是它的一个特征向量，则 a所对应的特征值24.设实二次型f（x1,X2,X3,X4,X5）的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分）,1225.设 A= 3 422 3 -1 1-24 0 J.求(1) ABT; (2) |4A|.26.试计算行列式3-521110-5-131327 .设矩阵A=28 .给定向量组a 1=试判断a 4是否为29 .设矩阵A=<1-22【33031,求矩阵B使其满足矩阵方程A&A+2B.31013a 2=2,-24-13-120306232-6340、0,a 4=-1274lL<9>

23、;a3=a 3的线性组合;若是，则求出组合系数。求：（1）秩（A）;30.设矩阵A=0-22-2与4<24-3./（2） A的列向量组的一个最大线性无关组1的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,X 2,X 3)= x2 +2x2 -3x3 +4X1X2 -4x1x3 -4x2x3 ,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A满足A3=0,试证明E- A可逆，且（E- A） - 1=E+A+A2.33 .设“。是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，Hs H

24、2是其导出组Ax=0的一个基础解系试证明（1 ） Y 1= Y。+卫1 ,刀2="。+卫2均是AX=b的解；（2） Y 0, Y 1, Y 2 线性无关。答案：14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D6.D7.C8.A9.A11.A12.B13.D一、单项选择题（本大题共5.C10.B14.C“ 1+C（ Y 2-刀 1）（或 Y 2+C（刀 2-刀z2 +z2 +z3 z2二、填空题（本大题共 10空，每空2分，共20分）15. 6 16. 卜 3 7） 17.4 18.- 10 19.1-1 与 7/1）, C为任意常数20. n - r 21.- 5 22.-

25、2 23. 1 24.三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分）1 225.解（1） aB= 3 4<-1 20 ",'2-2 ） 84=1861010（2） |4A|=4 3| A|=64| A| ,而所以 14 A|=64 （- 2） =- 12812 0| A|= 3 4 0 =-2 .-1 2 126.解3-52-1315-110-1311-105-111-15-6-5=30 10 =40.-5-5-5-5-5-527.解 AB=A+2B 即(A-2E) B=A,23,1(A-2E) -1-1-3V1-8-6所以B=(A- 2E)1A=-564*1 2

26、-912-6928.解一0-1,61-2-1102-1491131-1814814,10，1所以a 4=2 a 1+ a2+a 3,组合系数为（2,1,1).0J解二考虑a 4=X1a 1+X2 a 2+X3 a 3,-2X1 +x2 +3X3 =0X1 -3X2 =-12x2 2x3 =43X1 4X2 -X3 =9.方程组有唯一解（2, 1,1)组合系数为(2, 1, 1).29.解对矩阵A施行初等行变换(1)秩(B)T 0 2 "q -2 T 02'0 6-20 328-32 8-2>0 006-26 3 -2J0 00-217J=3,所以秩（A)=秩(B) =3.9-203-230-120=B.0,（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组（A的第1、2、5列或1、3、4歹，或1、3、5