帮你归纳总结(二十二)直线和圆的易错题剖析

1、帮你归纳总结（二十二）：直线和圆的易错题剖析例题1、求过点（2,1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为 j+¥=1。a b2 1 （2,1）在直线上，2 +=1 ,a b一 1又一ab=4,即 ab=8 ,2由、得a =4,b=2,故所求直线方程为 x + 2y=4。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为-db ,而不是-abo22故所求直线方程应为：x+2y=4,或（£j 珏2j4y0-

2、= 或（/1）x 2（理+1）y+ 4= 0。例题2、求过点A（42）且与x轴的交点到（1,0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k,其方程为y-2=k（x+4）,2则与x轴的交点为（4 ,0）, k2 ， 一 一 1- 4 - - -1 = 5 ,斛得 k =-。k5故所求直线的方程为 x + 5y-6 = 0。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = -4也符合题意。例题3、求过点（1,1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为x+丫 =1,将（1,1）代入得a=2, a a从而得所求直线方程为 x+y-2

3、=0o剖析：上述错解所设方程为 上+'=1,其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上， a a横、纵截距为0且过点（1,1）的直线y = x也符合条件。222例题4、已知圆的万程为 x +y +ax+2y+a =0, 一定点为 A（1,2）,要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得:a 22(x 万)(y 1) =24 -3a244-3a24其圆心坐标为 C ( a , 1),半径r2当点A在圆外时，过点 A可作圆的两条切线，则AC >r即(1 + a)2 + (2 +1)2 >a-。即 a2 + a + 9 a 0,解得 aw R。2.4剖析：本

4、题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax+ 2y+a2 = 0表示圆的充要条件，上述解2法仅由条件得出 AC >r,即a +a + 9>0,却忽视了 a的另一制约条件2 2243a >0。事实上，由a +a +9 A0及43a >0可得a的取值范围是(273,273)。3 3例题5、已知直线l : y = x +b与曲线C : y = Ji - x2有两个公共点，求实数b的取值范围。，y=x.b 、,口 22错解：由« ,不，消去 x得：2y 2by+b 1 = 0。( * )y =- x2 l与曲线C有两个公共点，A = 4b2 -8(b2-1)>

5、0 ,解得一72 <b< <2剖析：上述解法忽视了方程 y =1x2中y> 0， 1 < x < 1这一限制条件， 得出了错误的结论。事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。.22 = 4b -8(b -1) >0y 1 + y 2 = 2b > 0,解得 1 w b w 4 2。22b .1 >y1 y2 =至 0例题6、等腰三角形顶点是 A(4, 2),底边的一个端点是 B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为(x, y),依题意有：AC = AB ,即：v'(x4)2

6、+(y 2)2 = J(4 3)2 +(25)2 (x-4)2+(y2)2 =10,即为C点的轨迹方程。这是以A (4, 2)为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A B、C三点为三角形三个顶点，所以 A、日C三点不共线，即 B、C不能 重合，且不能为圆 A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出 现增解，造成的解题错误。x +3 (x#3#4事实上，C点的坐标须满足， ，且« 2,“5 d2、2故端点 C的轨迹方程应为(x-4)2+(y-2)2 =10 (x #3, y #5;x= 5, y ¥1)。它表示以(4, 2)为圆心，以 同 为半径的圆，除去(3, 5)

7、(5, -1 )两点。5x 3y _15例题7、求z =3x+5y的最大值和最小值，使式中 x, y满足约束条件：, y W x +1、x-5y <3错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线 L0： 3 x + 5 y = 0。由于经过B点且与L。平行的直线与原点的距离最近，| x _ 5 y = 3故z=3x+5y在B点取得最小值。解方程组，、5x+3y = 15得B点坐标为(3, 0),柒小=3m3+5父0=9。由于经过A点且与Lo平行的直线与原点的距离最大,故z = 3x + 5y 在A点取得最大值。"、一 y = x+11 一，解方程组,y，得A点坐标为5x+3y =1

8、5八3一5z最大=3父一 +5M=17 °22剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线Lo的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数 Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造 成了解题失误。事实上，过原点作直线 Lo： 3x + 5y = 0 ,由于使z =3x+5y >0的区域为直线Lo的右上方，而使 z = 3x + 5y v 0的区域为 Lo的左下方。由图知z =3x + 5y应在A点取得最大值，在 C点取得最小值。ry = x +1 m解万程组3 y，得c(2, 1)。x 5y

9、= 3z 最小=3父(-2) + 5父(-1) = 11 o2例8、已知曲线 C： y = 二 与直线l： y =-x +m仅有一个公共点，求 m的范围。2，一一<20 -x222'y=-x + m镐斛：曲线C： y =可化为x +4y =20 (1),联立J _，得:2x2 +4y2 =20-225x 8mx+4m -20=0,由 a = 0,得m = ±5。剖析：方程(1)与原方程并不等价，应加上 y w 0,"故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。(如图)，结合图形易求得 m的范围为m = 5 或 一 2 V5 < m < 2 V5。在将方程

10、变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。3例9、设双曲线的渐近线为：y = ±-x ,求其离心率。2错解：由双曲线的渐近线为：y = ±x,可得：b=3 ,从而e = £ =11+3 =四2a 2a . a223剖析：由双曲线的渐近线为 y=±2x是不能确定焦点的位置在 x轴上的，当焦点的位一. . b2一 cb21313置在y轴上时，b= 2,故本题应有两解，即：e = ±=1+=二3或 3。a 3aa223例10、直线L： y =k(x5)与圆。x2 +y2 =16相交于A、B两点，当k变动时，弦 AB 的中点M的轨迹方程。错解：易知直线恒过定点