机械优化设计_第一章绪论及优化设计概述

1、安徽工程大学机械与汽车工程学院机械优化设计梁利东时间: 2011年2月机械优化设计学习参考书学习参考书v孙靖民孙靖民. 机械优化设计机械优化设计. 机械工业出版社机械工业出版社(教材教材)v陈立周陈立周. 机械优化设计方法机械优化设计方法. 冶金工业出版社冶金工业出版社v刘惟信刘惟信. 机械最优化设计机械最优化设计. 清华大学出版社清华大学出版社v陈秀宁陈秀宁.机械优化设计机械优化设计.杭州：浙江大学出版社杭州：浙江大学出版社v田福祥田福祥.机械优化设计理论与应用机械优化设计理论与应用. 冶金工业出版社冶金工业出版社. v机械优化设计目目 录录v绪论绪论v第一章第一章 优化设计概述优化设计概述

2、v第二章第二章 优化设计数学基础优化设计数学基础v第三章第三章 一维搜索法一维搜索法v第四章第四章 无约束优化方法无约束优化方法v第五章第五章 约束优化方法约束优化方法v第六章第六章 多目标优化方法多目标优化方法v第七章第七章 机械优化设计实例机械优化设计实例机械优化设计绪绪 论论一、优化相关概念一、优化相关概念二、机械的传统设计到优化设计二、机械的传统设计到优化设计三、机械优化设计的发展三、机械优化设计的发展四、机械优化设计的应用概况四、机械优化设计的应用概况五、机械优化设计的作用五、机械优化设计的作用机械优化设计来源：优化一语来自英文来源：优化一语来自英文OptimizationOptim

3、ization，其本意是寻优，其本意是寻优的过程，最优化可简写为的过程，最优化可简写为OptOpt；优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或极小优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或极小值的过程。值的过程。例如例如, , 在右图中，求得一维函在右图中，求得一维函数数 f(x) 最小值的条件为：若最小值的条件为：若取取 x*，则，则 f(x) 取得最小值取得最小值 f(x*)。目的是为了在完成某一任务时目的是为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最小，所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。而使其收益最大、效果最好。f fx*x xf(x*)0f(x)f(x)优化优化是万

4、物演化的自然选择和趋势是万物演化的自然选择和趋势机械优化设计H Hh hb b例如，要求设计一个如右例如，要求设计一个如右下图所示的防洪堤坝。为下图所示的防洪堤坝。为了能防洪水，高度必须足了能防洪水，高度必须足以保证洪峰到来时，洪水以保证洪峰到来时，洪水不会漫入堤岸；堤坝的强不会漫入堤岸；堤坝的强度足以保证巨浪不会冲垮度足以保证巨浪不会冲垮堤坝。同时希望得到一个堤坝。同时希望得到一个省时省力省经费的设计方省时省力省经费的设计方案。案。 获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。 优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。优化

5、过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。机械优化设计优化方法优化方法v实际问题表达成的函数类型很多：实际问题表达成的函数类型很多： 确定型、不确定型函数；确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。线形、非线形（二次、高次、超越）函数。v 变量类型也很多：变量类型也很多： 连续、离散、随机变量等等。连续、离散、随机变量等等。v 产生很多的优化算法：产生很多的优化算法： 无约束优化、约束优化：无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化；单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。机械优化

6、设计机械设计方法机械设计方法v传统设计方法传统设计方法 基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得一个一个可行可行的设计方案。的设计方案。 传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、振动理论振动理论 常凭经验、试算、校核等方法。常凭经验、试算、校核等方法。v现代优化方法现代优化方法 基于计算机的应用，设计过程包括：基于计算机的应用，设计过程包括： 从实际问题中抽象出数学模型；从实际问题中抽象出数学模型； 选择合适的优化方法求解数学模型。选择合适的优化方法求解数学模型。 特点：以人

7、机配合或自动搜索方式进行，能从特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的所有的”的的可行方案中找出可行方案中找出“最优的最优的”的设计方案。的设计方案。机械优化设计传统设计到优化设计传统设计到优化设计人工试凑和定性分析的比较过人工试凑和定性分析的比较过程，被动的重复分析产品的性程，被动的重复分析产品的性能能经验设计、近似计算、经验设计、近似计算、一般的安全寿命一般的安全寿命可行设计可行设计。机械优化设计设计问题设计问题数学模型数学模型优化途径，优选设计参数优化途径，优选设计参数设计方案设计方案方案分析方案分析最优？最优？否否是是最 优 的 设最 优 的 设计方案计方案图图2: 2: 优化

8、设计过程框图优化设计过程框图利用电子计算机主动的利用电子计算机主动的设计产品参数，获得最设计产品参数，获得最优方案优方案理论设计、理论设计、精确计算、精确计算、优化设计优化设计机械优化设计优化设计的一般过程优化设计的一般过程 1 1）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设计数学模型；化设计数学模型； 2 2）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序；）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序； 3 3）求得数学模型的最优解。）求得数学模型的最优解。 机械优化设计机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设

9、计参数，使某项或几设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。项设计指标获得最优值。工程设计上的工程设计上的“最优值最优值”(Optimum)(Optimum)或或“最佳值最佳值”系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。最令人满意和最适宜的值。机械优化设计工程案例工程案例1、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据给、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据给定数据，在定数据，在16小时内，进行小时内，进行16000各可行性设计的选择，各可行性设计的选择，从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给出必须

10、的从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给出必须的精确数据。精确数据。 传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅3个方案，且个方案，且并非最优。并非最优。2、美国、美国BELL飞机公司利用优化方法解决飞机公司利用优化方法解决450个设计变量个设计变量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻35%。3、波音公司，在、波音公司，在747的机身设计中受到了减轻质量、缩的机身设计中受到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。短生产周期、降低成本的效果。4、武汉钢铁公司从德国引进的、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司薄板轧

11、机，经该公司自主优化后，就多盈利几百万马克。自主优化后，就多盈利几百万马克。机械优化设计优化设计的作用（优点）：优化设计的作用（优点）：v 使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；优解成为可能；v 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；进行；v 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；能；v 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；的质量；v 提高生产效率，降低产品开发周期；提高生产效率，降低产品开发周

12、期；v 机械优化设计机械优化设计的发展机械优化设计的发展1 1、古典优化思想、古典优化思想: 17: 17世纪，利用微分学和变分学的解析世纪，利用微分学和变分学的解析解法。解法。 仅能解决简单的极值问题仅能解决简单的极值问题2 2、经典优化方法：、经典优化方法：2020世纪世纪4040年代，数学规划方法年代，数学规划方法 可求解包含等式约束和不等式约束的复杂优化问题。可求解包含等式约束和不等式约束的复杂优化问题。3 3、现代优化设计：、现代优化设计： 20世纪世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。遗传

13、算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。 并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。散规划等。优化设计从无约束优化设计从无约束有约束优化问题；连续有约束优化问题；连续变量变量离散变量；确定型离散变量；确定型随机型模型；单目标优化随机型模型；单目标优化多目标优化。

14、多目标优化。机械优化设计v优化设计：优化原理与方法，在科学、工程和社会优化设计：优化原理与方法，在科学、工程和社会的实际问题中的应用，即为优化设计。的实际问题中的应用，即为优化设计。v机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。标的最优设计方案和最佳设计参数。机械优化设计 机构运动参数的优化设计是机械优化设计发机构运动参数的优化设计是机械优化设计发展较早的领域。国内近年来才开始重视，但发展较早的领域。国内近年来才开始重视，但发展迅速

15、，在机构综合、机械的通用零部件的设展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。计、工艺设计方面都得到应用。 在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪是在上世纪6060年代后期才得到迅速发展的。年代后期才得到迅速发展的。机械优化设计的应用概况机械优化设计的应用概况 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：要有以下几方面：机械优化设计1、目前优化设计多数还局限在参数最优化这种、目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研数值量优化问题

16、。结构型式的选择还需进一步研究解决；究解决；2、优化设计这门新技术在传统产业中普及率还、优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高；不高；3、把优化设计与、把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。化设计发展的趋势之一。 优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、商优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、商业和国防等各部门，解决诸如生产规划、经济管业和国防等各部门，解决诸如生产规划、经济管理、能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制理、能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制系统等方面的最优化问题，它是促进技术进步和系统等方面的最优化问题，它是促进技术进步和国民

17、经济发展的一种有效方法。国民经济发展的一种有效方法。机械优化设计本课程的目的和任务本课程的目的和任务v1、了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；、了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；v2、初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本、初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的能力；方法解决简单工程实际问题的能力；机械优化设计第一章第一章 优化设计概述优化设计概述一、优化设计问题引例一、优化设计问题引例二、优化设计问题的数学模型二、优化设计问题的数学模型三、优化设计问题的基本解法三、优化设计问题的基本解法 机械优化设计 一、引例一、引例 现用薄板制造一体积为现用薄板制造一体

18、积为100m3，长度不小于，长度不小于5m的无上盖的的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。宽、高尺寸。分析：分析：（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。（2）设计参数确定：长）设计参数确定：长x1 、宽、宽x2 、高、高x3；（3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）体积要求）体积要求 （b）长度要求）长度要求货箱的优化设计货箱的优化设计机械优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：)(2min313221xxxxxxS321,xxx

19、约束条件：约束条件：1000053211332211xxxhxgxgxg机械优化设计最大产值生产资源分配问题最大产值生产资源分配问题已知：某工厂生产已知：某工厂生产A和和B两种产品，两种产品，A产品单位价格为产品单位价格为PA万元，万元，B产品单位价格为产品单位价格为PB万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A产品产品需消耗煤需消耗煤aC吨，电吨，电aE度，度，aL个工时；每生产一个单位个工时；每生产一个单位B产品需消耗煤产品需消耗煤bC吨，电吨，电bE度，度，bL个工时。现有可利用生个工时。现有可利用生产资源煤产资源煤C吨，电吨，电E度，度，L个工时，欲找出其最优分配方个工时，欲找出其最优

20、分配方案，使产值最大。案，使产值最大。（1）目标：产值的表达式；）目标：产值的表达式；（2）设计参数确定：）设计参数确定：A产品产品xA、B产品产品xB （3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束； （b）生产资源电约束；）生产资源电约束； （c）生产资源工时约束；）生产资源工时约束；分析：分析：机械优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：BBAAxPxPPmaxBAxx ,约束条件：约束条件：0, 0BABLALBEAEBCACxxLxbxaExbxaCxbxa机械优化设计已知：传动比已知：传动比i，转速，转速n，传动功率，传动功率P

21、，大小齿轮的材，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。料，设计该齿轮副，使其重量最轻。直齿圆柱齿轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计（1）目标：圆柱齿轮的体积）目标：圆柱齿轮的体积V或重量或重量w最小；最小；（2）设计参数确定：模数）设计参数确定：模数m、齿宽、齿宽b、齿数齿数z1（3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）大、小齿轮满足弯曲强度要求；）大、小齿轮满足弯曲强度要求； （b）齿轮副满足接触疲劳强度要求；）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （c）齿宽系数要求；）齿宽系数要求； （d）最小齿数要求）最小齿数要求分析：分析：机械优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：

22、设计目标：)()(4max2121mizmzbWbzm,1约束条件：约束条件：017)(00001112211zmzbddHHFFFF齿宽系数机械优化设计二、优化设计问题的数学模型二、优化设计问题的数学模型 优化设计的优化设计的数学模型数学模型是描述实际优化问题的设计是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系内在联系，是，是进行优化设计的基础。进行优化设计的基础。优化设计数学模型的三大要素：优化设计数学模型的三大要素： 设计变量设计变量 约束条件约束条件

23、 目标函数目标函数机械优化设计1、设计变量、设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以构件几何量（如尺寸、位示，这些基本参数可以构件几何量（如尺寸、位置等），也可以是物理量（如质量、频率等），置等），也可以是物理量（如质量、频率等），还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以及非物理量（如寿命、成本等）。及非物理量（如寿命、成本等）。 在设计过程中进行选择并最终必须确定的在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项各项独立的基本参数独立的基本参数，称作，称作设计变量设计变量，又叫做优化参，

24、又叫做优化参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、调数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直整，一直处于变化状态处于变化状态。机械优化设计 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为示。设计变量的数目称为优化设计的维数优化设计的维数，如，如n个设计变量，个设计变量，则称为则称为n维设计问题。维设计问题。Tnnxxxxxxx,2121 由由n n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称作为坐标所组成的实空间称作设计设计空间空间。一个。一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。

25、按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量离散变量（例如各种标准规（例如各种标准规格等）。格等）。nxxx,21机械优化设计 只有两个设计变量的二维设计问题可用图只有两个设计变量的二维设计问题可用图1中（中（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图问题可用图1中（中（b）所表示的空间直角坐标表示。）所表示的空间直角坐标表示。图图1 设计变量所组成的设计变量所组成的设计空间设计空间（a）二维设计问题）二维设计问

26、题 （b）三维设计问题）三维设计问题机械优化设计设计空间设计空间设计点的集合（设计点的集合（ 维实欧氏空间维实欧氏空间 ）。）。nnRX1R2R3R)4( nRn当设计点连续时当设计点连续时, , 为直线为直线; ; 为平面为平面; ; 为立体空间为立体空间; ; 为超越空间为超越空间. . 设计空间的维数表征设计的设计空间的维数表征设计的自由度自由度，设计变量愈多，设计变量愈多，则设计的自由度愈大，可供选择的方案愈多，设计愈灵活，则设计的自由度愈大，可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大，求解亦愈复杂。但难度亦愈大，求解亦愈复杂。 小型设计问题：一般含有小型设计问题：一般含有210个设

27、计变量；个设计变量； 中性设计问题：中性设计问题：1050个设计变量；个设计变量； 大型设计问题：大型设计问题：50个以上的设计变量。个以上的设计变量。目前已能解决目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。机械优化设计如何选定设计变量？如何选定设计变量？ 任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以选择设计变量时应注意一下几点：以选择设计变量时

28、应注意一下几点： 抓主要，舍次要抓主要，舍次要 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至不考虑；量，有的甚至不考虑； 根据要解决的设计根据要解决的设计问题的特殊性问题的特殊性来选择设计变来选择设计变量。量。机械优化设计2、约束条件、约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要是工程上不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。求，就称为可行

29、设计。 一个可行设计必须满足某些一个可行设计必须满足某些设计限制条件，设计限制条件，这些限制条这些限制条件称作约束条件，简称约束。件称作约束条件，简称约束。 根据约束性质分：根据约束性质分： 性能约束性能约束针对性能要求而提出的限制条件。如选择某针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等；些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等； 侧面约束（边界约束）侧面约束（边界约束）针对设计变量的取值针对设计变量的取值范围加以限制的约束。如允许机床主轴选择的尺寸范围，对范围加以限制的约束。如允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。轴段长度的限定范围等

30、。分类分类机械优化设计 显式约束显式约束和和隐式约束隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式，如复杂结间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式，如复杂结构中的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过构中的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。有限元等方法计算求得。 根据数学表达式的形式分：根据数学表达式的形式分： 等式约束：等式约束：0hX 不等式约束：不等式约束：0g X 机械优化设计可行域：可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间凡满足所有约束条

31、件的设计点，它在设计空间的活动范围。（对应的活动范围。（对应不可行域不可行域） 如右下图所示满足两项约束如右下图所示满足两项约束条件的二维设计问题的可行域条件的二维设计问题的可行域D D为为ABCABC涵盖区域，包括线段涵盖区域，包括线段ACAC和和圆弧圆弧ABCABC在内。在内。02)(016)(2222211xxgxxxg约束条件：约束条件：机械优化设计一般情况下，设计可行域可表示为：一般情况下，设计可行域可表示为：mjxhluxgxDju, 2 , 10)(, 2 , 10)(不可行域不可行域:可行点和不可行点可行点和不可行点 D内的设计点为可行点内的设计点为可行点,否则为不否则为不可行

32、点（外点）。可行点（外点）。边界点与内点边界点与内点约束边界上的可行点为边界点约束边界上的可行点为边界点,其其余可行点为内点。余可行点为内点。起作用的约束与不起作用的约束起作用的约束与不起作用的约束D0)(*Xgu 满足满足 的约束为起作用约束的约束为起作用约束, ,否则为不起否则为不起作用的约束作用的约束.(.(等式等式约束一定是起作用约束约束一定是起作用约束)机械优化设计3、目标函数、目标函数 为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。用它的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。用它可以评价设计方案的

33、好坏，所以它又被称作评价函数。可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记作：记作： 123()( ,.)nf Xf x x xx 在优化过程中，通过设计变量的不断想在优化过程中，通过设计变量的不断想f(x)f(x)值改善的值改善的方向自动调整，最后求得的方向自动调整，最后求得的f(x)f(x)最好或最满意的最好或最满意的x x值。在值。在构造目标函数时，应注意构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变目标函数必须包含全部设计变量量。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：最小体积，最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小最小体积，最轻重量，最高

34、效率，最大承载能力，最小振幅或噪声，最小成本，最高利润等等振幅或噪声，最小成本，最高利润等等。( )minf x 通常通常机械优化设计 在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数称为在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数称为单单目标函数目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为问题称为多目标函数多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

35、 在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标的某些在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标的某些目标之间目标之间存在矛盾的情况存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。标函数之间的关系。 目前处理多目标设计问题常用的方法目前处理多目标设计问题常用的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权线性加权的形式，的形式，即即1 122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fx机械优化设计目标函数的等值线（面）目标函数的等值线（面）cxf)( c c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n n维超

36、曲面。如在二维设计空维超曲面。如在二维设计空间中，间中，f f（x1x1，x2x2）=c=c代表代表x1-x2x1-x2设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。称为等值线或等值面。 目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图形只能在维变量的函数，它的函数图形只能在n+1维维空间中描述出来。为了在空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值线（面）的方法。化情况，常采用目标函数等值线（面）的方法。 目标函数的

37、等值线（面）的数学表达式为：目标函数的等值线（面）的数学表达式为：机械优化设计 如上图表示目标函数如上图表示目标函数f(x)f(x)与两个设计变量与两个设计变量x x1 1和和x x2 2所构成所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点构成的的设计点构成的平面曲线平面曲线。当给目标函数以不同值时，可。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族等值线族。在。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中

38、心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图形形象地表现出形形象地表现出目标函数的变化规律目标函数的变化规律。机械优化设计函数函数212221212141060),(xxxxxxxxf的等值线图。从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化的等值线图。从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中情况。其中f=40的等值线就是使的等值线就是使 各点所组各点所组成的连线。成的连线。40),(21xxf等值线等值线机械优化设计等值线的等值线的“心心

39、”（以二维为例）（以二维为例）一个一个“心心”：是单峰函数的是单峰函数的极（小）值点极（小）值点，是全局极（小）值点。，是全局极（小）值点。没有没有“心心”：例，线性函数的等值线是平行的，无例，线性函数的等值线是平行的，无“心心”，认为，认为极值点在无穷远处。极值点在无穷远处。多个多个“心心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点鞍点”（须正确判别）的值，才（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。能确定极（小）值点。等值（线）面：等值（线）面：机械优化设计4、优化设计问题

40、的一般数学形式、优化设计问题的一般数学形式12,TnXx xx()minf X ()0khX (1,2,3, )kl0jgX (1,2,3,)jm求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 满足约束条件满足约束条件 设可以同时满足上述约束条件的设计点的集合为设可以同时满足上述约束条件的设计点的集合为R，则可简化为求则可简化为求X X使使 ()minx Rf X机械优化设计 最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值，则可值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值，则可以看成是以看成是-f(x)-f(x)的最小

41、值，当然也可看成是求的最小值，当然也可看成是求1/f(x)1/f(x)的极小值。的极小值。 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住解更为复杂。这时要抓住关键因素关键因素，适当忽略不重要，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。机械优化设计建立优化设计问题的数学模型的一般步骤建立优化设计问题

42、的数学模型的一般步骤v根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析；验等，对优化对象进行分析；v对设计问题各参数进行分析，以对设计问题各参数进行分析，以确定设计的原始确定设计的原始参数、设计常数和设计变量参数、设计常数和设计变量；v根据设计要求，确定并构造根据设计要求，确定并构造目标函数目标函数和相应的约和相应的约束条件束条件，有时要构造多目标函数；，有时要构造多目标函数；v必要时对数学模型进行必要时对数学模型进行规范化规范化，以消除各组成项，以消除各组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。间由于量纲不同等原因导致的数量悬

43、殊的影响。机械优化设计5、优化设计数学模型的分类、优化设计数学模型的分类（1 1）按有无约束条件分：）按有无约束条件分： 无约束优化问题无约束优化问题 约束优化问题约束优化问题（2 2）按约束条件和目标函数是否同时为线性分：）按约束条件和目标函数是否同时为线性分： 线性规划问题线性规划问题 非线性规划问题（居多）非线性规划问题（居多）（3 3）按问题规模的大小分：）按问题规模的大小分： 大型：设计变量和约束条件的个数在大型：设计变量和约束条件的个数在5050以上以上 中型：设计变量和约束条件的个数在中型：设计变量和约束条件的个数在10501050 小型：设计变量和约束条件的个数在小型：设计变量

44、和约束条件的个数在1010个以下个以下机械优化设计6、优化问题的几何解释和基本解、优化问题的几何解释和基本解（1）无约束优化问题）无约束优化问题 设计空间内，目标设计空间内，目标函数是以等值线的形式函数是以等值线的形式反映出来，其极小点是反映出来，其极小点是等值面的中心。等值面的中心。（2 2）约束优化问题）约束优化问题 极小点在可行域内或极小点在可行域内或在可行域边界上在可行域边界上 通过二维优化问题求解直通过二维优化问题求解直观描述优化设计的基本思想。观描述优化设计的基本思想。机械优化设计例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题0)(0)(01)(02)(. .44)(min

45、2413221221112221xxgxxgxxxgxxxgtsxxxxF机械优化设计目标函数等值线是以点目标函数等值线是以点(2,0)(2,0)为圆心的一组同心圆。如不为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：考虑约束，本例的无约束最优解是：0)()0 , 2(xFx约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D D。0)(0)(01)(02)(. .44)(min2413221221112221xxgxxgxxxgxxxgtsxxxxF机械优化设计图解法求解图解法求解05. .) 1()2()(min212221xxtsxxxFTX)2 , 3(例例2：解：先画出目标函数

46、等值线，再画出约束曲线，本处约束解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。许集上使等值线具有最小值的点。 由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得到：析几何的方法得到：该切点为该切点为对应的最优值为对应的最优值为2)(Xf机械优化设计练习：练习：0,0505. .4) 1()2()(min212122212221xxxxxxxtsxxxF机械优化设计 由示例可知，对二维最优化问题，可采用图解法

47、求由示例可知，对二维最优化问题，可采用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上空间中，使目标函数取同一常失效。在三维和三维以上空间中，使目标函数取同一常数值称为目标函数的数值称为目标函数的等值面等值面。v不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；数；v等值面稠的地方，目标函数值变化的较快，而稀疏的等值面稠的地方，目标函数值变化的较快，而稀疏的地方变化的比较慢；地方变化的比较慢；v一般地，在极值点附近，等值面（线）近似呈现为同一般地，在极值点附近，等值面（线

48、）近似呈现为同心椭圆球面族（椭圆族）。心椭圆球面族（椭圆族）。等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：机械优化设计极值点在多角形的某个顶点上极值点在多角形的某个顶点上机械优化设计极值点在等值线中心极值点在等值线中心机械优化设计极值点在约束曲线与等值线的切点上极值点在约束曲线与等值线的切点上机械优化设计极值点在约束曲线与等值线的切点上极值点在约束曲线与等值线的切点上机械优化设计极值点在两个约束曲线的交点上极值点在两个约束曲线的交点上机械优化设计三、优化设计问题的基本解法三、优化设计问题的基本解法1 1、解析解法：解析解法：根据函数极值的必要条件和充分条件求得其根据函数极值的必要条件和充分条件求得

49、其最优解析解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。最优解析解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。2 2数值的近似解法：数值的近似解法：又称为数值迭代方法，它是根据目标又称为数值迭代方法，它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法是优化到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法是优化设计问题的基本解法，设计问题的基本解法，其中也可能用到解析解法其中也可能用到解析解法。数值解

50、法更能适应计算机的工作特点：数值解法更能适应计算机的工作特点：1）数值计算而不是数学分析；）数值计算而不是数学分析；2）具有简单逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最后得到的是逼近精确解的近似解。）最后得到的是逼近精确解的近似解。机械优化设计数值迭代法的基本思路：数值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近搜索、迭代、逼近即进行反复数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计即进行反复数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，知道最后获得足够精度的最优点。该方法的求优过算点，知道最后获得足够精度的最优点。该方法的求优过程可归纳为以下步骤：程可归纳为以下步骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X(0)(0)，从初始，从初始点出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前点出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步，达到跨出一步，达到X X(1)(1)；2 2）得到新点）得到新点X1X1后再选择一个新的使函数值迅速下降的方后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当步长，从向及适当步长，从X X(1)(1)点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X(2)(2)点。点。以此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终以此类推，一