微积分公式与定积分计算练习

1、微积分公式与定积分计算练习 附加三角函数公式、根本导数公式 sin x八、cosx sin xtanx2sec x cotxcosx2csc x secx secx tan x cscx cscx cot xIn x(11)xxa a In a log ax1arcs in x(12)x I n a(13)arcta n x1arc cot x(16)(15)1x2、导数的四那么运算法那么1arccosx(14)112V1 x (17) x(18)xX三、高阶导数的运算法那么nnu xnv x 、 u x1v xnn nb 、 u ax3ba u ax四、根本初等函数的 n阶导数公式n nax

2、 b nxn!e'12u v u vuv u v uvuu v uvv2 v2ncu xncu xnnk n k(k)u xv xCn ux vx4k 0nax bxnxnaeaa ln asinax bnn .a sinax bn _2cos axnb1nnn aAn!ln axnbaxb1axn 1b(7)五、微分公式与微分运算法那么na cos ax b n -nn 1 a n 1nax bdc 0dxdcosxsin xdxd tanx/ dsecxsecx tan xdxdeX沧x 1dxdsin xcosxdxsec xdxdcotxcsc2 xdxdcscxcscxcot

3、 xdxxa In adxd1In xdxxd(12)Iog ax1 dx xIn a(13)d arcs in x_ dx d(14)arccosx1d(15)arctan x11x2dxd(16)arc cot xdxx六、微分运算法那么 d u v dudvcucduvdud uv vduudvudv 2 v七、根本积分公式(11)kdxaxdxkx csin xdx1_2-sin xIncosxcsc xdx dx arcsin x.1 x2exdxcot xx dx鱼Inxxcosxdx斗dxcos xsin x csec xdxarcta n x ctan x八、补充积分公式tan

4、 xdx In cosxcot xdxInsin xsecxdx In secx tanxcscxdxIn cscx cot x1 In 2a_2 dx 丄 arcta n a xa a1dxIn x形如n ax .x e dx,，令unxdv eaxdx形如xn sin xdx , 令unxdv sin xdx形如xn cos xdx令unxdv cos xdx形如xn arctan xdx令uarctan xxn In xdxIn xn i形如，令udv x dx十、分部积分法公式xndxaxe sin xdx形如axe cosxdx令axe ,sinxosx 均可。.x arcs in

5、c a九、以下常用凑微分公式积分型换兀公式1f ax b dx f ax b d ax b au ax bf x x 1 dx f x d xu x1f In x -dxf In x d In xxu In xrxX£xxf e e dxf e d exu e-xx .1-xf a a dx f a d aIn axu af sinx cosxdxf sinxd sinxu sin xf cosx sin xdxf cosx d cosxu cosx2f tan x sec xdxf tan x d tan xu tan xf cot x csc xdxf cotx d cot xu

6、 cot x1f arcta n x2 dxf arcta nxd arcta n x1 x2uarctan x1f arcsinx dxf arcsinxd arcsinxJ1 x2u arcs in x卜一、第二换元积分法中的三角换元公式12系数不为0的情况十三、以下常用等价无穷小关系x0彳 1 21 cosx - xsin x_xtan x xarcsi nx_xarctan x x22 2a xxa sint (2).a22x【特殊角的三角函数值】sin 11sin 002623cos 乜1cos 012623tan 乜1ta n 002633cot .31cot0不存在263十二、重

7、要公式xata nt-x2a x asect.3sinsin -13242 5sin01coscos032425 cos1ta n、3tan 342不存在5tan0cotcot 一033425cot不存在lim沁1X 0 Xilim 1 x e2x 0lim 7a(a o) 13nlim Tn 14nlim arc cot x 07xlim ex10xlim arctanx 5x2lim arc cot x8xlim xx 111x 0lim arctanx6x 2lim ex 09xmHxXaoln 1 x xex1.-xxa 1-xln a1 x1 X十四、三角函数公式1两角和公式sin

8、(A B) sin AcosBcos As in Bsin (A B)sin AcosB cos As in Bcos(A B) cos A cos B sin A si nBcos(A B) cos A cos B sin A si nBtan(A B)cot( A B)2二倍角公式tan A tan B1 tan AtanB cot A cotB 1cot B cot Atan(A B)cot( A B)tan A tan B1 tan Atan Bcot A cotB 1cot B cot Asin 2A 2sin Acos Acos2Acos2 A sin2 A 1 2sin2A 2c

9、os2 A 1tan2A2 tan A1 tan2 A3半角公式ta,2sinA2cosA2Acos2cosA2cosAcosAsin A1 cosAcocosAcosAsin A1 cosAsin asin bc 亠 a b _ a b厶 nil i23b2cosacosba ba b224和差化积公式ca b.a bsin asin b2cossin22. ab . a bcosacosb2si nsin22sin a b tana tanbcos a cosb5积化和差公式sin asin bsin a cosb1 cos a b cos a b2cosacosb1 cos a b2si

10、n a b si nab2cosa sin bsin a b2cos a bsin a bqin o2sin a2 a tan2 217平方关系6万能公式2ta na2sin2 x cos2 x 1cosa1 tan2-22 a1 tan2 -2sec2 x ta n2 x 1tanaa2ta n22 a1 tan2 2csc2 x cot2 x 18倒数关系tan x cot x 19商数关系, sin x tanxcosxsecx cosx 1, cosx cot xsin xcscx sin x 1卜五、几种常见的微分方程dy1可别离变量的微分方程:dxf x g yf1 x g1 y

11、dx f2 x g2 y dy 0包f:y2齐次微分方程：dxxp x dx3阶线性非齐次微分方程p x y Q x dxy e解为：p x dxQ x e dx c高考定积分应用常见题型大全一选择题共21小题1.2022?福建如下列图，在边长为 1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影 局部的概率为B.A.C.-2 3 .2.2022?山东由曲线 y=x , y=x围成的封闭图形面积为A. | 'I.B.C. D.412x2# xE 0, 13 .设f x=卩一恥送 Cl 2，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为C. 3- ln2D. 6+ln2J ?加+丄无4 .定积分-

12、' 的值为A. 丁B. 3+ln245.如下列图，曲线y=x2和曲线y=:'围成一个叶形图阴影局部，其面积是C,3JTJ ' n (k+gosm) ds T7tB. 27.函数fX的定义域为-2, 4,且 f 4=f- 2=1 , f ' x为 f x的导函数， f2a+bv 1a>0, b>0所围成的面积是C.C.j e*dx 与 j 01exdx相比有关系式21 x1 xj 0 e dx vj 0 e dxB.1 Xj o e dx >j o1exdx1 x21 xj 0 e dx = j 0 e dx1 x1j o e dx= j o e

13、dxI sinxdx假设a=b=那么a与b的关系是B. a > bC.a=bD. a+b=O的值是C.D.-eX>1|宜|,工忑1J :(k) dzf f X-fe为自然对数的底数，那么11.假设 A .二B . 1c . _-iD .':+e? - e匚+e:-e+e-：+e2- e12 . f x=2 - |x|,A. 3B. 4C. 3.5D. 4.5D. 6.5213.设 f x=3 - |x- 1|，那么/ - 2f xdx=A. 7B. 8C. 7.522 nax轴所围成图形的面积为D. 3/216.由函数y=cosxOW x W 2n的图象与直线4-及 y=1

14、所围成的一个封闭图形的面积是 A. 4317 .曲线y=x在点11, 1处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为A .1B .c .:D . 112318 .图中，阴影局部的面积是A . 16B . 18C . 20D . 2219 .如图中阴影局部的面积是A.2V3b. 9-2-73D.3533)20.曲线44与坐标轴围成的面积是A.V2B. 2-V2c. V2D.2-V22_2.k21 .如图,点P 3a, a是反比例函y=朮k> 0与00的一个交点，图中阴影局部的面积为10 n，那么反比例函数的解析式为°) XA.3y= XB.10y=Tc.12y=汎D. 空 y

15、=高考定积分应用常见题型大全含答案参考答案与试题解析一选择题共21小题1.2022?福建如下列图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影考点：定积分在求面积中的应用；几何概型.501974专题：计算题.分析：根据题意，易得正方形 OABC的面积，观察图形可得，阴影局部由函数y=x与y= '匸围成，由定积分公式，计算可得阴影局部的面积，进而由几何概型公式计算可得答案.解答：解：根据题意，正方形 OABC的面积为1 X仁1,tn忙a1-6而阴影局部由函数 y=x与y=£围成，其面积为/ 01- xdx=HH -戈|。1=& ,那么正方形OABC中任取

16、一点P,点P取自阴影局部的概率为 应选C.点评：此题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部 分的面积.1B. 142.2022?山东由曲线A.23C.-3D. 712y=x , y=x围成的封闭图形面积为考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.2312分析：要求曲线y=x , y=x围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求/0x3-xdx即可.解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是1, 1， 0, 0故积分区间是0 , 1丄乂 1 X所求封闭图形的面积为/ 01 x2- x3dx一1，应选A.点评：此题考查定积分的根底知识，由定积分求曲线

17、围成封闭图形的面积./ 6 o, 13 .设f x=1 蛊(1 型，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为3B.C. !D.4A.考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题；数形结合.分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两局部用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积. 解答：解：根据题意作出函数的图象：1a-.y = 2-x0二X根据定积分，得所围成的封闭区域的面S f 2- k dx二寺2-耳£S= ud6应选C点评：此题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图

18、形面积的关系，属于中 档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性.J ? 2x+ 丄d 葢4 定积分-的值为A JB. 3+1 n2C. 3- ln2D 6+1 n24考点：定积分；微积分根本定理；定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：由题设条件，求出被积函数的原函数， 然后根据微积分根本定理求出定积分的值即可. 解答：氐+2址1y厂 2、2厂2、厂2、解：卞 =x +lnx|i = 2 +ln2- 1+1 n1=3+In2应选B.点评：此题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属 于根底题.5.如下列图，曲线y=x2和曲线y= 丁围成一个叶

19、形图阴影局部，其面积是)J£考点专题分析定积分；定积分的简单应用. 计算题.501974联立由曲线y=x2和曲线y=“J匸两个解析式求出交点坐标，然后在x 0, 1区间上A. 1B. 1c.-D .一 223利用定积分的方法求出围成的面积即可.解答:设曲线与直线围成的面积为 S,_丄那么 S=/ 01叮八dx=Li应选：C点评:考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力.J 文亓(x-bcosx) diB. 2考点专题分析微积分根本定理；定积分的简单应用. 计算题.2=2x?+sinx 为fx=x+cosx 的一个原函数即F'x=fx，根据/f501974由于F

20、 XXdx=F x公式即可求出值.解答:TH2解：T ix?+sinx =x+cosx ,丄PH-X +sinx2x+cosxdx=2 .故答案为：2.点评:此题考查学生掌握函数的求导法那么，会求函数的定积分运算，是一道根底题.7.函数fX的定义域为-2, 4,且f 4=f- 2=1 , f ' X为fX的导函数， 函数y=f' x的图象如下列图，那么平面区域f2a+bv 1a>0, b>0所围成的面积是C. 5考点：定积分的简单应用.501974分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出 画出平面区域，即可求解.解答：解：由图可知-2, 0上

21、f ' Xv 0,函数f f X在-2, 0上单调递减，f 0, 4上f ' X> 0, 函数f fX在f 0, 4上单调递增， 故在-2, 4上，f f X的最大值为f f 4=f f- 2=1 ,r - 2<2a+b<4 f f2a+bv 1 f a> 0, b> 0？表示的平面区域如下列图：a、b满足的条件,点评：此题考查了导数与函数单调性的关系,以及线性规划问题的综合应用， 属于高档题.解决时要注意数形结合思想应用./ odx 与/ Q1eX ；X相比有关系式f1 X1j 0 e dX v/ 0 edXB.一1 X1 Xj 0 e dX &

22、gt;j 0 edXC.刃D./ ogdx$ =/ o1edx/ 0 edx= / 0 exdx考点专题分析定积分的简单应用；定积分. 计算题.501974根据积分所表示的几何意义是以直线x=0 , x=1及函数y=eX或y=eX在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可.解答:解：/ 01exdx表示的几何意义是以直线x=0 , x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，1 x 丿0 e在图象第一象限内圆2dx表示的几何意义是以直线x=0, x=1及函数y=e弧与坐标轴围成的面积, 如图，故有：/ e*dx >/ o1edx当 0v xv

23、 1 时，ex> e点评:此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可 利用几何意义进行求解，属于根底题.I sinxdx9 假设a=,b=，贝U a与b的关系是B.C a=bD. a+b=0考点专题分析定积分的简单应用. 计算题.5019742JTa=-cosx-cos22cos '=-cos2 sin24.6 ° ,b=sinx=sin1-sin0=sin1 sin57.3解答：,2吃J sinxdx| n71解：T a= 2=- cosx2 =- cos2- cos 2= - cos2 cos114.6 ° =sin24.6

24、 ° ,b= J 旷cin'd, =s和x 0=sini - sin0=sin1 sin57.3 ° , b> a.应选A.点评：此题考查定积分的应用，是根底题.解题时要认真审题，仔细解答.A .兀 _ 1B. 2L-1C. J 14343叵1io."的值是考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：根据积分所表示的几何意义是以1 , 0丨为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线2y=x在第一象限的局部坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与 x轴和直线x=1围成的图形的面积即可.解答：解；积分所表示的几何意

25、义是以1, 0丨为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线2y=x在第一象限的局部坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差.故答案选A点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可 利用几何意义进行求解，属于根底题11.假设fX蓋1e为自然对数的底数，那么丿往山=A.-B.丄C.-D.二+e2-e十二-e2+e-+e2 - e考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两局部，进而分别求出相应的积分，即可得 到结论.解答：解詁xda：7) di_应

26、选C.点评：此题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两局部，再分别求出相应的积分.12 . f X=2 - |x|,一 广，八二 D. 4.5考占：八、专题:分析:定积分的简单应用.501974计算题.解答:由题意,值.解S - 2+x dx+ J ；Q di，由此可求定积分的J 2 if x dz= J 9 2十dx十 J* q2- x dx注p匕A. 3B. 4C. 3.5占八、评:14 .积分B.C.Tta22D. 2 na2考点：定积分的简单应用；定积分.501974专题：计算题.分析：此题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y= 一 ：与x轴所围成的图形的面积，围成的图

27、象是半个圆.解答：解：根据定积分的几何意义，那么'：-z '表示圆心在原点，半径为 3的圆的上半圆的面积,故" 应选B.点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等根底知识，考查考查数形结合思想属于根底题.15.函数的图象与X轴所围成图形的面积为A. 1/2B. 1C. 2D. 3/2考点:专题:分析:解答:定积分在求面积中的应用.501974计算题.根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f X的积分，求出所求即可.解：由题意图象与 x轴所围成图形的面积为1 oXJf1X 十X=''+1=二1 1应选D.1,/JI on

28、-1 71 n21 1 1Z点评：此题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规那么求出定积分的值，此题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好根底知 识很重要.16.由函数y=cosxOW x w 2n的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是 A. 4B.37T考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：由题意可知函数 y=cosx0wx< 2n的图象与直线-及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求/0 1- cosxdx即可.然后根据积分的运算公式进行求解即可.解答：.二！解：由函数y=cosx 0W x W

29、 2n的图象与直线2及y=i所围成的一个封闭图形的面积，1 - cosxdx= x - sinx|o 应选B.Pe X1 i1 1° 1廿X点评：此题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面 积之和就是上部直接积分减去下部积分.317.曲线y=x在点11 , 1处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为A.1B.C.可D. 11253考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点1 , 1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在 x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切

30、线的斜率，从而问题解决.3解答：解：T y=x ,2 y'=3x，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3 ;所以曲线在点1,1丨处的切线方程为：y- 1=3X x- 1，即 3x - y- 2=0 .2令 y=o 得: x= 3,切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：A 2 SS= _xl - _:x 1=应选B.点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等 根底知识，属于根底题.18图中，阴影局部的面积是1Q丁=斗-4t 17A. 16B. 18C. 20D. 22考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分

31、析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,- 2， 8, 4过2,- 2作x轴的垂线把阴影局部分为S1 , S2两局部，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影局部的面积.解答:解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,- 2， 8, 4过2, - 2作x轴的垂线把阴影局部分为 S1, Sa两局部，分别求出它们的面积 A1 , A2：J冬屁ddx=所以阴影局部的面积 A=A1+A 应选B.=18点评：此题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的局部积分为负积分的几何意义强调代数和，属于根底题考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力.考 定积分在求面积中的应用.501974占：八、专计算题.题：分别对三局部进行积分求分 求阴影局部的面积， 先要对阴影局部进行分割到三个象限内, 析：和即可.2解 解：直线y=2x与抛物线y=3 - x解得交点为-3, - 6和1, 2答:抛物线y=3 - x2与x轴负半轴交点-设 阴 影 部 分 面 积 为s那么d朋+9 - 233232所以阴影局部的面积为，应选C.x轴下方的咅B点 此题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 评：分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于根底题.20.曲线心"V晋与坐标轴围成的面积是丨A 丄B. 一 ：C