第二章光腔与高斯光束

1、1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性2 腔与模的关系分析3 高斯光束的基本性质4 q参数应用1、开腔开腔： F-P腔：最早提出来的平行平面光腔腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔共轴球面腔(b)2、闭腔闭腔：介质腔：介质腔(a)3、气体波导激光谐振腔气体波导激光谐振腔4、光腔的其它分类、光腔的其它分类 折叠腔、环形腔 复合腔腔内加入其它光学元件，如透镜，FP标准具等稳定腔、非稳腔、临界稳定腔、非稳腔、临界腔腔 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题一一 光腔的构成和分类光腔的构成和分类折叠腔折叠腔l1l2l3环形腔环形腔 染料调Q装置示意图 M4 M3 M2 Pump 808nm Fig.1

2、The schematic design of all-solid-state green laser of single-frequency operation M1 Nd:YVO4 TGG /2 Output 671nm KTP 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题n 驻波条件驻波条件: 波从某一点出发波从某一点出发,经腔内往返一周再经腔内往返一周再回到原来位置时回到原来位置时,应与初始出发波同相应与初始出发波同相02qLq22 2iiqLqLn L 二二 F-P腔腔TEMmnq模之纵模模之纵模2qcqnL221LcnLcqqq纵模间隔纵模间隔满足谐振条件的各个频率满足谐振条件的各个频率

3、是分立的！是分立的！q 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题 腔精细度腔精细度F及线宽及线宽 01inEt E 1 2pigR R ee 01cavEEg 1 2FSRFinesse 1mmgFinesseg qc：腔线宽：腔线宽c自由光谱区（自由光谱区（FSR）max2211(2) sin ()cavPPF 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题光学开腔的损耗包括：光学开腔的损耗包括： 几何偏折损耗几何偏折损耗 衍射损耗衍射损耗 腔镜反射不完全所引起的损耗腔镜反射不完全所引起的损耗 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗的光学元件

4、或其它物体所引起的损耗选择损耗选择损耗非选择损耗非选择损耗1 分类分类光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题2 平均单程损耗因子平均单程损耗因子定义一：若初始光强为定义一：若初始光强为 ,在腔中往在腔中往返一次后，光强衰减为返一次后，光强衰减为 ，则有：，则有：0I1I)2exp(01 II10ln21II对于多种损耗，则：对于多种损耗，则：ii定义二：单程渡越时光定义二：单程渡越时光强的平均衰减百分数强的平均衰减百分数0102III 0102III 说明：当损耗较小时，两种定义一致。说明：当损耗较小时，两种定义一致。 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题3 光子在腔内的平均寿命光子在腔内的平均

5、寿命（又叫腔的时间常数）（又叫腔的时间常数）cLRmmmeIeII2020)(cLtm/2 RLc RtLcteIeItI00)(t时刻的光强为时刻的光强为也可看成腔内光子的平均寿命。也可看成腔内光子的平均寿命。R物理意义物理意义:当当 时，时，RteIIm0可见，越大，越短，腔内光子数衰减越快！可见，越大，越短，腔内光子数衰减越快！R 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题 设设t时刻光子数密度为时刻光子数密度为NI(t)=Nh v 0( )RtI tI e 0( )RtN tN e 在在t t+dt内减少的光子数密度为内减少的光子数密度为0RtRNdNedt 这（这（-dN）个光子的寿命均为

6、）个光子的寿命均为t，N0 个光子个光子的平均寿命为的平均寿命为000011()()RtRRNtdN ttedtNN 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题4 无源腔的无源腔的Q值值定义一定义一 : EQP 腔内储存的总能量腔内储存的总能量单位时间内损耗的能量单位时间内损耗的能量定义二定义二 : RQcL2定义三定义三 : cQ激光的单模线宽激光的单模线宽小结：损耗越大，小结：损耗越大， Q值越小。值越小。 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题损耗举例损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗）：（由镜反射不完全引起的损耗） 初始强度为初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反的光，在腔内经两个镜面反射

7、往返一周后，其强度应为射往返一周后，其强度应为reIrrII202101)ln(ln21)ln(212121rrrrr当r11，r21时，)1()1(2121rrr 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题LDm2DLc2损耗举例损耗举例2：（：（腔镜倾斜时的几何损耗）腔镜倾斜时的几何损耗）DLcL2以以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于计算，如果要求损耗低于0.0162 100.4rad 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题NLad112LaN2菲涅耳数菲涅耳数损耗举例损耗举例3：（：（衍射损耗）衍射损耗）1.22D 忽略第一暗忽略第一暗环以外的光环以外的光假设爱里斑假设爱里斑内光强均匀

8、内光强均匀22112221010()21.221()WSaLaLLWWSSaLaaaL 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题例例CO2 激光器的腔长激光器的腔长L=100cm，反射镜直径，反射镜直径D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的衍射损耗及输出损耗分别引起的、 、Q、 (设设n=1)解：解： 衍射损耗衍射损耗:c c 622210.6 1010.188(0.75 10 )La 8811.75 100.188 3 10cLsc 88663 1022 3.141.75 103.11 1010.6

9、10cQ 8119.122 3.14 1.75 10ccMHz 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题输出损耗输出损耗:1 21ln0.5 ln(0.985 0.8)0.1192r r 8812.78 100.119 3 10cLsc 8863 1022 3.142.78 104.9610.6 10cQMHz 8115.7223.142.78 10ccMHz 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件一、一、傍轴光线往返传输的矩阵（傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述矩阵）描述1 1、傍轴光线的坐标描述和、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述矩阵描述(1)

10、(1) 坐标描述坐标描述r r r ：光线离光轴的距离：光线离光轴的距离 ： 光线与光轴的夹角光线与光轴的夹角傍轴光线傍轴光线: :tgtg sin sin 正正, ,负号规定：负号规定：000000(2)(2)矩阵矩阵描述描述r两种描述是统一的！两种描述是统一的！说明：说明：光传输中，光传输中，r ,可能发生变化，而变化后可能发生变化，而变化后的的r 、可用一个可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩传输矩阵与初始光线的矩阵相乘得到。阵相乘得到。2、自由空间的平移矩阵、自由空间的平移矩阵00,r,rLABA处处：r0， 0 B处：处：r， 000Lrr则自由空间的平移矩阵为：则自由空间的平移矩

11、阵为：00LL00rrrAB1LTTCD01 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件3 3、界面的折射矩阵界面的折射矩阵n1n2,00rr入射入射出射出射0rr 201nn021nn 100S12Tn n 4 4、球面镜的反射矩阵球面镜的反射矩阵T Tr r1rr21TrR2-01对于薄透镜有对于薄透镜有类似的关系类似的关系10101 11 1f fR RT T 0 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件5 5、共轴球面腔的往返矩阵、共轴球面腔的往返矩阵 T T一次往返一次往返两次自两次自由空间由空间和两次和两次球面镜球面镜反射反射L1 11 15 5115rrrTTTTTLRLR

12、21 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件其中其中: :DCBAT221RLA212RLLB1212122RLRRC21121212RLRLRLD6 6、共轴球面腔中光线往返、共轴球面腔中光线往返n n次的变换矩阵次的变换矩阵nT由由SylvesterSylvester定理有定理有: : 000000rDCBArTrTTrnnnnnnn1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA21arccos其中：其中： 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件变换矩阵变换矩阵 的特点的特点nTDA21 对于一定结构的球面腔而言是一确定量，对于一定结构的球面腔而言

13、是一确定量，往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发位置、光线往返顺序有关。位置、光线往返顺序有关。往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意傍轴光线在腔中的传播行为。傍轴光线在腔中的传播行为。而与光线的初始坐标、出发位置和往返而与光线的初始坐标、出发位置和往返次序无关！次序无关！更进一步，对于共轴球更进一步，对于共轴球面腔，下式永远成立：面腔，下式永远成立：21221222121RRLRLRLDA 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件 的的rn和和n取值大小，反映的是光线偏离取值大小，反映的是光线偏离 光轴能力的程

14、度光轴能力的程度 当其为有限值，即小于当其为有限值，即小于 镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。我们讨论我们讨论的取值情况：的取值情况：1)为实数为实数 a. Tn为有限值的条件为为有限值的条件为Sin不为不为0不等于不等于K 即即n11n11rrC rDnnnnAB （ ）（ ）1 1a ar rc c c co os sA AD DK K2 21 11 1A AD D1 12 2 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件1212LLLL2(1)(1)12(1)(1)1RRRR 120g g 或或对增益较高的工作物质对增益较高的工作物质,非稳腔非稳

15、腔也能稳定地工作也能稳定地工作 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件例、由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲例、由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为率半径为2m，凹面镜曲率半径为，凹面镜曲率半径为3m，腔长，腔长L为为1m，腔内介质折射率为腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）临界腔、非稳腔）?当腔内插入一块长为当腔内插入一块长为0.5m，折射，折射率率 的其他透明介质时（介质两端面垂直于腔轴的其他透明介质时（介质两端面垂直于腔轴线），谐振腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）线），谐振腔是何种腔（稳定腔、临界腔

16、、非稳腔）?2 思路：写出传输一周的思路：写出传输一周的ABCD矩阵矩阵判断判断112AD ？1201g g 非稳腔非稳腔 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件解：解： 设凸面镜与凹面镜的曲率半径分别为设凸面镜与凹面镜的曲率半径分别为 ，12RR和和当腔内未插入其他透明介质时当腔内未插入其他透明介质时1211(1)(1)(1)(1)123LLRR 即即121g g 该腔为临界腔该腔为临界腔 当腔内插入其他介质时，设该介质的长度为当腔内插入其他介质时，设该介质的长度为l，该介质卓有两边剩余的腔内长度分别为该介质卓有两边剩余的腔内长度分别为l1和和l2，则则 。设此时的等效腔长为。设此时的

17、等效腔长为 ，则，则12lllL L 2121111101101010100101/0101lllLlll 123/ 43/ 433(1)(1)12332g g 0.50.5/ 23/4()Lm 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随时间变在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随时间变化的稳态场分布化的稳态场分布? ?如何求场分布如何求场分布? ? 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法一、开腔模的一般物理概念一、开腔模的一般物理概念1 1、理想开腔模型、理想开腔模型两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。两块反射镜面放在无限大的均匀的各向

18、同性介质中。2、定量处理开腔模式问题的数学理论：、定量处理开腔模式问题的数学理论：菲涅菲涅耳耳基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分功能：功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相仿分布。在空间其他任意位置处的振幅和相仿分布。1 1、分析衍射的理论基础：、分析衍射的理论基础：惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理2 2、菲涅耳、菲涅耳基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分cos1, 4,dseyxuikyxuikS各子波源发各子波源发出的球面波出的球面波倾斜因子倾

19、斜因子 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法3、稳态场的形成、稳态场的形成模的模的“自再现自再现”镜镜1上的场分布，到达镜上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次能量的时，由于衍射，要经历一次能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大。每损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大。每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化。多单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化。多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影响的稳态场分布。该稳态场分布一个往返后可响的稳态场分布。该稳态场分布一个往

20、返后可“自再现自再现”出出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅振幅按按同同样的样的比比例衰减例衰减，各点，各点相位滞后相位滞后 的整数倍的整数倍。2 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法4.用孔阑传输线模拟自再现模的形成过程用孔阑传输线模拟自再现模的形成过程完全吸收屏完全吸收屏腔长腔长腔镜腔镜滤光片滤光片 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法1、只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的场分布，成为自再现模。场分布，成为自再现模。5 自再现模的几点理解自再现模的几点理解2、衍射起、衍射起“筛子

21、筛子”作用，将腔中允许存在的作用，将腔中允许存在的自自再现模从各种自发辐射模中筛选出来。再现模从各种自发辐射模中筛选出来。3、自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无关，但不同的初始波形最终形成的场分布不同，关，但不同的初始波形最终形成的场分布不同，而自发辐射可提供不同的初始波形而自发辐射可提供不同的初始波形,因此决定了自因此决定了自再现模的多样性。再现模的多样性。4、每经过一次衍射，、每经过一次衍射，光束横截面上各点的相位光束横截面上各点的相位关联度便增加一次，则关联度便增加一次，则由于经过足够多次衍射的由于经过足够多次衍射的作用后，光束横截面上各点的相位

22、关联越来越紧作用后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密，从而使光的空间相干性变强。密，从而使光的空间相干性变强。 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法cos1, 4,112dseyxuikyxuikS, 1yxuS S1 1S S2 2yxu,2经过经过j j次渡越后次渡越后所生成的场所生成的场u j+1产牛它的场产牛它的场u j之间也之间也应满足类似的迭代关系：应满足类似的迭代关系：cos1, 4,1dseyxuikyxuikSjj 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法按照自再现理论，当渡越次数按照自再现理论，当渡越次数 j 足够大时，除足够大时，除了一个表示振幅衰

23、减和相位移动的复常数因子了一个表示振幅衰减和相位移动的复常数因子 以外，以外，u j+1应该再现应该再现 u j，则：，则：,1,1121jjjjuuuu复常数复常数 的物理意义的物理意义ieijjjeueuu11e - ：单程渡越的振幅衰减！：单程渡越的振幅衰减！ 越大，则衰越大，则衰减愈厉害，若减愈厉害，若 0 ，则模无损耗传播。，则模无损耗传播。 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法 表示每经单程渡越后模的相位滞后，表示每经单程渡越后模的相位滞后， 愈大，相愈大，相位滞后愈多。位滞后愈多。(1) 对称开腔中模的单程损耗对称开腔中模的单程损耗d：自再现：自再现模单程渡模单程渡越

24、后的相对功率损耗。越后的相对功率损耗。2212jjjduuu2211jjuu21121e(2) 对称开腔中模的单程总相移对称开腔中模的单程总相移jjuuargarg11arg若满足：若满足：1arg q一般的谐振条件一般的谐振条件 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法, cos1, 4, cos1, 4,11dseyxuikyxudseyxuikyxuikSjjikSjj,1,1121jjjjuuuu代入迭代关系得代入迭代关系得则不受衍射影响的稳态场分布函数则不受衍射影响的稳态场分布函数v( x, y )为：为： , , ,dsyxvyxyxKyxvS 开腔模的衍射理论分析方法开腔

25、模的衍射理论分析方法积分核为：积分核为：, ,1cos4ikik eK x y xy当腔长当腔长L和镜线度和镜线度a满足：满足：L a，或曲面反射镜，或曲面反射镜的曲率半径的曲率半径R和镜线度和镜线度a满足：满足： R a时，有：时，有： 1cos2 L 则初步简化后的自再现模方程为：则初步简化后的自再现模方程为： , , ,dsyxvyxyxKyxvSikeLiyxyxK, , 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法三、分离变量法三、分离变量法1、求解自再现模方程的思路、求解自再现模方程的思路(1) 由开腔的具体结构，给出方程的具体形式由开腔的具体结构，给出方程的具体形式并做简化并做简化具体做法：由对称性引入适当坐标系具体做法：由对称性引入适当坐标系由由 、a、L的数量级关系的数量级关系 ，将积分核，将积分核 , ,yxyxK做泰勒展开做泰勒展开舍去展开式中的小量，从而将方程舍去展开式中的小量，从而将方程简化简化(2) 进行变量分离，将化简后的积分方程化为两进行变量分离，将化简后的积分方程化为两个单元函数的积分方程。个单元函数的积分方程。 开腔模的衍射理论分析方法开腔模的衍射理论分析方法2、可行性分析、可行性分析研究表明，对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面研究表明，对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面或抛物面腔和一般球面镜腔等几种常见的几何或抛物面腔和一般球面