圆中最定值(1)

1、圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、如图，AB是。O的直径，AB=10cm , M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点,P是直径AB上一动点，连接 MP、NP ,_那么MP+NP的最小值是 细作N关于AB的对称点N ,连接MN交期于点卩，那么点P即为所求罰点再根据M是半 圆砧的一个三等分原N是半圆皿的一个六等分点可求岀山ON的值再由勾股走理即可 求岀丽N的长.W'丄追解:作N关于期的对称庶站,连接MNAB于原P ,那么点卩即为所求的点r讪轟ilAE的一个三等分点f N是半圆嗣的一T六等分点f “ 1SOC r 1SOQ azMOB=- =60dzBON =-g- =30

2、a.zMON =90c f. AB=10cm f/.0M=ON'=5cm f MN' =亠，-52 cm t 即MP + NP的最4值是5cm 故答案为：5匹.盍评:此题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系根据M是半圆朋的一T三等 分点，N是半SABM一个六等分点，求出山ON丄90。是解答此题前关键1、圆0的面积为3，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，那么PC+CD的最小值为 片杠:先谦副口的丰屋为由風：J的面1只为371求出R旳值.再作劇:关于AB旳知称点匚,雜DD . 0CDU那么DC的灯卩为POPp圧最d僅,玄屈11 %

3、 弧、強昂关系可知花-.40' -80 , $E BC'-L00Q T由BD-20a可知O' 7?2>-12CD SOC-CD可求ktUdDU的匱坡进而可得出结论+薛笞：解：瓏園0旳半径为！,'.闩啲面卡口为翫，.rr=nR2 r 即2旳.作成匚关于AD的対称点C , iOSOD H 67 , DU 那么DUCn长即为皿汁0的最 小墨花ki度數为8旷_.AC-AC' -80° .BCf -10On BD-20厂2?=应丁 +丽二10+20=12孑.XX?-0D ,.ZODC30*.-.D'-' = ；:D*.-.uc =

4、A 3> = -.即PC+PDFH最小佰战莒案为:5 .2、如图，菱形 ABCD中，/ A=60 ° , AB=3 , Q A、O B的半径分别为2和1, P、E、F分别是边CD、OA和Q B上的动点，贝U PE+PF的最小值是 署点：抽对称绘短施问趣羞形的性庐，咱订菇頁宋1主呻号題；几何罔不叵題住他更分折：利用鄢的性质阪扌初两圍的性更得出p与d重合时PE+PFa3®dM§ f进而慕出即可. 駢笞:舞:由匠可得出：当P三D重合氐,E.肩崔AD二f F苔ED上PE4F最:N睡BD .郵人BCD中 ZA6O° (.'.AB-AD .贝上鮎匸是等

5、边三坤形. .BD = AB = AD = 3 f OA. GB的半径分别为2W1 ,.;PE = 1 r OF =2.C. .PE+FTB9®小值 ® ,故苔宰为；3 .类型二、折叠隐圆【根本原理】一箭穿心点A为圆外一点，P为圆0上动点，连接AO并延长交圆于Pi. P2，那么AP的最小值为AP2,最大值为A Pi例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，/ A=60, M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将 AMN沿MN所在的直线翻折得到 A' MN，连接A'C，请求出A' C长度的最小值.A '在以M为圆心,AM为半径的圆上A'在

6、MC上时，A ' C最小.试题分折：如图1達核CM过M点作MH ±CD交CD的延长錢于点H r那么由可得 T 在Rt-DHM中 T DM = 1 f zHDM=60° f .-.HD = -: HM艸目据副斤对称的性帝.AM = AM-1 ."CAM中f两边一走.題使A'C氏廊的扁少即要KM用最小*此时劇V落在MC上,如阖Z 丁M A，= NA=1 , /.YC -NCLV = V?-1.JVC氏席的帚小值是f i.1、一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A 11, 0，点B 0，6，点P为BC边上的动点点P不与点B. C重合

7、，经过点 0、P折叠该纸片，那么 CB '勺最小值为 B '在以O为圆心,OB为半径的圆上.B '在OC上时，CB'最小.2、四边形 ABCD 中，AD / BC ,Z A=90,AD=1 , AB=2,BC=3,P 是线段 AD 上一动点，将 ABP 沿 BP 所在 直线翻折得到 QBP，那么 CQD的面积最小值为 ，故取AB中点G，十*/、寸ff 1°C41类型三、 随动位似隐圆例、在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ，/ BAC=30 , BC=6 .点 D 是边AC上一点D且AD=2 J3，将线段AD绕点A旋转得线段AD'，点F始终

8、为BD'的中点，那么将线段 CF最大值为 分析:易知D轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，那么在运动过程中 AD为定值那么FG为中位线，FG=-AD'= .3,故 F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为圆外一点 C2和圆G上一点F，求CF的最大值。1思路2:倍长BC到B',那么B D的中位线，CF B，国, 最大时，CF也取最大值，问题实质2为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。【方法归纳】 、如图，点A和点O1为定点，圆01半径为定值，P为圆0-上动点，M为AP中点？点M运动轨迹为圆02，且02为A0-中点。、构造中位线j*、/1 、/1、如图，在 RtAABC中

9、，ZACB= 90 /D是AC的中点，M是BD的中点，将线段 AD绕A点任意旋转旋转过程中始终保持点 M是BD的中点，假设AC= 4，BC = 3,那么在旋转过程中，线段 CM长度的取值范围是2、如图， ABC是边长为2的等边三角形，以 AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点， M为BP中点， 那么在点P由A到C运动过程中，点 M运动路径长为【寿点】质转的世氏亘常三甫形糾边上的中线.【分折】连捋日叶 延长G%交血于吋 连揍现r叫.根堀直角三馬形斜边上的中线寿于斜辺的-半.劝出C贮CH:)CI的艮度二着之迅"【解签】解，屋麦他户延檢3交直于逹凄叽'.AD产AD=35 AC=4,；

10、.C>i=4 - 2=2, CV:=4-=Gr 'EC=3. EDF2 J Ve.'m二血訂X 3,Vu 3Vs/. 2 <CN< 2 .【点评】邓;题琴査了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.类型四、定性分析一一垂线段最短例、如图，半圆0的半径为1 , AC丄AB , BD丄AB，且AC=1 , BD=3 , P是半圆上任意一点， 那么封闭图形ABDPC面积的最大值是 CPD面积取最小即可， CPD中，底边CD为定值，那么当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时， 点P到CD距离最小。C、D、0为定点，那么

11、点0到CD距离为定值，计算CD、0C、 0D长，由勾逆知 0C丄CD,设点P到CD距离为h ,_那么h+r > 0C / h> OC-r，即当OP、M三点共线时，h 有最小值，此时M与点C重合，故0C与圆0交点即为所求点 Po思路2： P点确实定也可以这样想，平移 CD设平移后的直线为 m,那么直线m与 CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线 m与圆0相切时，高h有最小值。1、 如图，P为圆0内一个定点，A为圆0上一个动点，射线 AP,A0分别与圆0交于B, C两点，假设圆0的半径为3，0P=J3，那么弦BC的最大值为2、 如图，AB为。0的直径，C为半圆的中点，。C的半径为2

12、，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与O C切于点M ,_那么PM的取值范围为 类型五、定弦定角【根本原理】如图 O 0中，A、B为定点，那么AB为定弦，点C为优弧上任一点，在 C点运动过程中那么/ ACB的度数不 变？逆运用？如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且/ ACB= 99为固定值？点C在以 AB为弦的圆上运动不与 A、B重合例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足/ ACB=60度，请在图中画出点 C的运动轨迹,简要说明作图步骤步骤1、练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足/ ACB=120度，请在图中画出点 C的运动轨迹，并写出圆心角/

13、 AOB=2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足/ ACB=120度，请在图中画出点 C的运动轨迹CABC【实战应用】2、如图，RtA ABC中，AB丄BC, AB=6, BC=4, P是厶ABC内部的一个动点，且满足/ PAB=/ PBC,那么线段CP长的最小值为类型六、定弦定角反客为主例、如图，/ XOY= 45 ° 一把直角三角尺 ABC的两个顶点A、B分别在OX 0Y上移动，其中 AB = 10,那 么点O到顶点A的距离最大值为 点O到AB的距离的最大值为 A【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距

14、离的最大值确实定有难度，假设改变思路，借助物理中运动的相对性可知，假设将 ABC固定，将/ XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题那么变为当点 O在圆上运动至何处时，点 O到AB距离最大。1、如图，D,E分别为等腰直角三角形 ABC的边AC、AB上的点，且DE=2 2，以DE为边向外作正方形 DEFG那么AF的最大值为 2、如图， ABC中，/ AB(= 45 ° AC=2,半径为 J5的圆0始终过A、C两点，连接0B,那么线段0B长的的最大值为类型七、定弦定角条件确实定例、如图，扇形 AOD中，/ AOD=90 , 0A=6点P为弧AD上任意

15、一点不与点 A和D重合，PQL0D 于点Q,点IOPQ勺内心，那么当点 P在弧AD上运动时，求I点运动路径长。.1、如图，边长为 3的等边 ABC D E分别为边 BC AC上的点，且 BD= CE AD BE交于P点，_那么CP的 最小值为2、如图，AC= 3，BC= 5，且/ BAC= 90°，D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E点，连CE那么CE的最小值为7E C类型八、隐切线例、A2, 0B4, 0是x轴上的两点，点 C是y轴上的动点，当/ ACB最大时，那么点C的坐标为分析:将/ AC看作以AB为弦的圆上的角，那么圆心在 也随之改变，又因为点 C为为y轴

16、上的点，所以可将点 有两种：相交或相切，当圆 O与y轴相交时，记交点为AB的垂直平分线上，当圆心运动时， / ACE的大小 C理解为圆O与y轴交点。Y轴与圆o的位置关系G,当圆O与y轴相切时，记交点为 C,如下列图，/ACB=/ A2B,由圆上的角大于圆外的角可知，/ ACIB / A2B,故当圆O于y轴相切时，/ AC有最大值。考虑对称性可知，点 C的位置有两个，y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点1、点A B的坐标分别是0, 10, 3，点C是x轴正半轴上一动点，当ZACB最大时，点C的坐在RtABC中，/ BAC=30，斜边AB= 2暑，动点P在AB边上，动点 Q在AC边上，且/ CPQ=9

17、0 ,例、A 2 , 0，B 5, 0，点P为圆A上一动点，圆A半径为2，以PB为边作等边 PMB求线 段AM的取值范围。!分析:思路1:要求AM的取值范围，那么先确定M点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构， 可构造和 PBM共顶点B的等边 ABH那么厶APBA HBM HM=PA=2，所以点M运动轨迹为以 H为圆心， 半径为2的圆H上的点。AM过圆心时取得相应最大和最小值。思路2 :线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到，当点P在圆A上运动时，作出其 绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，那么其应点的集合就是点M运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点 P绕点B

18、顺时针旋转60度得到，所以点M所在圆的圆心即为将 P点所在圆圆心A绕点 B顺时针旋转60度得到。想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度1、如图， A 2, 0，圆O半径为1,点B为圆O上一动点，点C在第一象限，且 ABC为等腰直 角三角形，/ BAC=90度，求线段OC的最大值 2、如图，AB为。O的直径，AB=4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在O O外作正方形BCDE，点D在直线AB的上方连接OD 当点C运动时，那么线段 OD的最大值为i3厂丿川类型十、半径不确定的处理策略例、在 ABC中,AB=4,BC=6/ ACB=30 将厶ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 A1BC1点E为线段 AB中点，点P是线段AC上的动点，在 ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1,那么线段EP1长度的最大值为，最小值为8C分析：显然BP=BP1，P1点轨迹为以B为圆心，BP为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定，因为点P为AC上动点，那么BP长度有最小值和最大值。如图当 BP垂直AC时，半径最小，当P与C重合时，半径 最大