第4章线性规划在工商管理中的应用

1、第4章 线性规划在工商管理中的应用1解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。表4-1 各种下料方式下料方式12345678910111213142 640 mm211100000000001 770 mm010032211100001 650 mm001001021032101 440 mm00010010120123min f=x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x1

2、2x13x14s.t.  2x1x2x3x480 x23x52x62x7x8x9x10350 x3x62x8x93x112x12x13420 x4x7x92x10x122x133x1410 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x140通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。2解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次

3、新上岗的临时工人数，建立如下模型。min f=16(x1x 2x3x4x5x6x7x8) s.t x119 x1x219 x1x2x329 x1x2x3x423 x2x3x4x513 x3x4x5x623 x4x5x6x716 x5x6x7x8212 x6x7x8212 x7x817 x817 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x80通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下： x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6， 最优值为320。在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安

4、排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 - - - 1 0 4 2 0 0 3 2 0 4 9 0 5 0 4 6 5 0 7 0 0 8 0 0 9 0 4 10 0 0 11 0 0根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数。 min f=16(x1x 2x3x4x5x6x7x8)12(y1y2y3y4y5y6y7y8y

5、9) s.t x1y119 x1x2y1y219 x1x2x3y1y2y329 x1x2x3x4y2y3y423 x2x3x4x5y3y4y513 x3x4x5x6y4y5y623 x4x5x6x7y5y6y716 x5x6x7x8y6y7y8212 x6x7x8y7y8y9212 x7x8y8y917 x8y917 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y90用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6

6、=0，y7=4，y8=0，y9=0。最优值为264。具体安排如下。在11：0012：00安排8个3小时的班，在13：0014：00安排1个3小时的班，在 15：0016：00安排1个3小时的班，在17：0018：00安排4个3小时的班，在18：0019：00安排6个4小时的班。总成本最小为264元，能比第一问节省320264=56元。3解：设xij，xij分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立如下模型：s.t. 说明：与第14题相比，该题的目标是利润最大，而第14题是成本最小，故该

7、题需另设销量变量。4. 解：（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。max z10 x112x214x3s.t. x11.5x24x32 000 2x11.2x2x31 000 x1200 x2250 x3 100 x1，x2，x30用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多。（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说

8、明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。5解：（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x1，白天调查的无孩子的家庭的户数为x2，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x3，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x4，则可建立下面的数学模型。min f =25 x120x230x324x4s.t x1x2x3x42 000 x1x2 =x3x4 x1x3

9、700 x2x4450 x1, x2, x3, x40用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。x1700，x2300，x30，x41 000， 最优值为47 500。白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 000户，可使总调查费用最小。（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在2026元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在1925元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子

10、的家庭的费用在-2025元之间，总调查方案不会变化。（3）发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1 300之间，对偶价格不会变化。管理运筹学软件求解结果如下：6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：30x+20y300;5x+10y110;x0 y0 x,y均为整数。使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；7. 解：（1）该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

11、0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3500 铣床限制条件4x1+ 3x2 350 车床限制条件3x1 + x3150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3（2）本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x1 + x3150 x10、x20、x30最优解（50，25，0），最优值：30元。（3）若产品最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+

12、0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x1 + x3150x318 x10、x20、x30代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。8解：设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：min f=2 800x114 500x126 000x137 300x142 800x214 500x226 000x232 800x314 500x322 800x41s.t x11x12x13x1415 x

13、12x13x14x21x22x2310 x13x14x22x23+x31x3220 x14x23x32x4112 xij0，i，j=1，2，3，4用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。x11=5，x12=0，x13=0，x14=10，x21=0，x22=0，x23=0，x31=8，x32=2，x41=0，最优值为118400，即在一月份租用 500平方米一个月，租用1000平方米4个月；在三月份租用800平方米一个月，租用200平方米2个月，可使所付的租借费最小。9. 解：设xi为每月（月末）买进的种子担数，yi为每月（月初）卖出的种子担数，则线性规划模型为；Max Z=3.1

14、y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3s.t. （1）卖出量约束： y11000 y21000- y1+ x1 y31000- y1+ x1- y2+ x2（2）库存量约束：1000- y1+ x15000（7月末库存）1000- y1+ x1- y2+ x25000（8月末库存）1000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000（9月末库存）（3）买入量约束即资金约束x1（20000+3.1 y1）/ 2.85x2（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05x3（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x

15、2+2.95y3）/ 2.9xi0 yi0 (i=1,2,3)10解：设xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。max z=9(x11x12x13)7(x21x22x23)+8(x31x32x33)5.5(x11x21x31)4(x12x22 x32)5(x13x23x33)s.t  x110.5(x11x12x13) x120.2(x11x12x13) x210.3(x21x22x23) x230.3(x21x22x23) x330.5(x31x32x33) x11x21x31+ x12x22x32+ x13x23x3330  x11x12x

16、135x21x22x2318x31x32x3310 xij0，i，j=1，2，3用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最优值为93.11. 解：设X为第i个月生产的产品数量，Y为第i个月生产的产品数量，Z，W分别为第i个月末产品、库存数，S，S分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型。 min z = s.t X110 000=Z1 X2+Z110 000=Z2 X3+Z210 00

17、0=Z3 X4+Z310 000=Z4 X5+Z430 000=Z5 X6+Z530 000=Z6 X7+Z630 000=Z7 X8+Z730 000=Z8 X9+Z830 000=Z9 X10+Z9100 000=Z10 X11+Z10100 000=Z11 X12+Z11100 000=Z12 Y150 000=W1 Y2+W150 000=W2 Y3+W215 000=W3 Y4+W315 000=W4 Y5+W415 000=W5 Y6+W515

18、 000=W6 Y7+W615 000=W7 Y8+W715 000=W8 Y9+W815 000=W9 Y10+W950 000=W10 Y11+W1050 000=W11 Y12+W1150 000=W12 S1i15 000 1i12 Xi+Yi120 000 1i12 0.2Zi+0.4Wi 1i12 X0,Z用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。最优值为4 910 500。X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X

19、4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000,X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000;Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 0

20、00, Y11=50 000, Y12=50 000;Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000;其余变量都等于0。12.解：为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规划问题进行求解，令，x1=生产标准汽油所需的X100原油的桶数x2=生产经济汽油所需的X100原油的桶数x3=生产标准汽油所需的X220原油的桶数x4=生产经济汽油

21、所需的X220原油的桶数则，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4s.t. x1+ x325000x2+ x4320000.35 x1+ 0.6x30.45（x1+ x3）0.55 x2+ 0.25x40.5（x2+ x4）通过管理运筹学软件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33总成本为1783600美元。13解：（1）设第i个车间生产第j种型号产品的数量为xij, 可以建立如下数学模型。max z=25(x11+x21 +11s.t 4 x j=1,2,3,4用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 *最优解如下

22、* 目标函数最优值为：279 400 变量 最优解 相差值 - - - x11 0 11 x21 0 26.4 x31 1 400 0 x41 0 16.5 x51 0 5.28 x12 0 15.4 x32 800 0 x42 0 11 x52 0 10.56 x13 1 000 0 x23 5 000 0 x43 0 8.8 x53 2 000 0 x14 2 400 0 x24 0 2.2 x44 6 000 0即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400，

23、 x44=6000，其余均为0，得到最优值为279 400。(2) 对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析; 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 - - - 1 0 25 2 500 0 3 0 20 4 0 3.8 5 7 700 0 6 0 2.2 7 0 4.4 8 6 000 0 9 0 5.5 10 0 2.64 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 - - - - x11 无下限 25 36 x21 无下限 25 51.4 x31 19.72 25 无上限 x41 无下限 25 41.5 x51 无下限 25 30.28 x12 无下

24、限 20 35.4 x32 9.44 20 无上限 x42 无下限 20 31 x52 无下限 20 30.56 x13 13.2  17 19.2 x23 14.8  17 无上限 x43 无下限 17 25.8 x53 3.8  17 无上限 x14 9.167  11 14.167 x24 无下限 11 13.2 x44 6.6  11 无上限 常数项数范围： 约束 下限 当前值 上限 - -   -  - 1 0 1 400  2 900 2 无下限 300 800 3 300 800 2 800 4 7 000 8 000 10 000 5 无下限 700 8 400 6 6 000  18