常微分第二章第2,3节(蓝底)

1、1线性微分方程与常数变易法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 第二章 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )( )( )0d ya xb x yc xd x( )0a x 第二章第二章 的区间上方程可以写成的区间上方程可以写成 在在 d( )( )dyP x yQ xx一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程3一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式: :d( )( )dyP x yQ xx若若d( )dyP x yx 若若称为称为非齐次方程非齐次方程 . .1. 1. 解

2、齐次方程解齐次方程分离变量分离变量d( )dyP xxy 两边积分得两边积分得ln( )dlnyP xxC 故通解为故通解为( )dP xxyC e 称为称为齐次方程齐次方程 ; ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )0,Q x ( )0,Q x 4对应齐次方程通解对应齐次方程通解( )dP xxyC e 齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解( )dP xxCe 2. 2. 解非齐次方程解非齐次方程d( )( )dyP x yQ xx常数变易法常数变易法: :( )d( )( ),P xxy xc x e 则则( )d( )P xxc x e ( )P x ( )d( )

3、P xxc x e ( )Q x 故原方程的通解故原方程的通解( )d( )d( )dP xxP xxeQ x ex ()d()d( )dP xxP xxyeQ x exC y即即即即令令( )d( ) ( )P xxP x c x e ( )dd ( )( )dP xxc xQ x ex ( )d( )( )dP xxc xQ x exC 两端积分得两端积分得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5()d()d( )dP xxP xxyeQ x exC 注：注：常数变易法也是一种变量变换的方法。常数变易法也是一种变量变换的方法。( )d( )( )P xxy xc x

4、e d( )( )dyP x yQ xx( )dd ( )( )dP xxc xQ x ex 6例例1. 1. 解方程解方程 d(1) .d1xnynyexxx 解解: : 先解先解d,d1ynyxx 即即dd1yn xyx 积分得积分得lnln1ln,ynxC即即(1)nyC x用用常数变易法常数变易法求特解求特解. . 令令( ) (1) ,nyc xx则则1( ) (1)( ) (1)nnyc xxnc xx 代入非齐次方程得代入非齐次方程得( )xc xe ( )xc xeC所以原方程通解为所以原方程通解为(1)nxyxeC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7

5、例例2. 2. 解方程解方程 2d.d2yyxxy 解解: : 将方程改写为将方程改写为2d22,dxxyxyyyy 2xCy 令令2( ),xc yy代入方程（代入方程（1 1）得）得2( )c y yy 解得解得( )ln|c yyC 所以原方程通解为所以原方程通解为2|xyCln y 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 与（与（1 1）对应的齐次方程的通解为）对应的齐次方程的通解为（1 1）另外，另外， y=0也为解。也为解。8二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: :d( )

6、( )(0,1)dnyP x yQ x ynxny以以1d( )( )dnnyyP x yQ xx令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则d(1)( )(1)( )dzn P x zn Q xx求出此方程通解后求出此方程通解后, ,除方程两边除方程两边 , , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解. .解法解法: :( (线性方程线性方程) )伯努利伯努利 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: :d( )( )(0,1

7、)dnyP x yQ x ynxny以以1d( )( )dnnyyP x yQ xx令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则d(1)( )(1)( )dzn P x zn Q xx除方程两边除方程两边 , , 得得解法解法: :( (线性方程线性方程) )伯努利伯努利 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 另外，当另外，当0n 时，方程还有解时，方程还有解 0y 。10例例3. 3. 求方程求方程2d6dyyxyxx的通解的通解. .解解: : 令令,1 yz方程变形为方程变形为2ddzdyyxdx 其通解为其通解为ez 将将1 yz2618Cxyx6dxx xe 6dxx

8、 Cx d 28661188CxxCxx代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则xzxdxdz 6此外方程还有解此外方程还有解 y=0.11内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 ( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC ,1 nyu令化为线性方程求解化为线性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程d( )( )dnyP x yQ x yx)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、12思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程2d1d22yxyxx线性方程线性方程2d1d22xyxyy线性方程线性方程2d2lndyxyyxxx 伯努利伯努利方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 13备用题备用题1. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0

10、提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 142. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用利用00 xy得得21C故有故有) 10(22xeyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

11、返回返回 结束结束 152) 再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为) 1(2xeCyx利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(22eC因此有因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原问题的解为原问题的解为y10),1 (2xex1,) 1(2xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 16恰当方程与积分因子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、一、恰当方程恰当方程二、积分因子法二、积分因子法 第二章 17恰当方程的求解方法恰当方程的求解方法:由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、一、

12、恰当方程恰当方程 uududxdyxy=( , ) uM x yx ( , ).uN x yy 使若存在),(yxud ( , )( , )d( , )du x yM x yxN x yy则称则称( , )d( , )d0M x yxN x yy为为恰当方程恰当方程 ( 又叫做又叫做全微分方程全微分方程 ) .u (x, y) - M d x +N d y 的的原函数原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 22,MuuNuuyyxy xxxyx y 18判别判别: M, N 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,MNyx Dyx),( 为恰当方程为恰当方程 则则恰当

13、方程的求解方法恰当方程的求解方法:由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、一、恰当方程恰当方程 使若存在),(yxud ( , )( , )d( , )du x yM x yxN x yy则称则称( , )d( , )d0M x yxN x yy为为恰当方程恰当方程 ( 又叫做又叫做全微分方程全微分方程 ) .u (x, y) - M d x +N d y 的的原函数原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 19I I 不定积分法不定积分法()uududxdyxy( , )( , )duM x y dxN x y dy=( , ) uM x yx ( , ).u

14、N x yy 求原函数求原函数 u (x, y) 的方法的方法 uMx 由由，( )uMdxy 得得( )=N uMdxyyy 选取选取)(y 使得使得由此确定由此确定 ),(y 再积分求出再积分求出( ),y 则则( ) uMdxy 20 uNy ( )=M uNdyl xxx ( ) uNdyl x 21例例1 1 求求 2223(36)(64)0 xxydxx yydy的通解。的通解。 解解222336,64MxxyNx yy12,12MNxyxyyx，所以方程是恰当方程。，所以方程是恰当方程。设设 u满足满足ux2236xxy= =及及 uy= =2364x yy+ +( )y由（由（

15、1 1）得）得（3 3）（1 1）（2 2）uy2( )6dyx ydy= =2364x yy= =于是于是 4( )yy所以所以 32243uxx yy由由(2),(3)得得3223uxx y22因此，方程的通解为因此，方程的通解为 32243xx yyc这里这里 c是任意常数。是任意常数。 23II “II “分项组合分项组合”法（凑微分法）法（凑微分法）232234660 x dxy dyxy dxx ydy即即 342222330dxdyy dxx dy或或3422(3)0d xyx y于是方程的通解为于是方程的通解为 34223xyx yc这里这里 c是任意常数。是任意常数。 解解2

16、223(36)(64)0 xxydxx yydy例例2 2 用用“分项组合分项组合”的办法，求解例的办法，求解例1 1。把方程重新把方程重新“分项组合分项组合”，得到，得到目的目的24221()2xdxydyd xy2222()xdxydydxyxy ln()xdyydxdxyxy 2()xdyydxydxx ln|xdyydxydxyx 122tan ()xdyydxydxyx ()xdyydxd xy()dxdyd xy2()ydxxdyxdyy 221(ln|)2ydxxdyxydxyxy 25例例3 3 求解方程求解方程 2232(sin)()0 xxdxdyyyy解解所以方程是恰当的

17、。所以方程是恰当的。 把方程重新把方程重新“分项组合分项组合”， 231sin2()0 xxdxdydxdyyyy即即 22()cos3 ln |0ydxxdydxdyy或或 2( cos3ln |)0 xdxyy于是，方程的通解为于是，方程的通解为 2cos3ln |xxycy这里这里 c是任意常数。是任意常数。 得得2M2yy N,x 因为因为 26补例补例. . 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解: :2M1yx 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 . .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. . 将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx所以原方程的通

18、解为所以原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221N,x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 27III 线积分法线积分法 ),(),(00),(yxyxNdyMdxyxu( , )d( , )d0M x yxN x yy00( , )(,)x yxyMdxNdy 与路线无关与路线无关28),(yxyxo补例补例. . 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: : 因为因为My 236yyx ,Nx 所以这是全微分方程所以这是全微分方程. . , 0, 000yx取则有则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331

19、y因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 29思考思考: : 如何解方程如何解方程dd0?yxxy这不是一个恰当方程这不是一个恰当方程 , ,21,y就化为恰当方程就化为恰当方程 . .但若在方程两边但若在方程两边同乘以同乘以30二、积分因子法二、积分因子法,0),(yx使使( , )M( , )d( , )N( , )d0 x yx yxx yx yy为恰当方程为恰当方程, ,( , )x y 则则称称为方程（为方程（4 4）的）的积分因子积分因子. .M( , )dN( , )d0 x yxx yy若存在连续可微函数若

20、存在连续可微函数 例2 目录 上页 下页 返回 结束 （4 4）函数函数 ( ,)x y为为的积分因子的充要条件是的积分因子的充要条件是 (5)M( , )dN( , )d0 x yxx yy()() MNyx ()NMMNyxxy 31即即 这时方程这时方程(5)(5)变成变成 I I如果存在只与如果存在只与x有关的积分因子有关的积分因子 则则 0y，求积分因子的方法求积分因子的方法( )x dMNNdxyx ()NMMNyxxy MNdyxdxN 32由此可知，由此可知，的必要条件是的必要条件是 仅为仅为 的函数。的函数。MNyxN x反之易证，若反之易证，若( ),MNyxxN 则则为方

21、程为方程 M d x + N d y=0 的一个的一个( )x dxe M d x + N d y=0有只与有只与 x有关的积分因子有关的积分因子积分因子。积分因子。33( )MNyxxN 为为 M d x + N d y=0 的的积分因子积分因子.( )x dxe M d x + N d y=0有只与有只与 x有关的积分因子有关的积分因子仅为仅为 x 的函数的函数.此时，此时，34类似地，方程类似地，方程M d x + N d y=0有只与有只与 积分因子积分因子的充要条件是的充要条件是 有关的有关的仅为仅为 的函数。的函数。yy此时，此时，M d x + N d y=0 的一个积分因子。的

22、一个积分因子。( )MNyxyM ( )y dye 为方程为方程35例例4 4 试用积分因子法解线性方程试用积分因子法解线性方程 ( )( )dyP x yQ xdx解解( )( )0P x yQ xdxdy这时，这时， ( )( ),1MP x yQ xN 由于由于 ( )MNyxP xN 因而，因而，线性方程有线性方程有只与只与 x有关的有关的积分因子积分因子 ()P x dxe。以。以 ()P x dxe乘以乘以(6)(6)得得（6）把方程改写为把方程改写为()()()( )( )0P x dxP x dxP x dxP x eydxedyQ x edx36即即 ( )( )( )( )

23、0P x dxP x dxP x dxydeedyQ x edx或或( )( )()( )0P x dxP x dxd yeQ x edx因此，所求方程的通解为因此，所求方程的通解为 ( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxc或或 ( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxc()()()( )( )0P x dxP x dxP x dxP x eydxedyQ x edx37)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyx

24、ln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一 .0ddyxxy例如例如, 对对可取可取,1yx221yx ,21y,21x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 观察法观察法常用微分倒推公式常用微分倒推公式:38例例5 : 5 : 求解求解21() (0).dyxxydxyy 这一方程不是恰当的这一方程不是恰当的. . 重新组合，得重新组合，得 解解: : 将方程改写为将方程改写为 22()0.xxydxydy22()0.xdxydyxy dx易看出，此方程有积分因子易看出，此方程有积分因子2

25、21( , ),x yxy 以以22()0.xdxydydxxy ( , )x y 乘之，得乘之，得220.dxydx所以通解为所以通解为2(2 ).yc cx22xyxc或或39补例补例. 求解求解0d)1(d)1(yxyxxyyx解解: 分项组合得分项组合得)dd(yxxy即即0)dd()(d22yyxxyxyx选择积分因子选择积分因子,),(221yxyx同乘方程两边同乘方程两边 , 得得0dd)()d(2yyxxyxyx即即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解为因此通解为,lnln1Cyxyx即即yxeCyx1因因 x = 0 也是方程的解也是方程的解 , 故故 C 为任意常数为

26、任意常数 . 0)dd(yxxyyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 40MNM,N(),1,1yyxyx 2MNyxMy 21y.0d)(dyxyxy解解所以方程不是恰当方程。所以方程不是恰当方程。所以方程存在积分因子所以方程存在积分因子21y0ddd2yyyyxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这里这里法法1 1例例6 6 解方程解方程以以乘方程的两边，得乘方程的两边，得此外此外, , y=0 也是方程的解也是方程的解. .Cyyxln所以通解为所以通解为0|)|ln( yyxd41解法解法2 2 积分因子法积分因子法. .原方程变形为原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子取积分因子21y0ddd2yyyyxxy所以通解为所以通解为Cyyxln此外此外, , y=0 也是方程的解也是方程的解. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .0d)(dyxyxy例例6 6 解方程解方程42解法解法3 3 化为齐次方程化为齐次方程. .原方程变形为原方程变形为yxyxy ddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2积分得积分得Cxuu