重庆中考数学题专题

1、重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/ABC=90°,E为AB延长线上一点，连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G已知G为CH的中点，且/BEH士HEG(1)若HE=HG求证：EBHAGFC(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.(1)证明：:HE=HG./HEGNHGE,/HGENFGC/BEH之HEG./BEH士FGC,G是HC的中点，.HG=GC.HE=GC,/HBE士CFG=90.EBHGFC(2)解：过点H作HUEG于I,八 .G为CH的中点，/HG=GC

2、/EF±DC,/HIXEF,/ ./HIG=/GFC=90,./FGChHGI,C .GIHWGFC/ .EBHEIH(AAS,FC=HI=BH=1,AD=4-1=3.2、已知，RtAABC中，/ACB=90,/CAB=30.分别以ARAC为边，向形外作等边ABD和等边ACE(1)如图1,连接线段BE、CD求证：BE=CD(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证：F为DE中点.证明：(1).ABD和ACE是等边三角形，AB=ADAC=AE/DAB士EAC=60, /DAB吆BAC之EAC+/BAC即/DAC之BAE,在DACBAE中，AC=AE/DAgBAEAD=AB.DA阴BAE(

3、SAS,DC=BE(2)如图，作DG/AE,交AB于点G,由/EAC=60,/CAB=30°得：/FAE=/EAC+/CAB=90, /DGF=/FAE=90°,又ACB=90,/CAB=30, /ABC=60,又,ABD为等边三角形，/DBG=60,DB=AB./DBGNABC=60,在DG评口ACB中，/DGBNACB/DBGyABCDB=AB,DG摩ACB(AAS),DG=AC又AEC为等边三角形，AE=ACDG=AE在DG林口EAF中，/DGF力EAF/DFG力EFADG=EA,.DG官EAF(AAS),DF=EF即F为DE中点.3、如图，在直角梯形ABCD中，AD

4、±DC,ABIIDC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点，AG，BC于E.(1)求证：CF=CG;(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长.解答：(1)证明：连接AC,DCIIAB,AB=BC,./1=/CAB,/CAB=/2,Z1=/2;ADC=/AEC=90°,AC=AC,.AADCAAEC,CD=CE; /FDC=/GEC=90°,/3=/4, .FDCAGEC,CF=CG.(2)解：由(1)知，CE=CD=2,BE=4CE=8,AB=BC=CE+BE=10, 在RtAABE中，AE=AB2-BE2=6, 在RtAACE中

5、，AC=AE2+CE2=2V10由(1)知，ADC里AEC,CD=CE,AD=AE, C、A分别是DE垂直平分线上的点，DE±AC,DE=2EH;(8分)在RtAAEC中，Saaec=1AE?CE=-AC?EH,22“AECE623.10EH=AC2.1053.106.10DE=2EH=2X=554、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是ACDPXCQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;求证：(1) BCQ5CDP;(2) OP=OQ.证明：:四边形ABCD是正方形，/B=/PCD=90°,BC=CD, /2+/3=90°,又DPXCQ, /2+/1=90&

6、#176;,./1=/3,在BCQ和CDP中，/B=/PCDBC=CD/1=/3 .BCQACDP.(2)连接OB.由(1):BCQ仁CDP可知：BQ=PC, 四边形ABCD是正方形， /ABC=90°,AB=BC,而点O是AC中点，BO=1AC=CO/4=1/ABC=45°=/PCO,2'2在BCQ和CDP中，BQ=CP/4=/PCOBO=COCQ,.BOQACOP,OQ=OP.5、在等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD=CD/ABC=60,延长AD至UE,使DE=AD延长DC至UF,使DC=CF连接BE、BF和EF.求证：ABHACFB;如果AD=6,ta

7、n/EBC的值.解：(1)证明：连结CE,在8人£与4FCB中，BA=FC,/A=/BCF,AE=BC,.BAEFCB;(2)延长BC交EF于点G,彳乍AH±BG于H,彳乍AMLBQ.BA®FCB,/AEB=/FBQBE=BE:BEF为等腰三角形，又AE/BC,./AEB=/EBG/EBG=/FBG-BG±EF,/AMGNEGMNAEG=90,在 RtAABM中，AM=AB?sin60° =6X3-=3M 3，: eg=am3<3 ,2BG=BM+MG=62+6X cos60 ° =15,tan/EBC=EG=速=ilBG 15

8、5四边形AMG叨矩形，AM=EG6、如图，在梯形ABCD中，AD/BC,/C=90°,E为CD的中点，EF/AB交BC于点F(1)求证：BF=AD+CF(2)当AD=1,BC=7,且BE平分/ABC时，求EF的长.(1)证明：如图(1),延长AD交FE的延长线于N:/NDE=/FCE=90°/DEN=/FECDE=ECANDEFCE：DN=CF.AB/FN,AN/BF：四边形ABFN是平行四边形BF=AD+DN=AD+FC(2)解：AB/EF,ZABN=/EFC,即/1+/2=/3,又/2+/BEF=/3,1=/BEF,BF=EF/1=/2,：/BEF=/2,：EF=BF,

9、又:BC+AD=7+1:BF+CF+AD=8而由(1)知CF+AD=BFBF+BF=82BF=8,BF=4,BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线,CF分别交AB于G、H点(1)求证：的面积.(1)证明：连接BFABCD为矩形 ABXBCAB±ADAD=BC .ABE为直角三角形F是AE的中点AF=BF=BE /FAB=/FBA ./DAF=/CBFAD=BC,/DAF=/CBF,AF=BF, .DAF9+CBF ./ADF=/BCF ./FDC=/FCD ./FGH=/FHGFG=FH;(2)解：:AC=CE/E=60° .ACE为等边三角形CE=AE=8AB

10、XBCBC=BE=1CE=42 根据勾股定理AB=4.3延长CB,FC&CE=CA,F是AE的中点，连接DF、FG=FH;(2)若/E=60°,且AE=8时，求梯形AECD梯形AECD的面积=1x(AD+CE)xCD=1x(4+8)x4J3=24、6228、如图，直角梯形ABCD中，AD/BC,/BCD=90",且CD=2AD,tan/ABC=2,过点D作DE/AB,交/BCD的平分线于点E,连接BE.(1)(2)(3)证明:求证：BC=CD;将BCE绕点C,顺时针旋转延长BE交CD于点P.求证:(1)延长DE交BC于F,90°得到DCG,连接EG.求证：

11、CD垂直平分EG;P是CD的中点.ADIIBC,ABIIDF,Z)AD=BF,/ABC=/DFC.在RtADCF中，.tan/DFC=tan/ABC=2,CD-=2CF即CD=2CFCD=2AD=2BF,BF=CF,1BC=BF+CF=1CD+1CD=CD.2即BC=CD.(2)CE平分/BCD./BCE=/DCE,由(1)知BC=CD,CE=CE,.BCEADCE,BE=DE,由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,DE=DG,.C,D都在EG的垂直平分线上,CD垂直平分EG.(3)连接BD,由(2)知BE=DE,./1=/2.EABIIDE,./3=/2.ADIIBC,又BD=BD./1

12、=/3./4=/DBC.由(1)知BC=CD,.DBC=/BDC,./4=/BDP.,BADBPD(ASA)DP=AD.1'AD=1CD,2DP=1CD.P是CD的中点.29.(2011南岸二诊)如图，已知点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF±DP,交AB于点E,交CD于点G,交BC的延长线于点F,连接DF.(1)若DF=3金,求DP的长；(2)求证：AE=CF.10.如图，正方形CGEFI勺对角线CE在正方形AE的中点，DM的延长线交CE于N.(2)探究：线段 MD MF的关系，并加以证明. ./ GCB=JZ GBC ,(1)线段AD与NE相等吗？请说明理

13、由；FEF为斜边AB上的中线,11、如图，梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC=10cm分别为CG、AB的中点.(1)求证：AAGD为正三角形；(2)求EF的长度.解答：(1)证明：连接BE,梯形ABCD中，AB=DC,AC=BD,可证ABCDCB,又/BGC=/AGD=60.AGD为等边三角形,(2)解：:BE为BCG的中线，BEXAC,在RtAABE中,EF=-iAB=5cm.212、如图，梯形ABCD中，ADIIBC,DE=EC,EF/AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD=1,BC=3,DC=&,试判断DCF的形状；(3)在条

14、件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使APCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由.解答：解：(1)证明：:EF=EC,EFC=/ECF,/EFIIAB,./Bu/EFC,./B=/ECF,梯形ABCD是等腰梯形；(2) ADCF是等腰直角三角形，证明：DE=EC,EF=EC,/.EF=-CD,2.CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形)，.梯形ABCD是等腰梯形，CF=1(BC-AD)=1,.DC=&,由勾股定理得：DF=1，:DCF是等腰直角三角形；(3)共四种情况：DFXBC,当PF=CF时，APCD

15、是等腰三角形，即PF=1,PB=1;当P与F重合时，PCD是等腰三角形，PB=2;当PC=CD=&(P在点C的左侧)时，APCD是等腰三角形，.PB=3V2；当PC=CD=V2(P在点C的右侧)时，APCD是等腰三角形，.PB=3+血.故共四种情况：PB=1,PB=2,PB=3-优，PB=3+&.(每个1分)13.在梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD,且DE，AD于D,/EBC=/CDE,/ECB=45求证：AB=BE;1延长BE,交CD于F.若CE=",tan/CDE=-313.证明：延长DE,交BC于G.DELAD于D,./ADE=90°又AD/BC

16、,.DGC=/BGE=/ADE=90°,而/ECB=45°,EGC是等腰直角三角形，EG=CG在ABEG和ADCG中，.BEGADCG(AAS)BE=CD=AB连结BD.EBC=/CDE./EBC+/BCD=ZCDE+ZBCD=90°,即/BFC=90°1CG11CE=姓,EG=CG=1又tan/CDE=,=3DG3'DG=3BEGfDCG,BG=DG=3BE=VBG2+EG2,求BF的长.1,1法一： Sbcd =-bcDg =-cd_bf ,22一116.10m4M3=_mJ10BFBF =225法二：经探索得,明二生.色二工，bf二小BG

17、BF 3 BF514.如图，直角梯形ABCD 中，AD / BC,NADC =90',/ABC =45、AB 的垂直平分线EG交BC于F ,交DC的延长线于 G.求证：(1) CF = CG ； (2) BC = DG.GCD=BE=.101、在ABCD中，对角线BD1BC,G为BD延长线上一点且AABG为等边三角形,/BAD、/CBD的平分线相交于点E,连接AE交BD于F,连建(1)若ABCD的面积为9J3,求AG的长;(2)求证：AE=BE+GE。2.如图，在正方形ABC叶，F是CD的中点，E是BC边上的一点，鼻、AF工、夕jDAE(1)若正方形ABCD勺边长为4,BE=3,求EF

18、的长？.一求证：AE=EC+CD2:解：(1)EF=VCE2+CF2=/12+22=屈(2)证明：过F作FHXAE于HAF平分/DAE,/D=90°,FH±AE, ./DAF=/EAF,FH=FD,在AHF与ADF中，AF为公共边，/DAF=/EAF,FH=FDB 窗髓图AH=AD , HF=DF .又 DF=FC=FH , FE为公共边,. FHEA FCE.HE=CE . , AE=AH+HE , AH=AD=CD , HE=CE ,3.如图，直角梯形 ABCD 中，AD/BC, Z B=90 °, Z D=45 °.(1)若 AB=6cm, sin

19、ZBCA=-，求梯形 ABCD 的面积；5(2)若E、F、G、H分别是梯形 ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH ,/EFH=/FHG,求证：HD=BE+BF .分种、(1)连AC,过C/CM LAD于M,在RtA ABC中，利用三角函数求出 BC ,在RtA然后(2)C中，/D=45/J用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14根据梯设的面积公式计算即可;过G作AD ,贝U DN=GN ,由 AD / BC,得/ BFH= / FHN ,而/ EFH= / FHG得到/ BFE=/GHN,易证 RtABEFRtANGH ,贝U BE=GN ,

20、BF=HN ,经过代换即可得到结论. .AHF仁ADF(HL).解答：解：（1）连AC ,过C作CM LADM,如图,在RtAABC中，AB=6,sin/ACB=AC=10BC=8,在RtACDM中，/D=45DM=CM=AB=6,AD=6+8=14, 梯形ABCD的面积？(8+14)?6=66(cm2);2(2)证明：过G作GNLAD,如图， ./D=45°, .DNG为等腰直角三角形，T7DDN=GN,又.AD/BC,/G/BFH=/FHN,&/而/EFH=/FHG,$71 ./BFE=/GHN, EF=GH, RtABEFRtANGH,BE=GN,BF=HN,DH=HN

21、+DN=HN+NG=BF+BE4、如上图，梯形ABCD中，AB/CD,AD=DC=BC,/DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EBXAB,EFXAF.(1)当CE=1时，求ABCE的面积；(2)求证：BD=EF+CE.考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。专题：计算题。分析：(1)先证明/BCE=90,/CBE=30,BCE为直角三角形，又CE=1,继而求出BE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；(2)过E点作EM±DB于点M,四边形FDME是矩形，FE=DM,/BME=/BCE=90,/BEC=/MBE=60,BMEAECB,B

22、M=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.解答：(1)解：AD=CD, /DAC=/DCA,DCIIAB, /DCA=/CAB,NDAC工NCAbNDAB=30*，DCIIAB,AD=BC, /DAB=/CBA=60, ./ACB=180(/CAB+/CBA)=90°, ./BCE=180/ACB=90,BEXAB, ./ABE=90, /CBE=/ABE/ABC=30,DO上一点，连结CE.点F是/ OCE连接ER过D作DF_LBC于F.(1)若/BEC=75'，FC=3,求梯形ABCD勺周长.(2)求证：ED=BE+FC;5 .解：；NBEC=75，/a'

23、BCDCE=45,ECG=45在RtADFC中：NDCFDCEdLfCecG1由题得，四边形ABFD知EC三二EGC延长EB至G使BGCF(E滔措CG6 .如图，正方形ABCD的对角线相走2甲吒.2FC是线段的平分线上一点，且BFLCF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点，且CO=CG.(1)若OF=4,求FG的长;求证：BF=OG+CF.7 .(1)解：CF平分/OCE,A24题图C./OCF=/ECF.又OC=CG,CF=CF,.OCF仁GCF.（3分）FG=OF=4,即FG的长为4.（4分）（2）证明：在BF上截取BH=CF,连结OH.（5分）24题答图（6分） 正方形ABCD已知，

24、ACXBD,/DBC=45°, ./BOC=90°, ./OCB=180°/BOC/DBC=45°. ./OCB=/DBC.OB=OC.BF±CF,OBH=180°/BOC/OMB=90°/OMB,/OCF=180°/BFC/FMC=90°/FMC,且/OMB=/FMC,./OBH=/OCF.（7分）.OBHOCF.OH=OF,/BOH=/COF.（8分） /BOH+/HOM=/BOC=90°, /COF+/HOM=90°,即/HOF=90°. .ZOHF=ZOFH=-（18

25、0。/HOF）=45。.2 ./OFC=/OFH+/BFC=135°. /AOCFAGCF, ./GFC=/OFC=135°, ./OFG=360/GFC/OFC=90°. .ZFGO=ZFOG=1(180°/OFG)=45°.2 ./GOF=/OFH,/HOF=/OFG. OGIIFH,OH/FG,.四边形OHFG是平行四边形.OG=FH.(9分).BF=FH+BH,BF=OG+CF.7、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP,过点B作BE _L DP交DP的延长线于点E ,连接AE ,过点A作AF .L AE交DP于点F ,连

26、接BF。(1)若AE =2,求EF的长；(2)求证：PF=EP+EB。8.如图，在梯形 ABCD 中，AD/ BC, / ABC=9 0° , DGL BC 于 G,BHL DC 于 H , CH=DH，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上，并且EF/ DC。(1)若 AD=3 , CG=2 ,求 CD;(2)若 CF=AD+BF ,求证：EF= 1 CD.28. (1)解：连接BD 1分AD/ BC, /ABC=9 0° , DG，BC .四边形 ABGD是 矩形AB=DGBG=AD=3.,. BC=3+2=5BH± DC ,CH=DH , BD=BC=5

27、I在 RtAABD中， AB= , 52 - 32 =4DG=4在 RtACDGt3 ,CD=j42 +22 =275证明：延长FE、DA相交于M1 EF/ DC, AD/CF.四边形 CDM度平行四边形CF=MD CF=AD+BF, MD=AD+AM AM=BF- AM / BF /M=/BFE 又: /AEM=/BEF AAEMM BEF8 分：.ME=EF=- MF2四边形CDMF是平行四边形 MF=CD1. EF=1 CD29、正方形 ABC叶，点E在CD延长线上，点 F在BC延长线上,°EAF=45 。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 变形a解：(简单思路)解：数

28、量关系为： EF= BF-DE.理由如下： 在BC上截取BG使得BG=DF连接AG 由四边形ABCD是正方形得/ ADE=Z ABG=90° , AD=AB又 DE=BG. ；：ADE三.：ABG (SAS/EADWGAB AE=AG,由四边形 ABC就正方形得.DAB=90o = Z DAG+Z GAB=Z DAG+Z EAD=Z GAE . GAF= GAE-. EAF=90° -45 ° =45 °/ GAF=/ EAF=45° 又 AG=AEAF=AFAEAF与 &GAF (SAS)10、如图，在等腰梯形 ABCDEF=GF=B

29、F-BG=BF-DE中，AD II BC, AB=CD , BG ± CD 于点 G.(1)若点 P在BC上，过点 P作PELAB于E, PFLCD于F,求证：PE+PF=BG .(2)若 AD=4 , BC=6, AB=2 ,求 BG 的长.解：(1)作 PM LBG 于 M . , ABCD是等腰梯形，/ EBP .又BEP=/ PMB=90 ° ,BG ± CD , PF± CD , PM ± BG ,四边形 PMGF 为矩形，PF=MG .ABC= ZC. PMXBG , CD ± BG , . . PM /CD . . .

30、/ MPB= / C=BP=PB ,(2)过点D作DN II AB交BC于点 . BEPA PMB, PE=BM .PE+PF=BM+MG=BG ;N ,则 ABND 是平行四边形， DN=AB=DC=4 , BC=6 ,AD=4,C=60° . BG=BC?sin60 ° =6X 32=33.NC=4.DNC是等边三角形，/11、正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，.EAF=45o请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?12、已知梯形ABCD中，AD/BC,AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且/FCE=1/2/BCD.(1)求证：BF=

31、EF-ED;(2)连接AC,若/B=80°,/DEC=70°,求/ACF的度数.(1)证明：:FC=F'C,EC=EC,/ECF'=/BCF+/DCE=/ECF,.FCEWAF'CE,.EF'=EF=DF'+ED,BF=EF-ED;(2)解：:AB=BC,/B=80°,./ACB=50°,由(1)得/FEC=/DEC=70，:/ECB=70°,而/B=/BCD=80°,.DCE=10°,./BCF=30°,./ACF=/BCA-/BCF=20°.13.如图，P为正方

32、形ABCD边BC上任一点，BGLAP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,连接BE,CE.求证：BE=BC;(2)/CBE的平分线交AE于N点，连接DN,求证：BN+DN-V1AN；(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为_(1)证明：vBGXAP,AG=GE,BG垂直平分线段AE,AB=BE,在正方形ABCD中，AB=BC,.BE=BC;上5(2)证明：vAB=BE,./BAG=/BEG,vBG±AP,/ABC=90,./BAG=/PBG=/BEG,vBN为/CBE的平分线，./EBN=/CBN,./PBG+/CBN=/EBN+/BEG,即/BN

33、G=/NGB=45,.BNG是等腰直角三角形，BN=迎GN,连接CN、AC,则/CNE=2(/EBN+/BEG)=90°,又/ADC=90,.A、D、C、N四点共圆，CND=/CAD=45,/AND=45,过D作DM，AE于点M,则4DNM为等腰直角三角形，一.DN=eDM,=/DAM+/ADM=90,/DAM+/BAG=90,./ADM=/BAG,在ABG和DAM中,(ADM=BAGAMD=AGB=,.ABGDAM(AAS),AG=DM,.BN+DN=eGN+V2AG=仞(GN+AG)=MAN;,玛玛l弓2x12V5根据勾股定理，AP=VAB2+BP2=V23+l2=m，.bG=VS=丁.BP=PC,/BGP=/CNP=90,.BPGzXCNP(AAS),.CN=BG,2V52VTO.CE=V2CN=笆X5=514、正方形ABC叶，对角线AC与BD交于。，点E在BD上，AE平分/DAG求证：AC/2=AD-EO（2）解：（简单思路）.：AEO . ： AEG过E作EG_LAD于G：四边形ABCDM正方形/ADC=90o,BD平分/ADC,AC±BDZADB=ZADC/2=45oAE平分/DACEO1AC,EG_LAD：/EAO%EAG,/DGE=/AOE=NAGE=90o又AE=AE,(AA0AG=A