因式分解精选例题(附答案)

1、因式分解 例题讲解及练习【例题精选】：（1） 5x2 y 15x 3 y 220x 2 y3评析：先查各项系数（其它字母暂时不看） ，确定 5，15，20 的最大公因数是 5，确定系数是 5 ，再查各项是否都有字母 X，各项都有时，再确定 X 的最低次幂是几，至此确认提取 X2，同法确定提 Y，最后确定提公因式 5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解： 5x2 y15x 3 y 220x 2 y3=5x2 y(1 3xy4 y 2 )（2） 3x 2 y12x 2 yz9x 3 y 2评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为 3，且相同字母最低次的项是 X2Y

2、解:3x 2 y12 x2 yz9x 3 y 2=(9x3 y 212 x 2 yz3x 2 y)3(3x3 y24x 2 yzx2 y)3x 2 y(3xy42 1)（ 3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中， y-x 和 x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取 y-x解：原式 =(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）（4）把 32 x3 y 42x 3分解因式评析：这个多项式有公因式2x3，应先

3、提取公因式，剩余的多项式16y4-1 具备平方差公式的形式解：32x3 y42x3=2x 3 (16y 41) =2x3 (4 y 21)( 4 y21) =2x 3 ( 2y1)( 2y 1)( 4y 21)（5）（5）把 x 7 y2xy 8分解因式评析：首先提取公因式xy2 ，剩下的多项式x6-y 6 可以看作( x 3 ) 2( y3 ) 2用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。对于 x6-y 6 也可以变成 ( x 2 ) 3( y 2 )3先运用立方差公式分解， 但比较麻烦。解： x7 y2xy 8=xy2(x 6-y 6)= xy2 ( x3 )2( y 3 ) 2=

4、 xy 2 ( x3y 3 )( x3y3 )=xy2 ( xy)( x 2xyy2 )( xy)( x2xy y2 )（6）把 ( x y) 212( xy)z36z2分解因式评析：把 (x+y) 看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y) 的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解， 而要注意观察分析， 善于把 (x+y) 代换完全平方公式中的 a，（6Z）换公式中的解：=( xy)212( xy) z36z2( xy)22(xy)(6z)(6 z) 2=(x+y-6z) 2（7）（7）1 ( x22 y 2 ) 22( x22 y 2

5、 ) y 22 y 4把 2分解因式评析：把 x2-2y 2 和 y2 看作两个整体， 那么这个多项式就是关于x2-2y 2和 y2 的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解：=1 ( x 22 y 2 )22(x 22y 2 ) y 22 y421 ( x22 y2 )22(x 22 y2 ) ? 2y 2(2 y 2 ) 2 2=1 ( x 22 y 22 y2 )21 ( x 24 y 2 ) 222122( x2y) ( x2 y)（8）（8）分解因式 a2-b 2-2b-1评析：初看，

6、前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式 =(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b 2-2b-1=a2-(b 2-2b+1)=a 2-(b+1) 2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差” 。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9）（9）把 a2-ab+ac-bc 分解因式解法一： a2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二： a2

7、-ab+ac-bc=(a 2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)（10） （10）把 2x 22xy 3x 3 y 分解因式解法一： 2x22 xy 3x3y=解法二：=(2x22xy)(3x 3 y)2x( xy)3(xy)(xy)( 2x3)2x22 xy3x3y(2x23x)(2xy3 y)x(2 x3)y(2x3)( 2x3)( xy)说明：例（ 2）和例（ 3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系， 即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1 ：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是 2：（-3 ）(11) 分解

8、因式 x3 x 2 x 1评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。 如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一： x3 x2 x 1=( x3x 2 ) ( x 1)x2 ( x 1) ( x 1)=( x 1)( x 21)(x 1)( x 1)( x 1)(x 1) 2 (x 1)解法二： x3x2x1= x3x( x 21)x( x21)( x21)=(x 21)( x 1)( x 1)( x 1)( x 1)( x 1)2 ( x1)解法三： x3x2x1=( x31)( x2x)(x1)( x2x1) x( x 1)=(x 1)( x 2x 1 x) ( x

9、1)( x22 x 1) ( x1)( x 1) 2（ 12 ） （12）分解因式 (a-b) 2-1-2c(a-b)+c 2评析：本题将（ a-b ）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解： (a-b) 2-1-2c(a-b)+c2=(a-b) 2-2c(a-b)+c 2-1=(a-b)-c2-1=(a-b-c) 2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式 8a2-5ab-42b 28a -21b解： 8a2-5ab-42b 2a +2b=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab（ 14 ） （14）分解因式 a6-10a 3+1

10、6解： a6-10a 3+16a3-2=( a3-2)( a 3-8)a3-8=( a3-2)(a-2)(a2+2a+4)-8a3-2a 3 =-10a 3（15） （）分解因式2+x+3015-x解： -x 2+x+30 （先提出负号） x+5=-( x2-x-30)x-6=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x（ 16 ） （16）分解因式 12(x+y) 2-8(x+y)-7解： 12(x+y) 2-8(x+y)-72(x+y)+1=2(x+y)+16(x+y)-76(x+y)-7=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8（17）把 x3y3x2xy y 2分解因式评析：此题

11、是一个五项式， 它能否分组分解， 要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。 本题注意到后三项当把 -1提出后，实际上是 x 3y3按立方差公式分解后的一个因式：解： x3y 3x 2xy y 2= (x 3y 3 ) ( x2xy y 2 )= (x y)( x 2xy y 2 ) (x 2xy y2 )= (x 2xy y 2 )( x y 1)（18）（18）把 x 2y 2z22 yz 2x 1分解因式评析：把 x22x 1看成一组符合完全平方公式， 而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解： x 2y 2z22yz 2x 1= (x

12、 22 x 1) ( y 22yz z2 )=(x1)2( yz) 2=(x1yz)( x1yz)（19）分解因式 ( x2x 1)( x2x2)6评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x2x 这一显著特点，我们不妨设x2x =a 可得（ a+1）（a+2）-6即 a2+3a+2-6，即 a2+3a-4 ，此时可分解为（ a+4）（a-1 ）解： ( x2x 1)( x2x 2)6=( x 2x)23( x2x) 2 6(x 2x) 23( x 2x) 4( x 2x)4( x 2x) 1(x 2x4)( x2x 1)（20）把 ( x 22x4)(

13、x22x 3) 8 分解因式解： ( x22x 4)( x22 x 3) 8=( x22x) 2( x22x) 12 8=( x22x) 2( x22x) 20=( x 22x)5( x22x) 4=( x22x 5)( x 22 x 4)（ 21）把 (x 23x 2)( x 29x 20) 72 分解因式评析：它不同于例 3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有( x 23x2)( x29x20)(x1)( x2)( x4)( x5) 。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（ x2-3x ）解：=( x 23x

14、2)( x 29x20)72(x1)( x2)( x 4)( x5)72( x1)( x4)( x2)(x5)72(x 23x4)( x23x10)72(x 23x)214( x 23x)32( x 23x)16( x 23x)2=(x 23x 16)( x23x 2)(x 23x 16)( x 2)( x 1)（22）把 (a1)(a 2)(a3)(a6) a 2分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有 1 ×6=2×3=6 利用结合律会出现 a2+6解：=(a 1)( a2)( a 3)( a6)a2( a1)(a6)( a2)(a3)a 2(a26

15、7a)(a 265a)a 2(a26)212a(a 26) 36 a 2( a26 6a)2（ 23）把（ x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9 分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（ x+3）（x+5）22分别乘开就会出现(x8x7)( x8x15)9 的形式，这就不难发现2（x +8x）作为一个整体a 同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）a6-9 的形式，展开后有 a2+22a+96，利用十字相乘 a 16 ，得到（a+6）（a+16）而分解。解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9

16、=（x+1）（x+7） （x+3）（x+5）-9=( x28x 7)( x28x 15) 9以下同于例 3=( x 28x) 222( x 28x)105 9( x28x) 222( x28x) +96( x 28x)16)( x28x)6( x28x16)( x28x6)（ 24）把 x（x+1）（x+2）（x+3）-24 分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（ x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现 （x2+3x）。可以设 x2+3x=a，会有 a（a+2） -24 ，此时已易于分解解： x（x+1）（x+2）（x+3）-24=x（x+3） （x+1）（x+2）-24=

17、( x 23x)( x23x2)24( x23x)( x23x)224( x 23x)22(x 23x)24=( x 23x 6)( x23x 4)（25）把 (x 23x 1) 22(x 23x)10 分解因式评析：不要急于展开 (x 23x1) 2，通过观察前两项，发现它们有公共的 x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解： ( x23x1)22(x 23x)10=(x(x23x) 22(x 23x) 1 2( x23x) 1023x)29 ( x23x 3)( x23x 3)（26）把分解因式 (a b cd )24(ab)( c d )评析：我们可以观察到 +前后的两项都有（

18、a+b）和（ c+d）。据此可把它们看作为一个整体。解： (a bcd) 24( ab)( cd )=( ab)(cd ) 24(ab)(cd )=(ab) 22(ab)(cd )(cd )24(a b)(c d)=(ab) 22(ab)(cd )(cd )2=( a b) (c d ) 2( a b c d) 2（27）把 1aa(a1)a( a1) 2a( a1)3分解因式评析：把（ 1+a）看成一个整体，第一项1 与第二项 a 也合成一个整体（ 1+a）解： 1a a( a1) a(a 1) 2a(a1) 3=(1a)1a a(1a)a(1 a) 2 (1a)(1a)1aa(1a)(1a

19、)(1a)(1a)(1a)(1 a) 4（28）把 2x 2xy6 y 22x 11y 4 分解因式评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到2x2xy 6y 2( 2x 3 y)(x 2 y)此时可设 ( 2x 3 ym)( x 2yn) 2x2xy 6y 22x 11y 4再用待定系数法求出 m和 n解：设 2x2xy6y22x 11 y4=( 2x 3y m)( x 2y n)2 x2xy6y 2(m 2n)x ( 3n 2m)y mn比较两边对应系数得到m+2n=2-3n+2m=11mn=-4由和 得到 m=4，n=-1代入也成立 2x 2xy6 y22x11y 4 =（2x-3

20、y+4 ）（x+2y-1 ）（29）把 x22xy8 y 24x 10 y 3 分解因式解： x22xy 8y 24x 10 y3=(x 4 y)( x 2 y) 4x 10 y 3= （x+4y+m）（x-2y+n ）=x22 xy8y 2(mn) x(4n2m) ymn有m+n=-44n-2m=-10mn=3由和 得到 m=-3，n=-1代入也成立 x22xy 8y 24x10 y3=（ x+4y-3 ）（x-2y-1 ）（30）当 x+y=2 时，求 x36xyy3的值评析： x+y=2 这是唯一的条件。要从 x 36xyy3中找到 x+y或有关（ x+y）的表达式解： x36 xy y

21、 3=（x+y）（ x2xyy2）+6xy x+y=2原式 =22x22xy2 y 26xy =2x24xy 2 y 22( x22 xy y 2 )(xy) 22 (2)2=8x1x31的值（31）己知x =2 求x3解： x31( x1)( x211) (x1)( x1)23x3 =xx2xx1x x =2原式 =2 （2）2-3=21(x 2y 2ax ay 2xy 6a 2 )（32）己知 x-y=2 ，求 a 2的值12 ( x2y2ax ay 2xy 6a 2 )解： a=1( x 22xy y 2 )(axay)6a2 a 2=1( xy)2a( xy)6a 2 （x-y ）-3

22、aa 2=1( xy3a)( xy2a)（x-y ）+2aa 2x-y=a112原式 = a 2 ( 2a)(3a)a 2( 6a)6初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式 ambmcmm(abc),其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用a2b2(ab)(ab),a22abb2(ab) 2 ,a3b3(ab)(a 2abb2 )写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体” 看，这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解， 但从“

23、局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= ( aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=( mn)( ab)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键： 分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay )(5bybx)原式 = (2axbx)( 10ay5by )=2a( x5

24、y)b( x5 y)=x( 2ab)5y( 2ab)=(x5 y)( 2ab)=(2ab)( x5y)练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )( axay)=( xy)( xy)a( xy)=( xy)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb2c 2解：原式 = ( a22abb 2 )c2=( ab) 2c 2=( ab c)(a bc)注意这两个例题的区别！练习：分解因式

25、3、 x2x9 y23y4、 x 2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y3（ 2） ax 2bx 2bxaxab（3） x26xy9 y 216a28a1（4） a26ab12b9b24a（5） a 42a3a2 9（ 6） 4a 2 x4a 2 y b 2 x b2 y（7） x22xyxzyzy 2（ 8） a22ab 22b2ab1（9） y( y2)(m1)(m1)（10） (ac)(ac)b(b2a)（11） a2 (bc)b2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a 3b3c 33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公

26、式x2( pq) xpq(xp)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： x 2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2×3=(-2) ×(-3)=1 ×6=(-1) ×(-6)，从中可以发现只有2× 3 的分解适合，即 2+3=5。12解： x 25x6 = x 2(2 3) x 2 313=(x2)( x 3)1× 2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这

27、两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27 x 6解：原式 = x 2(1)(6) x(1)(6)1-1= ( x1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7练习 5、分解因式 (1)x 214x24(2)a 215a36(3) x24x5练习 6、分解因式 (1)x 2x2(2)y 22 y15(3)x 210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式条件：（ 1） aa1a2（ 2） cc1c2（ 3） b a1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc =( a1 x c1 )(a2 x例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1 -2ax 2bxca1c1

28、a2c2b a1 c2 a2c1c2 )3 -5（ -6 ）+（-5 ）= -11解： 3x 211x 10 = ( x2)(3x5)练习 7、分解因式： （1） 5x27 x 6（2） 3x 27x 2（3） 10 x 217 x 3（ 4） 6 y211 y 10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab 128b2= a28b( 16b) a 8b ( 16b)=(a8b)(a16b)练习 8、分解因

29、式 (1) x23xy2y2 (2) m 2 6mn 8n2 (3) a 2 ab 6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27 xy6y 2例 10、 x 2 y23xy21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1 -2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = (x 2y)( 2x3 y)解：原式 =( xy1)( xy2)练习 9、分解因式： （1） 15x27xy 4 y2（2） a 2 x26ax8综合练习 10、（ 1） 8x67x 31（ 2） 12x 211xy 15 y2（3） ( x y)23( x y) 10（ 4）

30、(a b) 24a 4b 3（5） x2 y25x 2 y6x 2（6） m24mn4n23m6n2（7） x24xy4 y 22x4 y3（ 8） 5( ab) 223(a 2b 2 )10(ab) 2（9） 4x 24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy)211( x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式： abcx 2( a2 b2c 2 )xabc五、主元法 .例 11、分解因式：x23102x9y25-2解法一：以 x 为主元xyy2-1解：原式 = x 2= x 2= x= ( xx(3y1)(10 y 29 y2)(-5)+(-4)= -9x(3y1)(5y2)(

31、 2 y1)1 -(5y-2)(5y2) x(2y1)1(2y-1)5 y2)( x2 y1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以 y 为主元1-1解：原式 =10 y 2=10 y2=10 y2=2 y=( 2y练习 11、分解因式 (1)y(3x9)( x2(39)y(x2x(3x9) y( x( x1) 5 y( xx1)(5 y x2)x2y 24x6yx2)12x2)-1+2=11)( x2)2(x-1)2)5-(x+2)5(x-1)-2(x+2)=(3 x-9)5 (2) x2xy2 y 2x 7 y 6(3) x2xy6 y 2x13 y6(4)a 2ab6b

32、 25a35b36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对Ax 2BxyCy 2Dx EyF 型多项式的分解因式。条件：（ 1） Aa1 a2 ， Cc1c2 ， Ff1f 2（ 2） a1c2a2 c1B ， c1 f 2 c2 f1E ， a1 f 2a2 f 1 D即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2 c1B ， c1 f 2c2 f 1 E ， a1 f 2a2 f 1则 Ax2BxyCy2Dx EyF(a1 xc1 yf 1 )(a2 x例 12、分解因式（1） x 23xy10 y 2x9 y2（ 2） x 2xy6 y 2x 13 y6解：（ 1） x23xy10 y

33、2x9 y 2应用双十字相乘法：x5y2Dc2f 2 )x2 y12xy5xy3xy ， 5 y4 y9y ， x 2x x原式 = ( x5y2)( x2 y1)（ 2） x2xy6 y 2x13y6应用双十字相乘法：x2 y3x3 y23xy2xyxy ，4 y9 y13y ，2x 3x x原式 = ( x 2 y3)( x3y2)练习 12、分解因式（1） x2xy2 y2x7 y6（2） 6 x27xy3 y2xz7yz2z2七、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005 x2( 200521) x2005（ 2） (x1)( x2)( x3)( x6)x2解：（ 1）设 2005=

34、 a ，则原式 = ax2(a21)xa=(ax1)( xa)=(2005 x1)( x2005)（2）型如 abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 =( x27x 6)( x25x 6) x 2设 x 25x6 A ，则 x27x 6 A 2x原式 =( A2x) A x2= A22Axx2=( A x)2 = (x 26x6) 2练习 13、分解因式（1） ( x2xyy2 )24xy( x2y 2 )（2） ( x 23x2)( 4x28x3)90 （ 3） (a 21) 2(a 25) 24(a23)2例 14、分解因式（ 1） 2x4x36x 2x 2观察：此

35、多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x2 ( 2x2x611) = x 22( x21 )( x1 )6xx 2x 2x设 x1t ，则 x 21t 222x2x222原式 =x22)t6= x2tt10（ t=x225t2= x22x25x12txx=x·2x25 ·x·x12 = 2x25x 2 x22x 1xx=( x 1) 2 (2x 1)( x2)（ 2） x 44x3x24x 1解：原式 = x2x24x14

36、1=x2x214 x11xx 2x 2x设 x1y ，则 x 21y 22xx 2原式 = x2y 24 y3 = x 2y1y3=x2 ( x11)( x13) = x 2x 1 x23x 1xx练习 14、（1） 6x47x336x 27 x6 （ 2） x42x3x21 2( x x2 )八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 3 解法 1拆项。原式 =x31 323x=( x1)( x 2x1) 3( x= ( x1)( x 2x1 3x=( x1)( x 24x4)=( x1)( x2) 23x 24解法 2添项。原式 = x33x24x4x41)( x1)=x( x 23x4)(4x4)3)=x( x1)( x4)4( x1)=( x1)( x 24 x4)=( x1)( x2) 2（ 2） x9x 6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)=