第二章、连续时间系统的时域分析

1、第二章、连续时间系统的时域分析主要内容：主要内容：系统的数学模型零输入响应与零状态响应奇异函数与信号的时域分解冲激响应与阶跃响应卷积 2.1 引言引言连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性常系数微分方程，求解微分方程通常有两种方法：一是直接求解，因涉及的函数变量都是时间t，所以称时域分时域分析法析法；二是变换的方法，即将时间变量变换为其他变量，所以也称变换域分析法。称变换域分析法。这一章我们主要讨论时域分析法，下面先看一个RLC串联电路列回路方程可得:t) t ( e) t (Ridt) t (diLd)( iC1或22( )( )11( )( )d i tR di tde ti tdtL

2、dtLCLdtebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdnmmmmmmnnnnn0111101111.阶系统：一、经典解法这种形式的方程其解法在高等数学中已学过。求解过程可分为三步：1、求出齐次方程的通解。（称自由响应）2、根据激励函数的具体形式求特解。（称受迫 响应）3、根据初始条件求待定系数。这种方法对于简单的正弦函数或指数函数、直流激励时求解比较简单，但对于一些复杂的激励信号求解就比较困难了。 二、叠加积分法这种方法将全响应分为零输入响应和零状态响应 r(t)=rzi(t)+rzs(t)初态0)(tei激励)(tr全响应初态=0)(tei真实激励)(tr)(tes

3、初态等效激励初态=00)( tei零输入响应)(trzi0)( tes初态=00)( tei零状态响应)(trzs0)( tes)()()(trtrtrzizs1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t)2、将e(t)分解为基本函数，分别求解系统对这些基本函数的响应。3、根据线性系统的叠加原理将它们相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)第2步的分解一般有两种方法：分解为脉冲分解为阶梯 当分解得无限小时第3步的求和变为积分，第一种方法得到卷积积分,第二种方法得到杜阿美尔积分。分解为脉冲分解为阶梯三、拉普拉斯三、拉普拉斯(傅里叶傅里叶)变换法变换法 这种方法可避免求

4、解微分方程（将求解微分方程转化为求解代数方程），但需正反两次变换。2.2系统方程的算子表示法对于n阶线性非时变系统其输入输出方程为ebdtdeb.dtedbdtedbradtdra.dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111p( )dpdtdpdtdpdtdt-nnn1.,222 以及引入算子则方程可改写为：ebpeb.epbepbrapra.rparpmmmmnnn01110111进一步可写成：ebpbpbpbrapapappNmmmmpDnnn)(0111)(0111).().(称转移算子称算子方程，其中则)()()()()()()()()(,)()()()(pDpNpH

5、tepHtepDpNtrtepNtrpD)()(11xtxddtdxpxppxdxdtdxppttt但可以消去p就不能随意消去，除非x(-)=0，另外由 px=py 也不能推出 x=y 这是因为0ccyxdtdydtdx除非常数得若结论结论：1、代数量的运算规则对于算子符号一般也适用，只是在分子分母或等式两边的相同算子符号不不能随意约去能随意约去。2、它表达的是一个运算过程，应把它作为整体看待，书写时也应把它写在变量的左边，表示该运算过程作用于某个变量。3、算子形式的方程实质上还是一个微分方程。 因此对于零输入响应就是解齐次方程 D(p)r(t)=0 ，而求零状态响应则要解方程 r(t)=H(

6、p)e(t)。下面我们先看一个例子例:电路如图所示，写出i1(t) , i2(t)的转移算子。解：直接用算子符号列方程：1pCpL只要将电路中的电容用代替，电感用代替,电阻不变0)112(11)11 (2121ippipeipipp01) 12(111) 1(221212ipppipeipipppeppppppppppppeip)2432(1212111120112322221eppppppppeppip)2432(1121110111232222243212)(,24321223212321ppppppHepppppi24321)(,24321232232ppppHepppi243212)(

7、2321ppppppH24321)(232ppppH243212)(2321ppppppH24321)(232ppppH讨论：1、在电路中有三个独立的储能元件，独立的储能元件，为一个三阶系统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式的最高次数应为三次。2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。 2.3系统的零输入响应系统的零输入响应前面已经指出求零状态响应就是求解齐次方程：先看一阶、二阶的简单情况，然后再推广到一般情况。0).()(0111rapapaprpDnnntCeKtCererKtlnrdtdrrdtrdrrdtdrrpK令于是两边积

8、分：或写成微分形式一阶：100)(其中的C为常数，需要系统的初始条件来确定。设初始条件为：t=0 时 r=r(0) 0)0()()0(tertrrCt则：一般地，设初始条件为：t=t0 时 r=r(t0) 0)(000000)()()()(:ttetrtretrCCetrtttt于是则21012012,00)(的两个根为设特征方程二阶：apaprapaptteCtrrpeCtrrprpp2122211121)(0)()(0)(0)(得由得由则原方程可写为：显然r1(t)，r2(t)都满足原方程，所以解的一般形式可写为：tteCeCtr2121)(若t=0时的初试条件为 r(0) , r(0)，

9、代入上式得：)0()0(221121rCCrCC解之便可得C1，C2 对于一般的n阶齐次方程 0).()(0111rapapaprpDnnn可设其特征方程 0.0111apapapnnn有n个根1, 2 n 称特征根,也称为系统自然自然频率频率，或称为转移算子H(p)的n个极点。下面分根的三种不同情况来讨论。 一、特征根为异（实）根一、特征根为异（实）根算子方程写为：0)()(21rpppn由前面的讨论可写出解的一般形式：tnttneCeCeCtr2121)(若给定系统的n个初始条件： )0(),0(),0()1( nrrr我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，Cn。将初始条件代入r(t)就

10、得到一个线性方程组： nnnnnnnnnnnCCCrCCCrCCCrCCCr1212111)1(2222121221121)0()0()0()0( )0()0()0()0(1111)1(32111312112232221321nnnnnnnnnrrrrCCCC )0()0()0()0(1111)1(111312112232221321321nnnnnnnnnrrrrCCCC二、特征根为共轭复根二、特征根为共轭复根因为特征方程的系数为实数，所以如果出现复根则必定成对出现。设特征根1，2为一对共轭复根，即1=+j，2=-j 则对应的解为：)()( )()()(21212121)(2)(1tsinK

11、KjtcosKKetjsintcoseKtjsintcoseKeKeKtrCCttttjtj 12( )()tr teC cos tC sin t所以特征根为一对共轭复根时解的一般形式写为：其中的C1，C2同样可由初始条件求出。三、特征根为三、特征根为k阶重根阶重根设特征根为k阶重根，这种情况说明特征多项式D(p)中有因子(p-) k，根为其它的情况前面已作出讨论，所以我们只要求解方程(p-)kr=0即可。tkeArrprrp1111)1(0)()(则设：ttttttttkeAtArAtAdtAerAerdtdAredtdreeeArdtdreArrprrp)()()()(2122112121

12、221221122)2(得两边乘以则再设：ttttttttkeAtAtArAtAtAdtAtAerAtAerdtdAtAredtdreeeAtArdtdreAtArrprrp)21(21)()()()()()(3221332212132132133213321233)3(得两边乘以则同理设：tkkkkkeAtAtAktAkrr)!2(1)!1(1122111121)!1(1,AkCACACkkk令如此推下去可得：所以方程(p-)kr=0解的一般形式为：tkketCtCtCCr)(12321常数C1，C2，Ck同样可由初始条件求出。例2-1 如图RLC串联谐振电路，已知 L=1H , C=1F

13、, R=2.5 初始条件为：1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/s2、i(0)=0 A, uc(0)=10 V分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。解：前面我们已经列出了它的微分方程 写成算子形式： 211() ( )( )Rppi tpe tLLCL22121( )2.51(0.5)(2)0.5,2RD pppppLLCpp 22( )( )11( )( )d i tR di tde ti tdtLdtLCLdttteCeCti225 . 01)(1、初始条件为i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时32,32125 . 00212121CCCCCC0)(32)(25 . 0

14、teetitt2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时 初始条件uc(0)=10 V不能直接用于确定常数C1, C2 所以必须转化为i(0)。sAitutitic/10) 0(0)()(5 . 2)(所以由于代入零输入响应的一般形式得：320,3201025 . 00212121CCCCCC0)(320)(25 . 0teetitt1、初始条件为i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时0)(32)(25 . 0teetitt2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时0)(320)(25 . 0teetitt1、由于电容C上的初始电压为10V方向为左正右负，

15、所以电容放电，方向与参考方向相反，曲线在横轴下方，由于电路中存在电阻将损耗能量，最终电流变为零。2、第一种情况i(0)=1 A/s相当于电容C上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同，曲线在横轴上方。电路的工作过程与第二种情况一样。例2-2 上例中将电阻改为R=2 初始条件仍为：i(0)=0 A , i(0)=1 A/s求回路电流的零输入响应。 解:0)(11)0()()(00)0()()(1) 1(12)(22221212122ttetiCiteCeCtiteCtiCitCCetippppDttttt得由求导得立即可得由这时讨论：这种情况特征根为二阶重根，在电路理论

16、中属于临界阻尼的情况，电路工作过程与例2-1一样。而例2-1在电路理论中属于过阻尼的情况，临界阻尼和过阻尼的零输入响应电流都不出现振荡。如果继续减小电阻则零输入响应电流将出现衰减的振荡，在电路理论中称欠阻尼。例2-3 上例中将电阻改为R=1 初始条仍件为：i(0)=0 A , i(0)=1 A/s求回路电流的零输入响应。解：023sin32)(321)0(23cos2323sin2)(23sin)(00)0()23sin23cos()(23211)(212212212212121212, 12ttetiCiteCteCtiteCtiCitCtCetijpppDttttt得由求导得立即可得由这时

17、1、i(0)=1 A/s相当于电容C上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同，曲线在横轴上方。电容放电时将电容中的电能转化为电感中的磁能；当电容中的电能全部转化为电感中的磁能时电流达到最大；讨论：2、接下来电感中的磁能向电容释放，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时电感中的电流为零；3、电容中的电能反向释放，曲线在横轴下方，当电容中的电能全部转化为电感中的磁能时电流达到负的最大；4、电感中的磁能向电容释放方向与2相反，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流又变为零；5、接下来从1开始重复这个过程，由于电路中存在电阻将损耗能量，所以振荡幅度逐步减小，最终

18、衰减为零。零输入响应小结：零输入响应小结：求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)r(t)=0 ，可根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式。tnttnneCeCeCtrn212121)(,1个异实根、特征根为)sincos()(,22121tCtCetrjjt根、特征根为一对共轭复tkketCtCtCCtrk)()(312321阶重根、特征根为对于复杂的系统其特征根中可能既有异实根又有重根还可能有共轭复根，则系统零输入响应的一般形式我们可以根据根的不同情况分别写出，例如系统的特征根中1，2为两个不同的实根，3=+j，4=-j为一对共轭复根，5为三阶重根则系统零输入响应的一般形式

19、写为：ttttetCtCCtCtCeeCeCtr521)()sincos()(276543212.4奇异函数奇异函数 系统的全响应是零输入响应和零状态响应之和，上一节讨论了零输入响应的求法，后面几节将讨论零状态响应的求法。本节先介绍几个很有用的信号函数，由于这些信号在实际中并不存在，只是数学上对某些信号的一种抽象和理想化，所以称为奇异函数。一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数(t)0001)(ttt定义：单位阶跃函数延迟t0的单位阶跃函数任意一个函数f(t)乘(t)以后，其乘积在阶跃之前为0，之后则保持f(t)不变。我们来看下面的一个电路系统，原来输入端没有输入，在t0时接入电源E。等效因此，阶跃

20、函数可以用来表示理想化了的开关接通一信号源的情况。二、单位冲激函数二、单位冲激函数(t)00)(1)(ttdtt定义： 单位冲激函数(t)除了t=0外其余均为0。(t) 函数在t=0处的值没有定义，但其面积为1，即： ，其面积称为单位冲激函数的冲激强度冲激强度。在图象上用括号括起来，表示冲激强度而不是函数的幅度；其幅度有时也将它看成无穷大，在图象上用箭头表示。1)( dtt单位冲激函数的几个性质：单位冲激函数的几个性质：0001( ) ( )(0( )()( ) ()( )f ttff ttttttf t、)()()()0()()(200tfdttttffdtttf、0( ) ()tft d

21、() ( )( )f tdf t 00000( )( ) ()0f tttf tttttdtttdttdttdtdtttttdttt)()(,)()()()(0001)()(30000、为偶函数、)()(4tt15()( ) ,0attaa、尺度变换(t)和(t)这二个奇异函数特别重要，要求重点掌握。有了这二个函数对一些分段表示的函数表达起来就比较方便，另外对一些不连续的函数也可以求导数了。例如：如图所示的函数可分段表示为：200200)(ttettft)2()()2()()(tetettetfttt)2()()2()()2()2()()()(2ttetettetetetetfttttt 实际

22、上对于这种函数的求导，通过图形来求更方便。在函数连续的部分用常规的求导方法求，而在函数有跳变的地方则有一个冲激存在，冲激的方向取决于向上还是向下跳变，冲激的强度则取决于它的跳跃量。三、单位斜变函数R(t) 000)()(tttdtRt定义：四、门函数四、门函数 我们把幅度为1宽度为的对称矩形脉冲信号称为门函数，记为G(t)，下标表示其宽度。则宽度为幅度为1/的门函数记为1/G(t)。 五、单位冲激偶五、单位冲激偶(t)我们注意到门函数1/G(t)，不管取何值它的面积总是1，当变小时它的幅度增大，但面积保持不变。所以，当0时1/G(t) (t) 而1/G(t) (t)2(1)2(1)(1)2()

23、2()( tttGtttG0)(1tG)(t0(t)为一正一负两个冲激，因此称单位冲激偶单位冲激偶，带括号的1标在中间，它并不表示冲激的强度，而表示单位冲激函数的导数。)()0()()0()()(tftfttf冲激偶有下面的性质 2.5信号的时域分解一、周期脉冲信号表示为奇异函数之和1、有始周期矩形脉冲)()()(1ttAtf0111)()()2()2()()()()()2()()()(nnTtnTtATtTtATtTtAttATtfTtftftf2、有始周期锯齿形脉冲信号、有始周期锯齿形脉冲信号)()()()(1TtATtRtRTAtf1)()()3()3()2()2()2()()()()(

24、)(nnTtAtRTATtATtRTtRTATtATtRTtRTATtATtRtRTAtf二、任意信号分解为异函数二、任意信号分解为异函数1、任意信号表示为阶跃的积分 ttktttkftkftkttkftkftfkk)() 1()()() 1()()()() 1()(0tkfttkftkflimt当t0时为无穷小量，用d表示；kt连续变量，记为；求和积分；近似相等相等。dtftf)()()(ttktttkftkftkttkftkftfkk)() 1()()() 1()()(2、任意信号表示为冲激函数的积分 kkttkftttkttktttkttkttkftf)()()()()()()()()(

25、)(0tkttttkttktlimt当t0时为无穷小量，用d表示；kt连续变量，记为；求和积分；近似相等相等。 kkttkftttkttktttkttkttkftf)()()()()()()(dtftf)()()(2.6阶跃响应与冲激响应阶跃响应与冲激响应一、单位阶跃响应与单位冲激响应一、单位阶跃响应与单位冲激响应系统对单位阶跃函数(t)的零状态响零状态响应应称单位阶跃响应，用r(t)表示；系统对单位冲激函数(t)的零状态响零状态响应应称单位冲激响应，用h(t)表示。 ( )()( )()e te ttr tr tttt 00( )()( )()limlim( )( )tte te ttr t

26、r tttte tr t 即：( )( )( )( )e tr te tr t对于线性非时变系统有：()()e ttr tt 证明：所以对于线性非时变系统，还有如下的结论：若：e(t)r(t) 则：e(t)r(t)ttdrdetrte)()()()(则：若：同样道理：( )( ) ,( )( )( )( ) ,( )( )*tttttdh tr tr thd 由于所以： 可见r(t)， h(t)只要求出其中之一，另一个也就相应地确定下来了。在实际的系统分析中更重要的是单位冲激响应h(t)。所以，下面我们主要讨论单位冲激响应h(t)的求法。二、单位冲激响应二、单位冲激响应h(t)的求法的求法h(

27、t)是系统在单位冲激函数(t)激励下的零状态响应。所以当系统的激励为(t)时，输入输出算子方程写为：)().()().(01110111tbpbpbpbthapapapmmmmnnn)()()(:)(tpHthpH表示用转移算子1、由转移算子、由转移算子H(p)求求h(t) 设特征方程有n个根1, 2 n。它们是特征根，也称为转移算子H(p)的n个极点，或叫系统自然频率。下面要分几种不同情况来讨论。(1)、H(p)有有n个单极点个单极点1, 2 n且且nm则H(p)可写成部分分式的形式 )()()(.)()()(221101110111tpKpKpKpKtapapapbpbpbpbtpHthn

28、niinnnmmmm00( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(0 )( )iiiiiiiiiiiiiiiittttiiiittiittiitiiKh ttpdh th tKtdtdh teeeh tK etdtdeh tK etdtd eheh thk edKt 令：写成微分方程的形式两边乘得：即：左边积分：右边积分：)()(0)0(0teKthhtiii即，由于系统的初始状态为nititeKthi1)()(响应：从而得到系统总的冲激(2)、H(p)有有n个单极点个单极点1, 2 n 但但nm这时我们可以把H(p)化为一个多项式和一个真分式之和，然后将真分式

29、写成部分分式的形式。即：)()()().()(.)()()(221101110111012211011101110111tpKpKpKCpCpCpCtapapapbpbpbpbCpCpCpCtapapapbpbpbpbtpHthnnnmnmnmnmnnnnnnnnmnmnmnmnnnmmmm1110()(1)110()(1)1101() ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )im nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm nntiiCpCpC p CtCtCtCtCth tCtCtCtCtKet 由于11101212( )() ( )() (

30、 )m nm nm nm nnnh tCpCpC pCtKKKtppp (3)、H(p)有两个互为共轭的极点有两个互为共轭的极点1=+j，2=-j)()()()()(01tjpjKKjpjKKtjpjpbpbthIRIR)()sin2cos2()()2222()()()()()()(ttKtKetjeeKeeKetejKKejKKthIRttjtjItjtjRttjIRtjIR则：(4)、H(p)有有k阶极点阶极点kpNtppNthk的阶数小于)()()()()(111( )()()() ( )kkikkiCCCh tpppCtp1( )( ) ,1,2,()( )( )( )(1)!iiii

31、tiiiCh ttikpCh th tteti令可以证明的解为：)()!2()!1()(12211teCtCtkCtkCthtkkkk证明：)()(,111teCthit显然有时)()()()()()()()()()()(,2222222222teCthtCthpththptCthpit则令时)()()()()()()(222222tCthedttdheteCththpttt写成微分的形式)()()()()()(22020222tteCthdChedtCthedtdtttt两边积分)()()()()()()()()()()()()()(,3333333233333tteCthptteCthtC

32、thpththptCthpitt由上面的结论得则令时33333( )( )( )( )( )tttdh teeh tC ttdtdeh tC ttdt写成微分的形式3300233( )( )( )( )1 2tttd ehCdCh tt et 两边积分)()!2()()()()!2()()()()()()()()()()()()!2()()()()(221211111tetiCthptetiCthtCthpththptCthptetiCthtCthptiiitiiiiiiiiiiitiiiiii由上面的假设得则令时当的解为设：)()!1()()()!2()()()!2()()()!2()()(

33、102022tetiCthdiChedttiCthedtdttiCthedttdhetiiitiitiiiitiiitit两边积分写成微分的形式例1：已知系统的微分方程为 :求单位冲激响应h(t)。解：1、求转移算子H(p)(5)(4)()(2)(3)(223322tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtdnmpHpppppH且有两个极点2, 1)(,2354)(212232、将H(p)分解23121)2)(1(751)(ppppppppH)()32()()()(2teettthtt例2：已知系统的微分方程为: 22( )( )4( )4 ( )3 ( )ddde tr tr tr te

34、 tdtdtdt求单位冲激响应h(t)。解：1,22233( )244(2)ppH pppp 两阶极点(2 1)221( )1( )(1)( )(21)!tth ttettet211( )(2)2H ppp例3 如图RLC串联谐振电路，已知 L=1H , C=1F , R=1 ,e(t)=(t)求回路电流i(t)和电感上电压uL(t)的零状态响应。解：1、由算子的概念可直接写出关于电流i(t)的H(p) 2321111)(2, 12jppppCLpRpH23212321)(*jpKjpKpH63,216321IRKKjK)()23sin3323(cos)(21tttetit2、由算子的概念可直

35、接写出关于电压uL(t)的H(p) 222( )11111pLpH pppRLppCppp 2321232111*2jpKjpKppp1,21322j 63,216321IRKKjK)()23sin3323(cos)()(21tttettutL)()23sin3323(cos)(21tttetit12333( )( )(cossin) ( )232tLu ttettt讨论： 在电路理论中往往强调电感中的电流和电容上的电压不能突变，在本例中系统的初始状态为0，即电感中的初始电流应为0，但在t=0时电感中的电流发生了突变。原因是电路所受的激励为(t)，这是一种理想的电源，在实际中并不存在，它的幅度

36、为无穷大。所以，当(t)在t=0时作用于系统的瞬间就使电感中的电流达到某一数值，电流发生了突变，在响应的图形中我们同时画出了电感两端的电压，可以看到在t=0时有一冲激电压存在，正是这个冲激电压使得电流发生的突变；电容上的电压也发生了突变。例4：如图RC串联电路受冲激电压激励，求回路电流i(t)和电容上电压uc(t)的零状态响应。解：关于电流i(t)的H(p)RCpCRRRCppRpCRpH1111111)(2)(1)(1)(12teCRtRtitRC关于电压uc(t)的H(p)(1)(1111)(1teRCtuRCpRCpCRpCpHtRCcuc(t)也可以由i(t)的积分来求：)(1)(1)

37、(1teRCdiCtutRCtc)(1)(1)(12teCRtRtitRC)(1)(1teRCtutRCc由由H(p)求单位冲激响应小结求单位冲激响应小结：求单位冲激响应就是求解微分方程 )()()(tpHth1、H(p)有n个单极点1, 2 n且nmnititeKthi1)()(其中 Ki i=1,2,n 为部分分式系数2、H(p)有n个单极点1, 2 n但nm)()()()()()(01)1(1)(1tCtCtCtCteKthnmnmnmnmnitii其中 Ki i=1,2,n 为部分分式系数, C0,C1,Cm-n为多项式系数。3、H(p)有两个互为共轭的极点1=+j，2=-j)()si

38、n2cos2()(ttKtKethIRt其中 KR为部分分式系数的实部，KI为部分分式系数的虚部。4、H(p)有k阶极点)()!2()!1()(12211teCtCtkCtkCthtkkkk其中C1,C2,Ck为部分分式系数。2、用求零输入响应的方法求、用求零输入响应的方法求h(t) 冲激响应也与方程的特征根有关，而且也可以分为三种不同的情况。比较冲激响应与零输入响应的公式发现在nm时它们的形式是完全一样的，所不同的是零输入响应中的系数是由系统的初始状态决定的，而冲激响应中的系数是由部分分式的系数决定的。其实这种现象并不是偶然的。因为，冲激响应是激励为(t)时的系统响应。在t=0时作用于系统，

39、所以在t0时系统的激励已为0，因此我们完全可以用前面讲过的求零输入响应的方法求h(t)。关键问题是要求出(t)在t=0时作用于系统后在0+时刻系统留下的初始状态。下面是一个n阶的算子方程但不包含激励的导数：)()().(0111tetrapapapnnn当e(t)=(t)时响应就是h(t)，写成微分方程的形式为：)()()(.)()(01111tthadttdhadtthdadtthdnnnnn为使等式成立方程的左边应有冲激存在，且只可能在第一项中，而其后的各项中不可能存在冲激，否则方程的左边将出现冲激的导数从而等式不成立。 对上式两边求积分，积分区间为0 - 到0 +1)()()(.)()(

40、000000010011100dttdtthadtdttdhadtdtthdadtdtthdnnnnn上式中第一项中有冲激，积分后为阶跃在t=0处不连续，而其它各项积分后为t的正幂次函数在t=0处连续，并考虑到系统在未加激励的0 时刻初始状态为0 即：0)0()0()0()2()1(hhhnn0)0()0()(0)0()0()(1)0()0()(001)2()2(100111)1()1(00hhdtdttdhahhadtdtthdahhdtdtthdnnnnnnnnnn所以我们得到系统在0+时刻的n个初始条件为：0)0()0()0(1)0()3()2()1(hhhhnnn 这样求h(t)就没有

41、问题了，这种方法的关键是确定系统在0+时刻的初始条件。对于更一般的情况方程中包含激励的导数。那么只要先求出方程中不含激励导数时的冲激响应，将它记为h0(t)，然后设 )()()(011tbpbpbtemmmm根据线性系统的叠加性可知冲激响应 )()()()()()(00101100011thbdtthdbdtthdbthbpbpbthmmmmmmmmmm例、设系统的微分方程为：)(11)(9)(2)(4)(4)(2222tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd求h(t) 解法一：由H(p)求22222911311( )2244(2)(2)2pppH pppppp 2( )2 ( ) (

42、1)( )th ttt et解二：由求零输入响应的方法求2)2(44)(2, 122ppppD2012002120( )()(0)0,(0)10,1( )( )tth tCC t ehhCCh ttet初始条件)(11)(9)(2)(00 0thththth)()21 ()()2()()(22220tettteettethtttt)()1 (4)()()21 (2)(2)()21 ()(2222 0tetttettetetthtttt)()1 ()(2)(11)(9)(2)(200 0tettththththt3、用待定系数法求、用待定系数法求h(t) 由于冲激响应与零输入响应在nm时它们的形

43、式是完全一样的，所以我们完全可以根据特征方程的根来写出h(t)的一般形式，如果nm 只要在h(t)中加入(t)及其导数就可以了。然后代入原微分方程待定系数。例、设系统的微分方程为：)()(4)(4)(22tetrtrdtdtrdtd解：2)2(44)(2, 122ppppD特征根为二阶重根，且nm 所以h(t)的一般形式可写为：)()()(221tetCCtht)()(2()()()(2()()()(2212122122221tetCCCtCtetCCeCtetCCthtttt)()(4)()2()()(2212121tetCCCtCCtCtht 代入原方程得：1,0120)()()2()(2

44、1121121 CCCCCttCCtC)()(2ttetht)(11)(9)(2)(4)(4)(2222tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd例2、设系统的微分方程为： 求h(t)特征根为二阶重根，但n=m 所以h(t)的一般形式可写为：)()()()(2210tetCCtCtht2)2(44)(2, 122ppppD再用上例的方法待定系数单位冲激响应小结单位冲激响应小结：1、由转移算子、由转移算子H(p)求求h(t)2、用求零输入响应的方法求、用求零输入响应的方法求h(t)3、用待定系数法求、用待定系数法求h(t)2.7叠加积分叠加积分一、杜阿美尔积分一、杜阿美尔积分 前面我们讲过

45、任意函数f(t)可表示为阶跃函数的积分，激励e(t)可表示为：)()()()()()()()()()()()()(tretetrttrtetrtdtete由系统的齐次性得：由系统的非时变性得：因为积分本身就是线性叠加，所以对于线性非时变系统有：dtretr)()()( 称杜阿美尔积分二、卷积积分二、卷积积分同样任意函数可表示为冲激函数的积分。所以 )()()()()()()()()()(thetethttrtetht由系统的齐次性得：由系统的非时变性得：dthetr)()()(同样道理：所以对于线性非时变系统有： dtete)()()(称卷积积分 dtfftftf)()()()(2121)()

46、()()()(trtedtretr 称卷积积分，并用“*”表示两个函数的卷积运算，所以上式可写为r(t)=e(t)*h(t)；更一般地对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，它们的卷积运算定义为：按照这个定义前面的杜阿美尔积分可表示为卷积的形式：dtete)()()()()()()()(ttedtete另外式 也可表示为卷积的形式： 由此我们还可以得出一个重要结论：任意一个函数与任意一个函数与(t) 卷积等于它自己。卷积等于它自己。由于杜阿美尔积可用卷积来表示，下面还将看到它们之间有明确的关系，所以下面我们主要讨论卷积。2.8卷积及其性质卷积及其性质一、卷积的计算过程卷积的计算过程 如果我们将

47、f1(t)和f2(t)的卷积结果记为g(t)，则卷积可写成：dtfftftftg)()()()()(2121由卷积的定义式可以看出，卷积的过程可以分为三个三个步骤步骤：1、将f1(t)和f2(t)两个函数的变量由t换成 ；2、将f2()反折并移动；3、将两个函数相乘并求积分。下面我们以下图两个有始函数来说明卷积的计算过程。f1(t)tf2(t)tf2()f1()将t换成将f2()反折并移动将两个函数相乘并求积分0)()()(021dtfftgt时当121200( )( )()( )()ttg tff tdff td当时因此，对于两个有始的函数卷积，则可简单地写为：0)()()()()(0212

48、1tdtfftftftgt再来看杜阿美尔积分，如果e(t)和r(t)都是有始的，或说激励是有始的系统是因果的，则：)()()()0()(, )()()(ttetetettete0( )( ) ()( )( ) (0) ( )( ) ( )( )(0) ( ) ( ) ( )( )(0) ( )( ) ()0tr ter tde tr tete ttr ter te ttr ter ter tdt0)()()(12211tttttttf)()(2tetft)(tg例1：计算矩形脉冲和指数函数的卷积解：作图0)()()(211dtfftgtt1、2、tttttededtfftgttt11)()(2

49、1211)()()(3、2112)()()(212)()()(ttttttteededtfftgtt最后，卷积的结果可用图形表示为：或用数学表达式表示为：)()1 ()()1 ()()()()()1 ()(2)(1)(2)()(21)(21121ttettetteettttetgtttttttttt这种完全用作图的方法确定积分限计算卷积的方法称图解法。这是要求同学重点掌握的。我们也可以将函数直接代入公式计算。这种方法虽然简单，但对卷积的计算过程的理解没有帮助，所以这种方法不推荐。例如上例的卷积可计算如下：dttedttedtetttftftgttt)()()()()()()()()()(2)(

50、1)()(2121)()1 ()()1 (2)(1)(21ttettetttt从上面计算卷积的过程可以看出，计算卷积的实质是二个具体化：1、函数形式的具体化；2、积分限的具体化。二、卷积的性质卷积的性质设有三个函数u(t) , v(t) , w(t)1、交换律、分配律和结合律u(t)*v(t)= v(t)*u(t) u(t)*v(t)+w(t)= u(t)*v(t)+ u(t)*w(t) u(t)*v(t)*w(t)= u(t)*v(t)*w(t)交换律证明：)()()()()()()()(tutvdxxvxtudtvutvtuxt令结合律证明：ddtwvudtwvtutwtvtudtwvtw

51、tv)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(,twtvtudxxtwxvxudxxtwdxvuddxxtwxvudxdxx 原式则令例2：用交换律重做前例10)(0111tgtttt时即、)(01221111)(002ttttedetgttttttt即、)()(221212)()(03tttttttteedetgtgtttt时即、)()1 ()()1 ()()()()()1 ()(2)(1)(2)()(21)(21121ttettetteettttetgtttttttttt2、卷积后的微分、卷积后的微分)()()()()()(tvdt

52、tdudttdvtutvtudtd两个函数卷积后的导数等于其中之一求导后与另一函数的卷积。证明：dttdvtudtvdtdudtvudtdtvtudtd)()()()()()()()(由交换律知)()()()(tvdttdutvtudtd由这个性质得到的直接推论是：任何函数与(t)卷积相当于对函数求导：)()()(tfttf3、卷积后的积分 )()()()()()(tvdxxudxxvtudxxvxuttt两个函数卷积后的积分等于其中之一求积分后与另一函数的卷积。证明：, ( )( )( ) ()( )()( )( )( )( )( ) ( )tttxdx dxtttttxu xv x dxu

53、v xddxuv xdxduvd du tvdu tv x dx 交换积分次序令从从将 换成由交换律知)()()()(tvdxxudxxvxutt由这个性质得到的直接推论是：任何函数与(t)卷积相当于对函数求积分：tdfttf)()()(4、两函数的卷积等于其中一个函数的微分和、两函数的卷积等于其中一个函数的微分和另一个函数的积分另一个函数的积分由卷积后的微分和卷积后的积分不难证明：)()()()(tvtudxxvdttdut由这个性质我们可以直接推出杜阿美尔积分)()()()()()()(trtedhdttdethtetrt利用这个性质还可以简化卷积的计算。5、函数延迟后的卷积、函数延迟后的

54、卷积)()()()()()(21221121tttfttfttftftftf则记证明：)()()()()()()(212121221122111tttfdxxtttfxfdttftfttfttfxt令 前面已指出任意一个函数与(t) 卷积等于它自己，即：f(t)* (t)=f(t)由此性质我们又可得出结论：任意一个函数与(t) 的延迟卷积等于函数本身作相应的延迟，即： f(t)* (t-t0)=f(t-t0)例3：利用性质4、5重做例1解：)()1 ()()()(002teetdededfttttt而tdftftftftg)()()()()(2121)()1 ()()1 ()()1 ()()(

55、)()()(2)(1)(212121ttettetettttdftftgtttttt6、相关卷积、相关卷积两个函数x(t)与y(t)的相关定义为：的相关与称的相关与称xydtxytRyxdtyxtRyxxy)()()()()()()()()()()()()(tytxdtyxdtyxtRxy显然:( )( ) ()() ( )xytzRtxyt dx tz y z dz 如果令则所以，两个函数x(t)与y(t)的相关也定义为：dxtytRdytxtRyxxy)()()()()()(如果两个相同的函数进行相关运算，则称自相自相关关，记为Rxx(t)偶函数显然)()()()()()()()()(tR

56、tRtxtxdxtxdtxxtRxxxxxx相关函数反映了两个函数的相似程度。Rxx(0)为信号能量，且 Rxx(0)Rxx(t)。这是因为)()0(0)(2)0(2)()(2)()()()(0)()(2222tRRtRRdtxxdtxdxdtxxdtxxxxxxxxxx例4 求两个相同的门函数的卷积g(t)。解：0)(,221000tgtt时当、)()(0,2222202220000000tAdAAtgtttt时当、)()(0,22223022220000000tAdAtgtttt时当、0)(,224000tgtt时当、)()()()()()()(002002tttAtttAtg我们将这个结

57、果总结为：1、两个相同的门函数（对称的）的卷积是一个三角形；2、宽度增加一倍；3、最大值为两个相同的门函数重合时函数值之积再乘以门函数的宽度。这是一个典型例子，很重要，希望把它记住。这个结论以后可以作为一个定理使用 例5、RC串联电路，及激励信号如图所示。其中R=0.5 ，C=2F电路初始状态为零，求响应电流i(t)。解：在前面的例题中已求得，该电路的冲激响应为：)(2)(2)(1)(1)(12tetteCRtRthttRC激励电压可写为：)2(21)() 121()2() 1()2()()121()(tttttttttte)2()(21)2()()2()2()2(21)()(21)2()22

58、(21)()(21)2(21)() 121()(tRtRtttttttttttttttttte)2()(21)2()()(trtrtrtrtiRR则有线性非时变系统的定义：)(2)( 12)(22)(2)()(0tetetdeddhtrttttt)()1 (22)()(0tededrtrtttR)2()1 ()()1 ()2()1 ()()1 ()2(2)(2)()2()2()2(tetetetetetetitttttt2.9线性系统响应的时域求解线性系统响应的时域求解一、时域分析小结一、时域分析小结)()()(trtrtrzszi零状态响应零输入响应全响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)

59、系统物理模型系统方程转移算子H(p)冲激响应h(t)卷积积分零状态响应rzs(t)全响应r(t)阶跃响应r(t)杜阿美尔积分零输入响应rzi(t)初始状态激励e(t)二、指数函数激励下的系统响应 11( )( )( )( )( )( )jjnnttzizsjjjjr tr trtC etK ete t)()()(0ttetets导过程中省去为书写方便在以下的推设：000000()11110()111100( )()jjjjjjjjjtnnnnttts tstjjjjjjjjtnnnntsttjs ts tjjjjjjjjsr tC eK eeC eKeedKC eK eedC eees 当时j

60、=1,2,ntsittsnijjjjnjtjiteKeesKeCtrsjj00)()(1010时当s0j第一部分为零输入响应零输入响应，第二部分则为零状态零状态响应响应。系统的全响应中只包含1，2，n分量称自然频率分量自然频率分量；另外还有s0分量相应地称为激励频率分量激励频率分量。)()(0101ttsnjjjnjtjjjeesKeCtr如果将上式写为：tsnjjjnjtjjjesKesKCtrj01010)()(第一部分只包含自然频率分量，第二部分只包含激励频率分量。所以，第一部分称自然响应自然响应或自由响应自由响应；第二部就称为受迫响应受迫响应。 对于一个稳定系统，系统的响应或最终趋于零