压轴讲义解几

1、几何（4）高端视野: 线性线性问题常见题型、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题直线的截距型（或截距的相反数）2x - y 2x - y -1z = 2x + 3y 【例1】 设变量 xy 满足约束条件、，则的最大值为。 x + y 1：如图 1，画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线x-y=-1 的交点 A(3,4)处，目标函数 z最大值为18yB y =22Axx + y =22Ox=2图 1x 2y 2【例2】 若 x、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是（）x + y 2A、2,6 B、2,5 C、 3 , 6 D 、（ 3,5 解：如右上图，作出可行域，作直线 l

2、：x+2y0，将 l 向右上方平移，过点 A（2,0） 时，有最小值 2，过点 B（2,2）时，有最大值 6，故选 A、线性约束条件，非线性目标函数当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 1.比值问题：直线的斜率型关于目标函数的非线性类型常见有以下 4 种：b - 2（1）斜率型，如 z =；a -1x 1（2）距离型（两点距离和点线距离），比如设不等式组 x-2y+3 0

3、所表示的平面区域y x高考数学研究线性1 / 6是W1 ,平面区域是W2 与W1 关于直线3x - 4y - 9 = 0 对称,对于W1 中的任意一点 A 与W2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于()2812A.B.4C.D.255由题意知，所求的| AB | 的最小值，即为区域W1 中的点到直线3x - 4y - 9 = 0 的距离的最小值的两倍，画出可行域，可知点（1，1）到直线3x - 4y - 9 = 0 的距离最小，故| AB |的最小值为2 | 31- 41- 9 | = 4 ，所以选 B。5（3）面积型， 如例 2 中求 z =ab的范围，它表示以 a , b 为长

4、与宽的矩形的面积。当点(a, b) 在点（-3,1）时， ab取最大值 3；当点(a, b) 在以点（-2,0）、（-1,0）为端点的z (0,3) 。线段（不包括端点）上时， ab取最小值 0。a2b2（4）椭圆型，如 z = a2 + 3b2 ，可化为+= 1(z 0) ，它表示焦点在横轴，有zz /3 6相同离心率的相似椭圆。故求目标函数 z = a2 + 3b2 的值域，相当于求椭圆3a2b2+ = 1(z 0) 长半轴范围。当椭圆过点(-1, 0) 时， z= 1；当椭圆过点(-3,1) 时，minzz /3 = 12 ，所以 z (1,12) 。2.距离问题zmax当目标函数形如

5、z = (x - a)2 + ( y - b)2 时,可把 z 看作是动点 P(x, y) 与定点Q(a,b) 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。x2 + y2 4y + 3,求函数 z =的值域.x +1【例3】 已知实数 x、y 满足不等式组x 0：所给的不等式组表示圆 x2 + y2 = 4 的右半圆(含边界)，高考数学研究线性2 / 6y-22Ox-2 （-1，-3）y + 3可理解为过定点 P(-1, -3)，斜率为 z 的直线族则问题的几何意义为：求过z =x +1半圆域 x2 + y2 4(x 0) 上任一点与点 P(-1, -3) 的直线斜率的最大、

6、最小值由图知，过点 P 和点 A(0, 2) 的直线斜率最大， z= 2 - (-3) = 5 过点 P 所作半圆的切线的斜率最max0 - (-1)小设切点为 B(a,b) ，则过 B 点的切线方程为ax + by = 4 又 B 在半圆周上，P 在切线上，-2 + 3 6a = a2 + b2 = 45-6 -65则有解得-a - 3b = 4 b = 2,52 6 - 36=。综上可知函数的值域为因此 zmin33y - a当目标函数形如 z =时,可把 z 看作是动点 P(x, y) 与定点Q(b, a) 连线的斜率，x - b这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。已知函数

7、 f ( x) = 1 x3 + 1 ax2 + 2bx + c 在(0,1) 内取极大值，在(1, 2) 内取极小【例4】32值，求(a + 3)2 + b2 的取值范围。】 f ( x) = 1 x3 + 1 ax2 + 2bx + c 在(0,1) 内取极大值，在(1, 2) 内取极【32小值 方程 f / ( x) = 0 即 x2 + ax + 2b = 0 的两根分别落在区间（0,1）和（1,2）内，且满足 f (0) = 2b 0( )f1 = a + 2b +1 0目标函数 z = (a + 3)2 + b2 表示可行域内的点(a, b) 到点(-3, 0) 的距离的平方。易求

8、得 1,4 2。【点评】本题的约束条件较隐蔽，考查导数与单调性、极值的关系。高考数学研究线性3 / 62.距离型（1）平面内两点间的距离型（或距离的平方型）2xy20，【例5】 已知x2y40，求 x2y2 的最大值与最小值.3xy30，解：作出不等式组表示的平面区域（如图）.设 x2y2z，则 z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆 x2y2z 过点 B（2，3）时，z取得最大值，从而 z 取得最大值 zmax223213；当圆 x2y2z 与直线 AC：2xy20 相切时， z取得最小值，从而 z 取得最小值.设切点坐标为（x0，y0），则2x0y020，y0x0（2）1.42解得 x0

9、5，y05.42422因此，zmin（5） （5） 5.424故，当 x2，y3 时，x2y2 取得最大值 13；当 x5，y5时，x2y2 取得最小值5.x + y -1 0x - y +1 0y -1w = x + y - 4x - 4y + 822【例6】 已知实数 x 、 y 满足，则 的最值为 .：目标函数 w = x2 + y2 - 4x - 4y + 8 = (x行域内的点的距离的平方。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域y，其含义是点(2,2)与可：1（ 2，2）A-11OxCB-1x+y-1=0可行域为图中 ABC 内部（包括边界），易求 B（-2，-1），结合图形知，点

10、(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值， w= (-2 - 2)2 + (-1- 2)2 = 25 ；点(2,2)到直线max| 2 + 2 -1|3 2x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最小值， wmin =。22（2）点到直线的距离型【例7】 已知实数 x、y 满足2x + y 1,求u = x2 + y2 + 4x - 2y 的最小值。高考数学研究线性4 / 6：目标函数u = x2 + y2 + 4x - 2y = (x + 2，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减 5。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域线右上方）：（直y (-2,1 112Ox

11、2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得d = | 2(-2) +1-1| = 452169，故 d - 5 =- 5 = -55553截距问题 x+y 0x - y 0x a表示的平面区域面积为 81，则 x + y 的最小值为2【例8】不等式组_解：令 z = x2 + y ，则此式变形为 y = -x2 + z ，z 可看作是动抛物线 y = -x2 + z 在 y 轴上的截距，当此抛物线与 y = -x 相切时，z 最小，故为- 144向量问题x - 4 y + 3 0,OP OA【例9】 已知点 P 的坐标（x，y）满足