第二章数列极限(1节)

1、第二章第二章 数列极限数列极限1 数列极限的概念数列极限的概念我们已经对函数有了新的认识，但我们不能只停留在计我们已经对函数有了新的认识，但我们不能只停留在计算函数的自变量在某一特定点的值即仅仅把运动看成物体算函数的自变量在某一特定点的值即仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方如果这样，那我们就还没有达到揭在某一时刻在某一地方如果这样，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的我们只有用动态的观点去研示变量变化的内部规律的目的我们只有用动态的观点去研究函数所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正究函数所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的领域极限是进入高等数

2、学是钥匙和工开始进入高等数学的领域极限是进入高等数学是钥匙和工具，我们从最简单的也是最基本的具，我们从最简单的也是最基本的数列极限数列极限开始研究开始研究1 数列极限的概念数列极限的概念数列数列 - 定义在正整数集上的函数定义在正整数集上的函数记作记作数列亦可表为数列亦可表为一一 数列极限的定义数列极限的定义数列数列的极限是指的极限是指 n 增大时，增大时，其中其中 n 为自变量，为自变量，例如例如，n 增大时，其趋于增大时，其趋于0，或称收敛于，或称收敛于0 na，na称为称为通项通项12,.na aaLL nana的变化趋势的变化趋势1nan图示图示n12O3456所以说，所以说， 数列数

3、列1nan的极限是零的极限是零再看几个例子再看几个例子也称为不收敛；也称为不收敛；(2)(1)其收敛并以其收敛并以 3 为极限；为极限；其收敛并以其收敛并以 0 为极限为极限数列数列( 1)nna 的极限不存在，的极限不存在，(3)1,2nna 即即2111,2 22nLL即即( 1)3,nn11( 1)2, 3, 3, 3,.23nnLL0-11x由上面的讨论我们可以看出，数列极限是在由上面的讨论我们可以看出，数列极限是在 n 趋于无穷时趋于无穷时的变化趋势的变化趋势. n 趋于无穷的过程称为极限过程，趋于无穷的过程称为极限过程，到现在，我们对极限的认识是很肤浅的，即到现在，我们对极限的认识

4、是很肤浅的，即 但其也越来越接近于但其也越来越接近于 -1 ，可见直觉是一个非常差劲的向导，可见直觉是一个非常差劲的向导. 记作记作 .n limnnaa是指是指na随着随着 n 的增大越来越接近的增大越来越接近 a . 例如说数列例如说数列1n的极限是的极限是 0，是指其越来越接近于，是指其越来越接近于0. 图示：图示：ann1=什么是无穷小呢？什么是无穷小呢？由此给出修改后的定义由此给出修改后的定义请看牛顿给出的定义请看牛顿给出的定义这是一个循环的解释，在数学王国里是不允许的这是一个循环的解释，在数学王国里是不允许的!limnnnaAaA任意小（无穷小）任意小（无穷小）. na为无穷小为无

5、穷小lim0.nna魏尔斯托拉斯用数来进行描述的定义魏尔斯托拉斯用数来进行描述的定义limnnnaAaA自某一项以后小于任意给定的正数自某一项以后小于任意给定的正数. 即即lim0,0,.nnnaANnNaA “”这个定义称为这个定义称为N 定义定义.注意：注意：(1)、由任意性可以让数列与其极限的接近程度任意小由任意性可以让数列与其极限的接近程度任意小. lim0,0,nnnaANnNaA “”.的绝对任意性的绝对任意性既然既然是任意小的正数，是任意小的正数，那么那么,22 ,2等也是任意小等也是任意小的正数，的正数，所以，所以，在在naA中，中， 可以用上面介绍的任意小代可以用上面介绍的任

6、意小代替替.(2)、的相对固定性的相对固定性由相对固定性可以去寻找相应的由相对固定性可以去寻找相应的 N，以满足数列的尾巴能，以满足数列的尾巴能全部落入全部落入所以在拓扑学中称数列极限为所以在拓扑学中称数列极限为“截尾函数截尾函数”. ( , ),U A定义定义1x(3) N 的相对性的相对性N 是由是由则则 N 越大越大. 其是较大的数其是较大的数. 的给出而确定，其非唯一的给出而确定，其非唯一. 一般说来，一般说来，越小，越小，N 不一定取自然数，不一定取自然数，(4) n N 其是指数列其是指数列 na受到限制后的定义域，受到限制后的定义域，即即 na自自N 后的所有项后的所有项. (5

7、)naA ( , )nnnaAaU Aa只有有限项在只有有限项在( , )U A外外. 图示：图示：a( )a - a +na(1) 分析法分析法的方法称为分析法的方法称为分析法例例1证明证明证：证：lim01 .nnqq要要0,nq只须只须ln,lnnq所以所以0,取取ln,lnNq则则nN时，时，0,nq故故lim0,1 .nnqq用用N定义证明极限时有两种方法定义证明极限时有两种方法由不等式由不等式naa寻找寻找N与与的关系，的关系，从而求出从而求出N(2) 综合法综合法出出 N 的方法称为综合法的方法称为综合法例例2 证明证明223lim3.4nnn证：证：因为因为22334nn212

8、4n12(2)(2)nn12(2)n12n3 .n 所以所以0, 取取12max 3,N则则nN时，时，22334nn故结论成立故结论成立,naa由由经放大手法而得到经放大手法而得到n的简易表达式，从而求的简易表达式，从而求在综合法中，常用一些不等式，希望能够掌握在综合法中，常用一些不等式，希望能够掌握证：证：例例3 证明证明lim1nna1 .a 设设1,nab 则则(1)nab1nb L1nb 于是于是11,naan 所以所以0, 取取1,aN则则nN时，时，1.na故故lim1nna1 .a 二二 数列发散的定义数列发散的定义定义定义20000lim0,0,nnnaANnNaA “”.数

9、列数列 na发散发散,limnnAaA 证：证：例例4 证明数列证明数列 2n,A取取发散发散01,0,N取取0max1,2 ,nNA则则201.nA故数列故数列 2n发散发散00,0,( ,)AU A “外有外有 na的无穷多项的无穷多项”例例5 证明：数列证明：数列( 1)n发散发散证：证：,A取取01,2则则( 1)n必有无限项在必有无限项在0( ,)U A外，外，故数列故数列( 1)n发散发散例例6 设设limlim,nnnnxya作数列作数列 nz如下：如下：1122,.nnx y xyxyLL证明证明lim.nnza证：证：因为因为limlim,nnnnxya所以所以0, 110,

10、nNnNxa“”220,nNnNya“”取取12max,NN N则则nN时，时，,nza故结论成立故结论成立，例例7 证明数列证明数列 na增加有限项或减少有限项不改变其敛增加有限项或减少有限项不改变其敛证：证：设设 na收敛，收敛，则则,0,( , )aRU a “外只有外只有 na的有限项的有限项”所以，所以， na增加有限项或减少有限项后，增加有限项或减少有限项后，( , )U a外也只有外也只有 na的有限项，的有限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性如果如果 na发散，发散，则则00,0,( ,)aRU a “外有外有 na的无限项的无限项

11、”，所以，所以， na增加有限项或减少有限项后，增加有限项或减少有限项后，( , )U a外也必有外也必有 na的无限项，的无限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性散性散性三、无穷小数列三、无穷小数列有了极限的定义后，我们就可以用极限定义无穷小有了极限的定义后，我们就可以用极限定义无穷小无穷小数列显然有下面性质无穷小数列显然有下面性质(1)、无穷小的和差仍是无穷小；、无穷小的和差仍是无穷小；(2)、无穷小的积仍是无穷小；、无穷小的积仍是无穷小；(3)、无穷小与有界量的积仍是无穷小；、无穷小与有界量的积仍是无穷小；定义定义3、 数列数列 na称为无穷小称为无穷小lim0.nna(4)、limnn