垂直平分线的性质课件ppt

1、2021/3/912021/3/922021/3/932021/3/942021/3/95木工手工钻木工手工钻2021/3/96ACDBM 请同学们在练习本上画出线段请同学们在练习本上画出线段AB及其中点及其中点M,再过点再过点M画出画出AB的垂线的垂线CD,沿直线沿直线CD将纸对折，观察线将纸对折，观察线段段MA和和MB是否完全重合是否完全重合？结论结论：线段线段MA和和MB完全重合，完全重合，因此，线段因此，线段AB是轴是轴对称图形。对称图形。问题问题1：既然线段既然线段AB是轴对称图形。那么它是轴对称图形。那么它的对称轴是什么呢？的对称轴是什么呢？（直线（直线CD)试验与探索：试验与探索

2、：条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线2021/3/97ACDBM试验与探索：试验与探索：条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线问题问题2：直线直线CD具有什么具有什么特征或特特征或特性性?CDAB MA=MB即：即：直线直线CD垂直并垂直并且平分线段且平分线段AB.定义：定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段 的的 垂直平分线垂直平分线。也称。也称中垂线中垂线。 如上图，直线如上图，直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线2021/3/98你能用不同的方法验证这一结论吗你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质探索并

3、证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3结论结论：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距点与这条线段两个端点的距离相等离相等2021/3/99已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点，点P 在在l 上上求证：求证：PA = =PB探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质证明：证明：“线段垂直平分线上的点到线段

4、两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等”ABPCl2021/3/910探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质用几何语言表示为：用几何语言表示为： CA = =CB，lAB， PA = =PB证明：证明：lAB， PCA =PCB又又 AC = =CB，PC = =PC， PCA PCB（SAS） PA = =PBABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点点P 在在l 上

5、上求证：求证：PA = =PB2021/3/9118如图，如图，在在ABC 中中，BC = =8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 巩固练习巩固练习2021/3/912 如图所示，在如图所示，在ABC中，边中，边BC的垂直平分线的垂直平分线MN分别交分别交AB于点于点M,交交BC于点于点N, BMC的周长的周长为为23,且且BM=7,求求BC的长。的长。CBMNA解解: MN是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线 BM=7 CM=BM=7 BMC 的周长的周长=23BM+CM+BC=23BC

6、=23-CM-BM =23-7-7 =9巩固练习巩固练习2021/3/913 如图所示，直线如图所示，直线MN和和DE分别是线段分别是线段AB、BC的垂直平分线的垂直平分线,它们交于点它们交于点,试判断线段试判断线段A和和C是否相等？请说明理由？是否相等？请说明理由？NMEDCBA解：相等，连接解：相等，连接B. MN是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） A=B（线段中垂线的性（线段中垂线的性质）质）又又 DE是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） B=C（线段中垂线的性（线段中垂线的性质）质） A=C（等量代换）（等量代换）巩固练习巩固练习2021/3/

7、914探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平分线上分线上PAB C 2021/3/915探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证明：如图证明：如图作作PCPCAB 则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA = =PB，PC = =PC， Rt

8、PCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB C 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上2021/3/916探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用几何符号表示为用几何符号表示为：PA = =PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上PAB C 2021/3/917解：

9、解：AB = =AC，点点A 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上MB = =MC，点点M 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平的垂直平分线分线 如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？A B C D M 巩固练习巩固练习2021/3/918这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线距离相等的点吗？能找到多少个到线段段AB

10、两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 在线段在线段AB 的垂直的垂直平分线平分线l 上的点与上的点与A，B 的距离都相等；反过的距离都相等；反过来，与来，与A，B 的距离相的距离相等的点都在直线等的点都在直线l上，上，所以所以直线直线l 可以看成与可以看成与两点两点A、B 的距离相等的距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABC MN 2021/3/919二、逆定理：二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直

11、平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合离相等的所有点的集合2021/3/920 已知已知: :如如图图 ABCABC中中, ,边边ABAB、BCBC

12、的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于点点P.P.求证求证:PA=PB=PC.:PA=PB=PC. PA=PB( PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等) ) 证明证明: : 点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (已知已知) )同理同理 PB=PCPB=PC PA=PB=PC PA=PB=PC. .ACBMPN巩固练习巩固练习结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。思考：交点在什么位置？思考：交点在什么位置？2021/3/921如图，如图，OBC中，中，BC的垂直平分线

13、的垂直平分线DP交交BOC的平分线于的平分线于D，垂足为，垂足为P （1）若）若BOC=60，求，求BDC的度数；的度数；（2）若）若BOC=，则，则BDC=_（直接写出结果直接写出结果） 知识拓展知识拓展2021/3/922 某区政府为了方便居民的生某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学思考：生活中的数学2021/3/923 某地有两所大学和两条相交叉的公

14、路某地有两所大学和两条相交叉的公路OAOA，OBOB，现计划修建一个物资仓库，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该两条公路的距离也相等，请你确定该点。点。NMOBA2021/3/924结束语结束语 同学们，这节课到这里就结束了，同学们，这节课到这里就结束了， 谢谢你们的参与！谢谢你们的参与！ 2021/3/9251.1.（临沂临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB

15、的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 . .答案：答案：21a221a22021/3/9262021/3/927如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可 2021/3/928作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线.

16、 .已知：线段已知：线段AB.AB.求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直线）作直线CD.CD.CDCD即为所求即为所求. .结论：结论：对于轴对称图形，只要对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴. .（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，的长为半径作弧，两弧交于两弧交于C C，D D两点两点. .122021/3/9292. 2. 有有A

17、A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. .A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处. .2021/3/9305.5.如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站. .使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站应建在什么地方？BA【提示提示】

18、连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站. .2021/3/9311.1.（临沂临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 . .答案：

19、答案：21a221a22021/3/932 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同侧，有两个工厂的同侧，有两个工厂A A、B B，为了便，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么在何处？你的方案是什么? ?生活中的数学生活中的数学L老师期望:养成用数学解释生活的习惯.2021/3/933如图，ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂

20、直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。2021/3/934如图如图,已知已知: AOB,点点M、N.求作求作:一点一点P,使点使点P到到 AOB两边的两边的距离相等距离相等,并且满足并且满足PM=PN.MNAOB.P点点P为所求为所求作的点作的点2021/3/935课堂练习课堂练习练习练习4如图，过点如图，过点P 画画AOB 两边的垂线，并和两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程同桌交流你的作图过程 A B O P 2021/3/9362021/3/937 国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，国旗是国家的一个象

21、征，观察下面的国旗，哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。加拿大加拿大摩洛哥摩洛哥古巴古巴瑞典瑞典以色列以色列巴西巴西2021/3/938例例3。如图所示，直线。如图所示，直线MN和和DE分别是线段分别是线段AB、BC的垂直平分线的垂直平分线,它们交于点它们交于点,试判断线段试判断线段A和和C是否相等？请说明理由？是否相等？请说明理由？NMEDCBA解：相等，连接解：相等，连接B. MN是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） A=B（线段中垂线的性（线段中垂线的性质）质）又又 DE是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知）

22、B=C（线段中垂线的性（线段中垂线的性质）质） A=C（等量代换）（等量代换）2021/3/939 学习目标：学习目标：1理解线段垂直平分线的性质和判定理解线段垂直平分线的性质和判定2能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题题3会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理了解作图的道理 学习重点：学习重点： 线段垂直平分线的性质及尺规经过已知直线外一点作这线段垂直平分线的性质及尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线条直线的垂线 课件说明课件说明2021/3/940 一、创设情境，温故知新

23、一、创设情境，温故知新 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 什么是线段的垂直平分线什么是线段的垂直平分线 2.你能找出线段的对称轴吗？你能找出线段的对称轴吗？ 3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由2021/3/941解：解：ADBC，BD = =DC AD 是是BC 的垂直平分线的垂直平分线 AB = =AC点点C 在在AE 的垂直平分线上的垂直平分线上AC = =CE AB =AC =CE课堂练习课堂练习P62P622如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的

24、垂直平的垂直平分线上，分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB = =CE，BD = =DC，AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 2021/3/942（1）为什么任意取一点）为什么任意取一点K ，使点使点K与点与点C 在直线两旁？在直线两旁？尺规作图尺规作图(P62)(P62)如何用尺规作图的方法经过直线外一点如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线作已知直线的垂线？12DE（2）为什么要以大于）为什么要以大于 的长为半径作弧的长为半径作弧？ （3）为什

25、么直线）为什么直线CF 就是所求作的垂线？就是所求作的垂线？CABDKFE2021/3/943（1）本节课学习了哪些内容）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 课堂小结课堂小结2021/3/944布置作业布置作业教科书习题教科书习题13. .1第第6、9题题 2021/3/945线段的垂直平分线 四川省盐边县渔门中学四川省盐边县渔门中学 谭继林谭继林CAICAI课件课件2021/3/946探索：

26、在以上试验的基础上，同学们在直线在以上试验的基础上，同学们在直线CD上上任意取一点任意取一点E,连接连接EA,EB,然后沿直线然后沿直线CD将纸折叠，将纸折叠，观察线段观察线段EA和和EB是否完全重合？是否完全重合？ACDBME发现: 线段线段EA和和EB是能够完全重合的。即是能够完全重合的。即EA=EB2021/3/947ACDBME线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。端点的距离相等。若若E是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD上的一点上的一点则则EA=EB2021/3/948课堂练习课堂练习:1。如图，是线段

27、。如图，是线段DE、BC的中垂线，的中垂线，BD 与与CE相等吗？为什么？相等吗？为什么？CDEBA2021/3/9492。如图，平面上有三个点。如图，平面上有三个点A、B、C。你能。你能否找到一个点否找到一个点P,使得使得PA=PB=PC？BCAP2021/3/950课堂小结课堂小结: 线段线段垂直平分线的性质垂直平分线的性质及其运用是本节课及其运用是本节课的重点，应用其性质我们可以证明两条线段相的重点，应用其性质我们可以证明两条线段相等，也可对线段的长度进行求解。等，也可对线段的长度进行求解。2021/3/951课后议练课后议练:1。如图，在。如图，在ABC中中,DE是是AC的垂直平分线，

28、的垂直平分线，ABC与与ABD的周长分别为的周长分别为18厘米和厘米和12厘米，求线段厘米，求线段AE的长。的长。ABDCE2021/3/9522。如图，在。如图，在ABC中中, BAC = 120 ,C= 30 ,DE是线段是线段AC的垂直平分线的垂直平分线,求求BAD的度数。的度数。EDCBA2021/3/953正方形正方形矩形矩形等边等边 三角形三角形菱形菱形圆圆等腰等腰梯形梯形对称轴条数3 3条条4 4条条2 2条条1 1条条无数条无数条2 2条条(2) 常见图形对称轴的位置长和宽的中垂线长和宽的中垂线两条邻边的中垂线和两条邻边的中垂线和对角线所在的直线对角线所在的直线三条边的中垂线三

29、条边的中垂线对角线对角线直径所在的直线直径所在的直线一条底的中垂线一条底的中垂线所在的直线所在的直线等腰等腰 三角形三角形画出对称轴1 1条条底边的中垂线底边的中垂线是不是轴对称图形是是是是是是是是是是是是是是2021/3/954复习导入：复习导入：1。轴对称图形轴对称图形的定义是什么？的定义是什么？ （如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这样的图形为部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称轴对称图形图形）AB2021/3/955例例2 2。如图，。如图，BC=BABC=BA，MNMN垂直平分垂直平分BCBC，若，若AB

30、CABC周长周长为为2828，CA=8CA=8，求，求: :DCADCA的周长。的周长。BCADM解：解： ABCABC周长为周长为2828，CA=8CA=8 BC=BA BC=BAN2BA+CA=282BA+CA=28BA=10BA=10 MNMN垂直平分垂直平分BCBC BD=DC BD=DC DCADCA的周长的周长=DC+DA+CA=DC+DA+CA =BD+DA+CA=BD+DA+CA =BA+CA =BA+CA =10+8 =10+8 =18 =18 2021/3/956ABMNC P2021/3/957MNCABQ 2021/3/958ABMNP.Q.C2021/3/959线段垂直平分线上线段垂直平分线上的的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理2021/3/960线段垂直平分线上线段垂直平分线上的的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理2021/3/9613.已知已知:如图如图,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 1